高三数学总复习学案76
学案76 不等式选讲
(一)绝对值不等式
导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
自主梳理
1．含________________的不等式叫做绝对值不等式．
2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：
(1)分段讨论：
根据|f(x)|＝去掉绝对值符号．
(2)利用等价不等式：
|f(x)|≤g(x)⇔－g(x)≤f(x)≤g(x)；
|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x)．
(3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号．
3．形如|x－a|＋|x－b|≥c (a≠b)与|x－a|＋|x－b|≤c (a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种：
(1)运用绝对值的几何意义；
(2)____________________；
(3)构造分段函数，结合函数图象求解．
4．(1)定理：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当____________时，等号成立．
(2)重要绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件，即
|a＋b|＝|a|＋|b|⇔ab≥0；
|a－b|＝|a|＋|b|⇔ab≤0；
|a|－|b|＝|a＋b|⇔b(a＋b)≤0；
|a|－|b|＝|a－b|⇔b(a－b)≥0；
注：|a|－|b|＝|a＋b|⇔|a|＝|a＋b|＋|b|⇔|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|⇔b(a＋b)≤0.
同理可得|a|－|b|＝|a－b|⇔b(a－b)≥0.
自我检测
1．(2010·江西)不等式＞的解集是( )
A．(0,2) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
2．(2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________.
3．(2011·潍坊模拟)已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．a<5 B．a≤5
C．a>5 D．a≥5
4．若不等式|x＋1|＋|x－2|
7＋x；
(3)|x－1|＋|2x＋1|<2.
变式迁移1 (2011·江苏)解不等式x＋|2x－1|<3.
探究点二 绝对值不等式的恒成立问题
例2 (2011·商丘模拟)已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.
(1)若不等式有解；
(2)若不等式解集为R；
(3)若不等式解集为∅.
分别求出实数m的取值范围．
变式迁移2 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若f(x)>a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
探究点三 绝对值三角不等式定理的应用
例3 “|x－A|<，且|y－A|<”是“|x－y|<ε”(x，y，A，ε∈R)的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式迁移3 (1)求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值；
(2)求函数y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值．
转化与化归思想的应用
例 (10分)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a (－1≤x≤1)，
(1)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.
多角度审题 第(1)问|f(x)|≤⇔－≤f(x)≤，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f(x)|≤；二是证明－≤f(x)≤亦可．第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为，求a的值．由于x∈[－1,1]，f(x)是关于x的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[－1,1]上．
【答题模板】
证明 (1)方法一 ∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.又∵|a|≤1，
∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|
＝－2＋≤.[3分]
∴若|a|≤1，则|f(x)|≤.[5分]
方法二 设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x.
∵－1≤x≤1，
∴当x＝±1，
即x2－1＝0时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤；[1分]
当－12 B．|a＋b|＋|a－b|<2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小
3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)
C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
4．若不等式|8x＋9|<7和不等式ax2＋bx>2的解集相等，则实数a、b的值分别为( )
A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－4，b＝－9
C．a＝－1，b＝9 D．a＝－1，b＝2
5．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是( )
A．a<－1或a>3 B．－13，则<.其中所有正确命题的序号是________________．
7．(2010·陕西)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．
8．(2011·深圳模拟)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_____________________________________________________________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2010·福建)已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
10．(12分)(2009·辽宁)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
11．(14分)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围．
学案76 不等式选讲
(一)绝对值不等式
自主梳理
1．绝对值符号 3.(2)零点分区间讨论法
4．(1)(a－b)(b－c)≥0
自我检测
1．A [∵＞，∴＜0，∴0＜x＜2.]
2．{x|－2≤x≤5}
解析 |x＋3|＋|x－4|≤9，
当x<－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x<－3；
当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立；
当x>4时，x＋3＋x－4≤9，即40，又∵x<0，∴x不存在；
当0≤x<时，原不等式可化为－2x＋10，
又∵0≤x<，∴07＋x，
可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)，
整理得x>2，或x<－4.
∴原不等式的解集是{x|x<－4，或x>2}．
(3)由题意x＝1时，|x－1|＝0，x＝－时，2x＋1＝0(以下分类讨论)．
所以①当x<－时，原不等式等价于得－1时，原不等式等价于得x无解．
由①②③得原不等式的解集为{x|－m恒成立，须有[f(x)]min>m；
(3)不等式的解集为R，即不等式恒成立；
(4)不等式的解集为∅，即不等式无解．
解 因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)、B(－3)距离的差．
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
易知(|PA|－|PB|)max＝1，
(|PA|－|PB|)min＝－1.
即|x＋2|－|x＋3|∈[－1,1]．
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1.
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m小于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，所以m<－1.
(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.
变式迁移2 解 由|x－1|＋|x－2|的几何意义，即数轴上的点x到数轴上的点1,2的距离之和知，|x－1|＋|x－2|≥1，要使|x－1|＋|x－2|>a恒成立，只须1>a.
即实数a的取值范围为(－∞，1)．
例3 解题导引 对绝对值三角不等式
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(1)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；
当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|.
(2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证．
(3)利用“＝”成立的条件可求函数的最值．
A [∵|x－y|＝|x－A－(y－A)|，
∴由三角不等式定理
|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|
得：|x－y|≤|x－A|＋|y－A|<＋＝ε.
反过来由|x－y|<ε，得不出|x－A|<且|y－A|<，
故选A.]
变式迁移3 解 (1)|x＋2|－|x－2|
≤|(x＋2)－(x－2)|＝4，
当x>2时，“＝”成立．
故函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值为4.
(2)|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5.
当－2≤x≤3时，取“＝”．
故y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值为5.
课后练习区
1．A [∵|x2－x|<2，∴－20 (b<0时同理)．
(1)当－13，∴<，∴<，即||<.
故①、②、③都正确．
7．{x|x≥1}
解析 原不等式可化为：
或
或
∴x∈∅或1≤x<2或x≥2.∴不等式的解集为{x|x≥1}．
8．(－∞，0)∪{2}
解析 由|x＋1|＋|x－3|的几何意义知，
|x＋1|＋|x－3|∈[4，＋∞)，∴a＋≤4.
当a>0时，a＋≥4，当且仅当a＝2时，取等号，
当a<0，显然符合题意．
9．解 方法一 (1)由f(x)≤3
得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.(3分)
又已知不等式f(x)≤3的解集为
{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2.(6分)
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，
于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|
＝(8分)
所以当x<－3时，g(x)>5；
当－3≤x≤2时，g(x)＝5；
当x>2时，g(x)>5.
综上可得，g(x)的最小值为5.(10分)
从而若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)min≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．(12分)
方法二 (1)同方法一．(6分)
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，
g(x)的最小值为5.(10分)
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，
即g(x)min≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．(12分)
10．解 (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.
由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.
①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3.
不等式组的解集为.(2分)
②当－11时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3.
不等式组的解集为.
综上得，f(x)≥3的解集为∪.(6分)
(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．
若a<1，f(x)＝(8分)
f(x)的最小值为1－a.(9分)
若a>1，f(x)＝(11分)
f(x)的最小值为a－1.
所以∀x∈R.f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(12分)
11．解 由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立．
故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．
(2分)
∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)(a－b)≥0时取等号，
∴的最小值等于2.(6分)
∴x的取值范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解．
解不等式得≤x≤.(14分)
