2019年高考数学总复习检测第5讲 函数的值域与最值
第5讲 函数的值域与最值
1．已知函数f(x)的值域为[－2,3]，则函数f(x－2)的值域为(D)
A. [－4,1] B. [0,5]
C. [－4,1]∪[0,5] D. [－2,3]
函数y＝f(x－2)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移2个单位而得到的，其值域不变．
2．函数y＝的值域是(C)
A．[0，＋∞) B．[0,4]
C．[0,4) D．(0,4)
因为16－4x≥0，且4x>0，
所以0≤16－4x<16，所以0≤<4.
3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(B)
A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)
C．[1,3] D．(1,3)
f(a)的值域为(－1，＋∞)，由－b2＋4b－3>－1，
解得2－
0，且ln 1≤1－2a＋3a，
解得－1≤a<.
所以a的取值范围是[－1，)．
5．函数y＝(x∈R)的值域为 [0,1) .
y＝＝＝1－.
因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以0≤y<1.
6．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为 (－∞，－3] .
只需要在x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m即可．
而当x＝1时，(x2－4x)min＝－3，所以m≤－3.
7．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝2x＋4；
(3)y＝|x＋1|＋.
(1)y＝＝1＋，
因为≠0，所以y≠1，
即所求函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
(2)因为函数的定义域为{x|x≥1}，
又函数是增函数，所以函数的值域为[2，＋∞)．
(3)y＝|x＋1|＋|x－2|＝
画出函数的图象，由图象观察可知，所求函数的值域为[3，＋∞)．
8．(2017·天津卷)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(A)
A．[－2,2] B．[－2，2]
C．[－2,2] D．[－2，2]
(方法一)因为f(x)≥＋a在R上恒成立，
所以－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立．
令g(x)＝－f(x)－.
当0≤x＜1时，f(x)＝x＋2，
g(x)＝－x－2－＝－x－2≤－2，即g(x)max＝－2.
当x＜0时，f(x)＝－x＋2，g(x)＝x－2－＝－2，
即g(x)＜－2.
当x≥1时，f(x)＝x＋，g(x)＝－x－－＝－x－≤－2，即g(x)max＝－2.所以a≥－2.
令h(x)＝f(x)－.
当0≤x＜1时，f(x)＝x＋2，h(x)＝x＋2－＝＋2≥2，即h(x)min＝2.
当x＜0时，f(x)＝－x＋2，h(x)＝－x＋2－＝－x＋2＞2，
即h(x)＞2.
当x≥1时，f(x)＝x＋，h(x)＝x＋－＝＋≥2，即h(x)min＝2.所以a≤2.综上可知，－2≤a≤2.
(方法二)若a＝2，则当x＝0时，f(0)＝2，而＋a＝2，不等式不成立，故排除选项C，D.
若a＝－2，则当x＝0时，f(0)＝2，而＋a＝2，
不等式不成立，故排除选项B.
故选A.
9．已知函数f(x)满足2f(x)－f()＝，则f(x)的最小值为 2 .
由2f(x)－f()＝， ①
令①式中的x变为，可得
2f()－f(x)＝3x2， ②
由①②可解得f(x)＝＋x2，由于x2>0，
由基本不等式可得f(x)＝＋x2≥2＝2.
当x2＝时取等号，因此，其最小值为2.
10．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．
(1)若f(x)在[m，n]上的值域是[m，n]，求a的取值范围，并求相应的m，n的值；
(2)若f(x)≤2x在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．
(1)因为f(x)＝－(a＞0，x＞0)，
所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
那么当x∈[m，n]时，y∈[m，n]，所以
即m，n是方程－＝x相异的两实根，
由－＝x，得x2－x＋1＝0，
由题设知：所以0＜a＜.
此时，m＝，n＝.
(2)若－≤2x在(0，＋∞)上恒成立．
那么a≥恒成立．
令g(x)＝(x＞0)．所以g(x)≤＝.
故a≥.
