高三数学总复习学案10
学案10 函数的图像
导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．
自主梳理
1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．
2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(__________、__________、__________)；④画出函数的图象．
3．利用基本函数图象的变换作图：
(1)平移变换：函数y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象向____(a>0)或向____(a<0)平移____个单位得到；函数y＝f(x)＋a的图象可由函数y＝f(x)的图象向____(a>0)或向____(a<0)平移____个单位得到．
(2)伸缩变换：函数y＝f(ax) (a>0)的图象可由y＝f(x)的图象沿x轴伸长(0
0)的图象可由函数y＝f(x)的图象沿y轴伸长(____)或缩短(________)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)
(3)对称变换：①奇函数的图象关于________对称；偶函数的图象关于____轴对称；
②f(x)与f(－x)的图象关于____轴对称；
③f(x)与－f(x)的图象关于____轴对称；
④f(x)与－f(－x)的图象关于________对称；
⑤f(x)与f(2a－x)的图象关于直线________对称；
⑥曲线f(x，y)＝0与曲线f(2a－x,2b－y)＝0关于点________对称；
⑦|f(x)|的图象先保留f(x)原来在x轴________的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；
⑧f(|x|)的图象先保留f(x)在y轴________的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到．
自我检测
1．(2009·北京)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．(2011·烟台模拟)已知图1是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是
( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)
3．函数f(x)＝－x的图象关于 ( )
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
4．使log2(－x)0且a≠1)，若f(4)·g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是 ( )
探究点一 作图
例1 (1)作函数y＝|x－x2|的图象；
(2)作函数y＝x2－|x|的图象；
(3)作函数的图象．
变式迁移1 作函数y＝的图象．
探究点二 识图
例2 (1)函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图，
则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是 ( )
(2)已知y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(1－x)的图象为 ( )
变式迁移2 (1)(2010·山东)函数y＝2x－x2的图象大致是 ( )
(2)函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式是 ( )
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x
D．f(x)＝x·(x－)·(x－)
探究点三 图象的应用
例3 若关于x的方程|x2－4x＋3|－a＝x至少有三个不相等的实数根，试求实数a的取值范围．
变式迁移3 (2010·全国Ⅰ)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
数形结合思想的应用
例 (5分)(2010·北京东城区一模)定义在R上的函数y＝f(x)是减函数，且函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)．则当1≤s≤4时，的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【答题模板】
答案 D
解析 因函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y＝f(x)，即y＝f(x)的图象关于(0,0)对称，所以y＝f(x)是奇函数．又y＝f(x)是R上的减函数，所以s2－2s≥t2－2t，令y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
图象的对称轴为x＝1，
当1≤s≤4时，要使s2－2s≥t2－2t，即s－1≥|t－1|，
当t≥1时，有s≥t≥1，所以≤≤1；
当t<1时，
即s－1≥1－t，即s＋t≥2，
问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s≤4，t<1，s＋t≥2组成的不等式组的可行域.为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－≤<1.综上可知选D.
【突破思维障碍】
当s，t位于对称轴x＝1的两边时，如何由s2－2s≥t2－2t判断s，t之间的关系式，这时s，t与对称轴x＝1的距离的远近决定着不等式s2－2s≥t2－2t成立与否，通过数形结合判断出关系式s－1≥1－t，从而得出s＋t≥2，此时有一个隐含条件为t<1，再结合1≤s≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s，t所在区域时，要结合的几何意义为点(s，t)和原点连线的斜率，确定s为横轴，t为纵轴．
【易错点剖析】
当得到不等式s2－2s≥t2－2t后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s，t都在二次函数y＝x2－2x的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s，t在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s，t在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t<1及联想不起来线性规划．
1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．
2．合理处理识图题与用图题
(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．
(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·重庆)函数f(x)＝的图象 ( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
2．(2010·湖南)用min{a，b}表示a，b两数中的最小值．若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－对称，则t的值为 ( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
3．(2011·北京海淀区模拟)在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，可能正确的是 ( )
4．(2011·深圳模拟)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为
( )
5．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为 ( )
A．1 B．－1 C. D.
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．为了得到函数y＝3×()x的图象，可以把函数y＝()x的图象向________平移________个单位长度．
7．(2011·黄山月考)函数f(x)＝的图象对称中心是________．
8．(2011·沈阳调研)如下图所示，向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止．
(1)若水量V与水深h函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；
(2)若水深h与注水时间t的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________．
(3)若注水时间t与水深h的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________；
(4)若水深h与注水时间t的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；
(5)求当x∈[1,5)时函数的值域．
10．(12分)(2011·三明模拟)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)20)．
(1)若g(x)＝m有根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
答案 自主梳理
2．③奇偶性 单调性 周期性 3.(1)左 右 |a| 上 下 |a| (2)a>1 a>1 00的部分关于y轴的对称部分，
即得y＝|x|的图象．
变式迁移1 解 定义域是{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数．
又当x≥0且x≠1时，y＝.
先作函数y＝的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝ (x≥0且x≠1)的图象(如图(a)所示)．
又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，
得y＝的图象(如图(b)所示)．
例2 解题导引 对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（1）A[从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B.又x<0时，g(x)为增函数且为正值,f(x)也是增函数，故f(x)·g(x)为增函数，且正负取决于f(x)的正负，注意到x→（从小于0趋向于0），f(x)·g(x)→+∞，可排除C、D.］（2）A［因为f(1-x)=f（-(x-1)）,故y=f(1-x)的图象可以由y=f(x
)的图象按照如下变换得到：先将y=f(x)的图象关于y轴翻折，得y=f(-x)的图象，然后将y=f(-x)的图象向右平移一个单位，即得y=f(-x+1)的图象.］
变式迁移2 (1)A [考查函数y＝2x与y＝x2的图象可知：
当x<0时，方程2x－x2＝0仅有一个零点，
且→－∞；
当x>0时，方程2x－x2＝0有两个零点2和4，
且→＋∞.]
(2)C [由图象知f(x)为奇函数，排除D；
又0，±，±π为方程f(x)＝0的根，故选C.]
例3 解题导引 原方程重新整理为|x2－4x＋3|＝x＋a，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a的取值范围．
方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．
解 原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设y＝|x2－4x＋3|，y＝x＋a，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由，得，x2－3x＋a＋3＝0，
由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a＝－.
由图象知当a∈[－1，－]时方程至少有三个根．
变式迁移3 (1，)
解析 y＝x2－|x|＋a＝
当其图象如图所示时满足题意．
由图知解得10，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y轴右边，∴－>0，∴a<0，又∵图象过原点，∴a2－1＝0，∴a＝－1.]
6．右 1
解析 ∵y＝3×()x＝()x－1，
∴y＝()x向右平移1个单位便得到y＝()x－1.
7．(－1,2)
解析 ∵f(x)＝＝＝2－，
∴函数f(x)图象的对称中心为(－1,2)．
8．(1)A (2)D (3)B (4)C
9．解 (1)∵f(4)＝0，∴4|m－4|＝0，即m＝4.…………………………………………(2分)
(2)f(x)＝x|x－4|
＝………………………………………………(4分)
f(x)的图象如右图所示．
(3)由图可知，f(x)的减区间是[2,4]．……………………………………………………(8分)
(4)由图象可知f(x)>0的解集为
{x|04}．………………………………………………………………………(10分)
(5)∵f(5)＝5>4，
由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(12分)
10.
解 设f1(x)＝(x－1)2，
f2(x)＝logax，
要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)21时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，……………………………………………………………(10分)
∴10，∴g(x)＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，……………………………………………………………(4分)
因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有根．…………………………………………………(6分)
方法二 作出g(x)＝x＋的图象如图：
……………………………………………………………………………………………(4分)
可知若使g(x)＝m有根，则只需m≥2e.………………………………………………(6分)
方法三 解方程由g(x)＝m，得x2－mx＋e2＝0.
此方程有大于零的根，故……………………………………………(4分)
等价于，故m≥2e.…………………………………………………(6分)
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，
作出g(x)＝x＋ (x>0)的图象．
∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，
最大值为m－1＋e2.……………………………………………………………………(10分)
故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，
即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．……………………………………………(14分)
