高三数学总复习学案14

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高三数学总复习学案14

学案14 导数在研究函数中的应用 ‎0导学目标: 1.了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值.‎ 自主梳理 ‎1.导数和函数单调性的关系:‎ ‎(1)若f′(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是______函数,f′(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间;‎ ‎(2)若f′(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是______函数,f′(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为______区间;‎ ‎(3)若在(a,b)上,f′(x)≥0,且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a,b)上为______函数,若在(a,b)上,f′(x)≤0,且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于零⇔f(x)在(a,b)上为______函数.‎ ‎2.函数的极值 ‎(1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,‎ ‎①如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极大值;‎ ‎②如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极小值.‎ ‎(2)求可导函数极值的步骤 ‎①求f′(x);‎ ‎②求方程________的根;‎ ‎③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得________;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得________.‎ 自我检测 ‎1.已知f(x)的定义域为R,f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则 (  )‎ A.f(x)在x=1处取得极小值 B.f(x)在x=1处取得极大值 C.f(x)是R上的增函数 D.f(x)是(-∞,1)上的减函数,(1,+∞)上的增函数 ‎2.(2009·广东)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 (  )‎ A.(-∞,2) B.(0,3)‎ C.(1,4) D.(2,+∞)‎ ‎3.(2011·济宁模拟)已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)(  )‎ A.在(-∞,0)上为减函数 B.在x=0处取极小值 C.在(4,+∞)上为减函数 D.在x=2处取极大值 ‎4.设p:f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.(2011·福州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则f(2)=________.‎ 探究点一 函数的单调性 例1 已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).‎ ‎(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围;‎ ‎(3)函数f(x)能否为R上的单调函数,若能,求出a的取值范围;若不能,请说明理由.‎ 变式迁移1 (2009·浙江)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).‎ ‎(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.‎ 探究点二 函数的极值 例2 若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.‎ 变式迁移2 设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.‎ ‎(1)试确定常数a和b的值;‎ ‎(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.‎ 探究点三 求闭区间上函数的最值 例3 (2011·六安模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.‎ ‎(1)求a,b,c的值;‎ ‎(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.‎ 变式迁移3 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.‎ ‎(1)求f(x)的表达式;‎ ‎(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.‎ 分类讨论求函数的单调区间 例 (12分)(2009·辽宁)已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a>1.‎ ‎(1)讨论函数f(x)的单调性;‎ ‎(2)证明:若a<5,则对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,有>-1.‎ 多角度审题 (1)先求导,根据参数a的值进行分类讨论;(2)若x1>x2,结论等价于f(x1)+x1>f(x2)+x2,若x11,故10,故f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,a-1),(1,+∞)上单调递增.‎ ‎③若a-1>1,即a>2时,同理可得f(x)在(1,a-1)上单调递减,‎ 在(0,1),(a-1,+∞)上单调递增.[6分]‎ ‎(2)证明 考虑函数g(x)=f(x)+x ‎=x2-ax+(a-1)ln x+x.‎ 则g′(x)=x-(a-1)+≥2-(a-1)‎ ‎=1-(-1)2.‎ 由于10,‎ 即g(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 从而当x1>x2>0时,有g(x1)-g(x2)>0,‎ 即f(x1)-f(x2)+x1-x2>0,‎ 故>-1.[10分]‎ 当0-1.‎ 综上,若a<5,对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2有>-1.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ ‎(1)讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集,一般就是归结为一个一元二次不 等式的解集的讨论,在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下,根的大小是分类的标准;‎ ‎(2)利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数,通过函数研究函数的性质进而解决不等式问题.‎ ‎1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法:‎ ‎(1)确定函数f(x)的定义域;‎ ‎(2)求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实根;‎ ‎(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;‎ ‎(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.‎ ‎2.可导函数极值存在的条件:‎ ‎(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)=0,但当f′(x1)=0时,x1不一定是极值点.如f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是极值点.‎ ‎(2)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.‎ ‎3.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.‎ ‎4.求函数的最值以导数为工具,先找到极值点,再求极值和区间端点函数值,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. ‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2011·大连模拟)设f(x),g(x)是R上的可导函数,f′(x)、g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且f′(x)·g(x)+f(x)g′(x)<0,则当af(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x)‎ C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(a)g(a)‎ ‎2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 (  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎3.(2011·嘉兴模拟)若函数y=a(x3-x)在区间上为减函数,则a的取值范围是 (  )‎ A.a>0 B.-11 D.0 C.m≤ D.m< ‎5.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则 (  )‎ A.a>-3 B.a<-3‎ C.a>- D.a<- 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.(2009·辽宁)若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=________.‎ ‎7.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如右图所示,给出以下结论:‎ ‎①函数f(x)在(-2,-1)和(1,2)上是单调递增函数;‎ ‎②函数f(x)在(-2,0)上是单调递增函数,在(0,2)上是单调递减函数;‎ ‎③函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值;‎ ‎④函数f(x)在x=0处取得极大值f(0).‎ 则正确命题的序号是________.(填上所有正确命题的序号).‎ ‎8.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围为________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)求函数f(x)=的极值.‎ ‎10.(12分)(2011·秦皇岛模拟)已知a为实数,且函数f(x)=(x2-4)(x-a).‎ ‎(1)求导函数f′(x);‎ ‎(2)若f′(-1)=0,求函数f(x)在[-2,2]上的最大值、最小值.‎ ‎11.(14分)(2011·汕头模拟)已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.‎ ‎(1)求m,n的值及函数y=f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.‎ 答案 自主梳理 ‎1.(1)增 增 (2)减 减 (3)增 减 2.(1)①f′(x)>0‎ f′(x)<0 ②f′(x)<‎0 ‎f′(x)>0 (2)②f′(x)=0‎ ‎③f′(x)=0 极大值 极小值 自我检测 ‎1.C 2.D 3.C 4.C ‎5.18‎ 解析 f′(x)=3x2+2ax+b,‎ 由题意即 得a=4,b=-11或a=-3,b=3.‎ 但当a=-3时,f′(x)=3x2-6x+3≥0,故不存在极值,‎ ‎∴a=4,b=-11,f(2)=18.‎ 课堂活动区 例1 解题导引 (1)一般地,涉及到函数(尤其是一些非常规函数)的单调性问题,往往可以借助导数这一重要工具进行求解.函数在定义域内存在单调区间,就是不等式f′(x)>0或f′(x)<0在定义域内有解.这样就可以把问题转化为解不等式问题.‎ ‎(2)已知函数在某个区间上单调求参数问题,通常是解决一个恒成立问题,方法有①分离参数法,②利用二次函数中恒成立问题解决.‎ ‎(3)一般地,可导函数f(x)在(a,b)上是增(或减)函数的充要条件是:对任意x∈(a,b),都有f′(x)≥0(或f′(x)≤0),且f′(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于零.特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时,要注意“等号”是否可以取到.‎ 解 (1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,‎ ‎∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex.‎ 令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,‎ ‎∵ex>0,∴-x2+2>0,解得-0,‎ ‎∴-x2+(a-2)x+a≥0对x∈(-1,1)都成立,‎ 即x2-(a-2)x-a≤0对x∈(-1,1)恒成立.‎ 设h(x)=x2-(a-2)x-a 只须满足,解得a≥.‎ ‎(3)若函数f(x)在R上单调递减,‎ 则f′(x)≤0对x∈R都成立,即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立.‎ ‎∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立.‎ ‎∴Δ=(a-2)2+‎4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的.‎ 故函数f(x)不可能在R上单调递减.‎ 若函数f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0对x∈R都成立,即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对x∈R都成立.‎ ‎∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≤0对x∈R都成立.‎ 而x2-(a-2)x-a≤0不可能恒成立,‎ 故函数f(x)不可能在R上单调递增.‎ 综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数.‎ 变式迁移1 解 (1)由题意得f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2),又,‎ 解得b=0,a=-3或a=1.‎ ‎(2)由f′(x)=0,得x1=a,x2=-.‎ 又f(x)在(-1,1)上不单调,‎ 即或 解得或 所以a的取值范围为(-5,-)∪(-,1).‎ 例2 解题导引 本题研究函数的极值问题.利用待定系数法,由极值点的导数值为0,以及极大值、极小值,建立方程组求解.判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点,所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性,然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值.‎ 解 (1)由题意可知f′(x)=3ax2-b.‎ 于是,解得 故所求的函数解析式为f(x)=x3-4x+4.‎ ‎(2)由(1)可知f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2).‎ 令f′(x)=0得x=2或x=-2,‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表所示:‎ x ‎(-∞,-2)‎ ‎-2‎ ‎(-2,2)‎ ‎2‎ ‎(2,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 因此,当x=-2时,‎ f(x)有极大值,‎ 当x=2时,f(x)有极小值-,‎ 所以函数的大致图象如图,‎ 故实数k的取值范围为 ‎(-,).‎ 变式迁移2 解 (1)f′(x)=+2bx+1,‎ ‎∴.解得a=-,b=-.‎ ‎(2)f′(x)=-+(-)+1=-.‎ 函数定义域为(0,+∞),列表 x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ ‎(2,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ‎∴x=1是f(x)的极小值点,x=2是f(x)的极大值点.‎ 例3 解题导引 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤:‎ ‎(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.‎ ‎(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.‎ 解 (1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,‎ 得f′(x)=3x2+2ax+b,‎ 当x=1时,切线l的斜率为3,可得‎2a+b=0;①‎ 当x=时,y=f(x)有极值,则f′=0,‎ 可得‎4a+3b+4=0.②‎ 由①②解得a=2,b=-4,‎ 又切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.‎ ‎∴1+a+b+c=4.∴c=5.‎ ‎(2)由(1),得f(x)=x3+2x2-4x+5,‎ ‎∴f′(x)=3x2+4x-4.‎ 令f′(x)=0,得x=-2或x=,‎ ‎∴f′(x)<0的解集为,即为f(x)的减区间.‎ ‎[-3,-2)、是函数的增区间.‎ 又f(-3)=8,f(-2)=13,f=,f(1)=4,‎ ‎∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为.‎ 变式迁移3 解 (1)由题意得f′(x)=3ax2+2x+b.‎ 因此g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(‎3a+1)x2+(b+2)x+b.‎ 因为函数g(x)是奇函数,‎ 所以g(-x)=-g(x),即对任意实数x,‎ 有a(-x)3+(‎3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b ‎=-[ax3+(‎3a+1)x2+(b+2)x+b],‎ 从而‎3a+1=0,b=0,解得a=-,b=0,‎ 因此f(x)的表达式为f(x)=-x3+x2.‎ ‎(2)由(1)知g(x)=-x3+2x,‎ 所以g′(x)=-x2+2,令g′(x)=0,‎ 解得x1=-,x2=,‎ 则当x<-或x>时,g′(x)<0,‎ 从而g(x)在区间(-∞,-),(,+∞)上是减函数;‎ 当-0,‎ 从而g(x)在区间(-,)上是增函数.‎ 由前面讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x=1,,2时取得,‎ 而g(1)=,g()=,g(2)=.‎ 因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()=,‎ 最小值为g(2)=.‎ 课后练习区 ‎1.C 2.A 3.A 4.A 5.B ‎6.3‎ 解析 ∵f′(x)=()′‎ ‎==,‎ 又∵x=1为函数的极值,∴f′(1)=0.‎ ‎∴1+2×1-a=0,即a=3.‎ ‎7.②④‎ 解析 观察函数f(x)的导函数f′(x)的图象,由单调性、极值与导数值的关系直接判断.‎ ‎8.(-∞,-3)∪(6,+∞)‎ 解析 f′(x)=3x2+2mx+m+6=0有两个不等实根,则Δ=‎4m2‎-12×(m+6)>0,∴m>6或m<-3.‎ ‎9.解 f′(x)=()′=,由f′(x)=0得x=-2,1.………………(4分)‎ 当x∈(-∞,-2)时f′(x)<0,当x∈(-2,1)时f′(x)>0,故x=-2是函数的极小值点,故f(x)的极小值为f(-2)=-;…………………………………………………………………(8分)‎ 当x∈(-2,1)时f′(x)>0,当x∈(1,+∞)时f′(x)<0,‎ 故x=1是函数的极大值点,‎ 所以f(x)的极大值为f(1)=1.……………………………………………………………(12分)‎ ‎10.解 (1)由f(x)=x3-ax2-4x+‎4a,‎ 得f′(x)=3x2-2ax-4.…………………………………………………………………(4分)‎ ‎(2)因为f′(-1)=0,所以a=,‎ 所以f(x)=x3-x2-4x+2,f′(x)=3x2-x-4.‎ 又f′(x)=0,所以x=或x=-1.‎ 又f=-,f(-1)=,‎ f(-2)=0,f(2)=0,所以f(x)在[-2,2]上的最大值、最小值分别为、-.………(12分)‎ ‎11.解 (1)由函数f(x)图象过点(-1,-6),‎ 得m-n=-3. ①‎ 由f(x)=x3+mx2+nx-2,‎ 得f′(x)=3x2+2mx+n,‎ 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(‎2m+6)x+n.‎ 而g(x)的图象关于y轴对称,所以-=0.‎ 所以m=-3,代入①,得n=0.…………………………………………………………(4分)‎ 于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).‎ 由f′(x)>0,得x>2或x<0,‎ 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)∪(2,+∞);‎ 由f′(x)<0,得0
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