高中数学必修5第3章3_4同步训练及解析

高中数学必修5第3章3_4同步训练及解析

人教A高中数学必修5同步训练 ‎1．若xy＞0，则对＋说法正确的是(　　)‎ A．有最大值－2　　　　　　 B．有最小值2‎ C．无最大值和最小值 D．无法确定 答案：B ‎2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是(　　)‎ A．400 B．100‎ C．40 D．20‎ 答案：A ‎3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋有最小值____．‎ 答案：2　4‎ ‎4．已知f(x)＝＋4x.‎ ‎(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；‎ ‎(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．‎ 解：(1)∵x＞0，∴，4x＞0.‎ ‎∴＋4x≥2＝8.‎ 当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，‎ ‎∴当x＞0时，f(x)的最小值为8.‎ ‎(2)∵x＜0，∴－x＞0.‎ 则－f(x)＝＋(－4x)≥2＝8，‎ 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号．‎ ‎∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8.‎ 一、选择题 ‎1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是(　　)‎ A．x＋ B．x2－1＋ C．2x＋2－x D．x(1－x)‎ 答案：C ‎2．函数y＝3x2＋的最小值是(　　)‎ A．3－3 B．－3‎ C．6 D．6－3‎ 解析：选D.y＝3(x2＋)＝3(x2＋1＋－1)≥3(2－1)＝6－3.‎ ‎3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是(　　)‎ A．200 B．100‎ C．50 D．20‎ 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．‎ ‎4．给出下面四个推导过程：‎ ‎①∵a，b∈(0，＋∞)，∴＋≥2＝2；‎ ‎②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2；‎ ‎③∵a∈R，a≠0，∴＋a ≥2＝4；‎ ‎④∵x，y∈R，，xy＜0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2.‎ 其中正确的推导过程为(　　)‎ A．①② B．②③‎ C．③④ D．①④‎ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．‎ ‎①∵a，b∈(0，＋∞)，∴，∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；‎ ‎②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的；‎ ‎③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，‎ ‎∴＋a≥2＝4是错误的；‎ ‎④由xy＜0得，均为负数，但在推导过程中将全体＋提出负号后，(－)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．‎ ‎5．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．5‎ 解析：选C.∵＋＋2≥＋2≥2＝4.当且仅当时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.‎ ‎6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有(　　)‎ A．最大值64 B．最大值 C．最小值64 D．最小值 解析：选C.∵x、y均为正数，‎ ‎∴xy＝8x＋2y≥2＝8，‎ 当且仅当8x＝2y时等号成立．‎ ‎∴xy≥64.‎ 二、填空题 ‎7．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________．‎ 答案：1‎ ‎8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．‎ 解析：1＝x＋4y≥2＝4，∴xy≤.‎ 答案：大　 ‎9．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．‎ 解析：∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2，∴xy≤3.‎ 当且仅当＝时取等号．‎ 答案：3‎ 三、解答题 ‎10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋＋6的最小值；‎ ‎(2)求函数y＝(x＞1)的最值．‎ 解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.‎ ‎∴y＝x＋＋6＝x＋1＋＋5‎ ‎≥2 ＋5＝9，‎ 当且仅当x＋1＝，即x＝1时，取等号．‎ ‎∴x＝1时，函数的最小值是9.‎ ‎(2)y＝＝＝(x＋1)＋ ‎＝(x－1)＋＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.‎ ‎∴(x－1)＋＋2≥2＋2＝8.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，‎ ‎∴y有最小值8.‎ ‎11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(－1)·(－1)·(－1)≥8.‎ 证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，‎ ‎∴－1＝＝＝＋≥，‎ 同理－1≥，－1≥，‎ 以上三个不等式两边分别相乘得 ‎(－1)(－1)(－1)≥8.‎ 当且仅当a＝b＝c时取等号．‎ ‎12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．‎ 问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．‎ 解：设污水处理池的长为x米，则宽为米．‎ 总造价f(x)＝400×(2x＋2×)＋100×＋60×200‎ ‎＝800×(x＋)＋12000‎ ‎≥1600＋12000‎ ‎＝36000(元)‎ 当且仅当x＝(x＞0)，‎ 即x＝15时等号成立． ‎