高三数学总复习学案28
第六章 数 列
学案28 数列的概念与简单表示法
导学目标： 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
自主梳理
1．数列的定义
按________________着的一列数叫数列，数列中的______________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是________________________的函数，数列的一般形式为：______________________，简记为{an}，其中an是数列的第____项．
2．通项公式：
如果数列{an}的______与____之间的关系可以____________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．
3．数列常用表示法有：_________、________、________.
4．数列的分类：
数列按项数来分，分为____________、__________；按项的增减规律分为________、________、__________和__________．递增数列⇔an＋1______an；递减数列⇔an＋1______an；常数列⇔an＋1______an.
5．an与Sn的关系：
已知Sn，则an＝
自我检测
1．(2011·汕头月考)设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第几项的和最大 ( )
A．10 B．11
C．10或11 D．12
2．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于 ( )
A．－165 B．－33 C．－30 D．－21
3．(2011·龙岩月考)已知数列－1，，－，，…按此规律，则这个数列的通项公式是( )
A．an＝(－1)n·
B．an＝(－1)n·
C．an＝(－1)n·
D．an＝(－1)n·
4．下列对数列的理解：
①数列可以看成一个定义在N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数；
②数列的项数是有限的；
③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
④数列的通项公式是唯一的．
其中说法正确的序号是 ( )
A．①②③ B．②③④
C．①③ D．①②③④
5．(2011·湖南长郡中学月考)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋ (n∈N*)，则该数列的通项an＝______.
探究点一 由数列前几项求数列通项
例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
(1)，，，，，…；
(2)，－2，，－8，，….
变式迁移1 写出下列数列的一个通项公式：
(1)3,5,9,17,33，…；(2)，2，，8，，…；
(3)，，2，，…；(4)1,0,1,0，….
探究点二 由递推公式求数列的通项
例2 根据下列条件，写出该数列的通项公式．
(1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)a1＝1,2n－1an＝an－1 (n≥2)．
变式迁移2 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；
(2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an；
(3)a1＝2，an＋1＝an＋ln.
探究点三 由an与Sn的关系求an
例3 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通项公式．
变式迁移3 (2011·杭州月考)(1)已知{an}的前n项和Sn＝3n＋b，求{an}的通项公式．
(2)已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2＝an＋1，求an.
函数思想的应用
例 (12分)已知数列{an}的通项an＝(n＋1)n (n∈N*)，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由．
【答题模板】
解 方法一 令[4分]
⇔⇔，∴n＝9或n＝10时，an最大，[10分]
即数列{an}有最大项，此时n＝9或n＝10.[12分]
方法二 ∵an＋1－an＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n
＝n·，[2分]
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1
a11>a12>…，[10分]
∴数列{an}中有最大项，为第9、10项．[12分]
【突破思维障碍】
有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用①作差法，②作商法，③图象法．求最大项时也可用an满足；若求最小项，则用an满足.
数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值．
【易错点剖析】
本题解题过程中易出现只解出a9这一项，而忽视了a9＝a10，从而导致漏解．
1．数列的递推公式是研究的项与项之间的关系，而通项公式则是研究的项an与项数n的关系．
2．求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握三种方法：(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察；
(2)数列{an}的前n项和Sn与数列{an}的通项公式an的关系，要注意验证能否统一到一个式子中；
(3)由递推公式求通项公式，常用方法有累加、累乘．
3．本节易错点是利用Sn求an时，忘记讨论n＝1的情况．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·安徽)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为 ( )
A．15 B．16 C．49 D．64
2．已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是 ( )
A．递增数列 B．递减数列
C．摆动数列 D．常数列
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于 ( )
A．4 B．2 C．1 D．－2
4．(2011·烟台模拟)数列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，则a6等于 ( )
A．13 B. C．11 D.
5．数列{an}满足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为 ( )
A．5 B. C. D.
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 010的值为________．
7．已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项an＝__________________.
8．(2011·安庆月考)将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
… … … … … …
根据以上排列规律，数阵中第n (n≥3)行从左至右的第3个数是____________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)写出下列各数列的一个通项公式．
(1)1，2，3，4，…；
(2)－1，，－，，－，.
10．(12分)由下列数列{an}递推公式求数列{an}的通项公式：
(1)a1＝1，an－an－1＝n (n≥2)；
(2)a1＝1，＝ (n≥2)；
(3)a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)．
11．(14分)(2009·安徽)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn＝a·bn，证明：当且仅当n≥3时，cn＋1 < ＝ 5.S1 Sn－Sn－1
自我检测
1．C 2.C 3.C 4.C
5.
课堂活动区
例1 解题导引 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想，得出的结论不一定可靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行证明．
解 (1)原数列为，，，，，…，
∴an＝＝.
(2)原数列为，－，，－，，…，
∴an＝.
变式迁移1 解 (1)∵a1＝3＝21＋1，
a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…，
∴an＝2n＋1.
(2)将数列中各项统一成分母为2的分数，得
，，，，，…，
观察知，各项的分子是对应项数的平方，
∴数列通项公式是an＝.
(3)将数列各项统一成的形式得
，，，，…；
观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，…，所以数列的通项公式是an＝.
(4)从奇数项，偶数项角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作数列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…对应项相加之和的一半组成的数列，也可用正弦函数和余弦函数的最值和零点值来调整表示．
所以an＝
或an＝ (n∈N*)，
或an＝或an＝sin2 (n∈N*)，
或an＝ (n∈N*)．
例2 解题导引 利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法：
(1)累加法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的差的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n－1个式子相加，整理求出数列的通项公式．
(2)累积法：如果已知数列{an}的相邻两项an＋1与an的商的一个关系式，我们可依次写出前n项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n－1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．
(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解．
解 (1)当n＝1,2,3，…，n－1时，可得n－1个等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，
将其相加，
得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)．
∴an＝a1＋＝2＋.
(2)方法一 an＝··…···a1
＝n－1·n－2·…·2·1
＝1＋2＋…＋(n－1)＝，
∴an＝.
方法二 由2n－1an＝an－1，
得an＝n－1an－1.
∴an＝n－1an－1
＝n－1·n－2an－2
＝n－1·n－2·…·1a1
＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝
变式迁移2 解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，
∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1.
(2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1.
∴＝n，＝n－1，
……
＝3，
＝2，
a1＝1.
累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！.
故an＝n！.
(3)∵an＋1＝an＋ln，
∴an＋1－an＝ln＝ln .
∴an－an－1＝ln ，
an－1－an－2＝ln ，
……
a2－a1＝ln ，
累加可得，an－a1＝ln ＋ln ＋…＋ln
＝ln n－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln 2－ln 1
＝ln n.
又a1＝2，∴an＝ln n＋2.
例3 解题导引 an与Sn的关系式an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2，求an时切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情况．一般地，当a1＝S1适合an＝Sn－Sn－1时，则需统一“合写”．当a1＝S1不适合an＝Sn－Sn－1时，则通项公式应分段表示，即an＝
解 当n＝1时，
a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5；
又n＝1时，an＝4×1－5＝－1≠a1，
∴an＝
变式迁移3 解 (1)a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式；
当b≠－1时，a1不适合此等式．
∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝.
(2)由2＝an＋1，得Sn＝2，
当n＝1时，a1＝S1＝2，得a1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2－2，
整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
∵数列{an}各项为正，∴an＋an－1>0.
∴an－an－1－2＝0.
∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1.
课后练习区
1．A 2.A 3.A 4.D 5.B
6. 7. 8.
9．解 (1)∵a1＝1＋，a2＝2＋，a3＝3＋，…，
∴an＝n＋(n∈N*)．…………………………………………………………………(6分)
(2)∵a1＝－，a2＝，a3＝－，
a4＝，…，
∴an＝(－1)n·(n∈N*)．………………………………………………………(12分)
10．解 (1)由题意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2.
将上述各式等号两边累加得，
an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2，
即an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝，
故an＝.……………………………………………………………………………(4分)
(2)由题意得，＝，＝，…，＝，＝.
将上述各式累乘得，＝，故an＝.……………………………………………………(8分)
(3)由an＝2an－1＋1，
得an＋1＝2(an－1＋1)，
又a1＋1＝2≠0，所以＝2，
即数列{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.…………………………………………………………(12分)
11．(1)解 a1＝S1＝4.……………………………………………………………………(1分)
对于n≥2有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也适合，
∴{an}的通项公式an＝4n.………………………………………………………………(3分)
将n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.………………………………(4分)
(求bn方法一)对于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，
Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，
∴bn＝bn－1，bn＝21－n.……………………………………………………………………(6分)
(求bn方法二)对于n≥2，由Tn＝2－bn得
Tn＝2－(Tn－Tn－1)，
2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)，
Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n，
Tn＝2－21－n，
bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n.
b1＝1也适合．……………………………………………………………………………(6分)
综上，{bn}的通项公式bn＝21－n.…………………………………………………………(8分)
(2)证明 方法一 由cn＝a·bn＝n225－n，………………………………………………(10分)
得＝2.………………………………………………………………………(12分)
当且仅当n≥3时，1＋≤<，
∴<·()2＝1，又cn＝n2·25－n>0，
即cn＋1
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