高中数学必修1示范教案（1_2 指数函数及其性质 第1课时）

高中数学必修1示范教案（1_2 指数函数及其性质 第1课时）

‎2.1.2 指数函数及其性质 整体设计 教学分析 有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.‎ 教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.‎ 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.‎ 根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.‎ 三维目标 ‎1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质,体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.‎ ‎2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.‎ ‎3.通过训练点评,让学生更能熟练指数幂运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.‎ 重点难点 教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.‎ 教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.‎ 课时安排 ‎3课时 教学过程 第1课时 指数函数及其性质(1)‎ 导入新课 思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式,它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的,则至少要漂洗几次？教师引导学生分析,列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上,这样的函数叫指数函数,引出本节课题.‎ 思路2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算23,20,2-2,16,27,49.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案8,1, ,2,9,,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.‎ 思路3.在本章的开头,问题（2）中时间t和碳14含量P的对应关系P=［()］t,如果我们用x表示时间,y表示碳14的含量,则上述关系可表示为y=［()］x,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数,下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是_________.(y=0.84x)‎ ‎2.某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的关系式是_________.(y=2x)‎ 提出问题 ‎(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗?‎ ‎(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?‎ ‎(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1?‎ ‎(4)为什么指数函数的定义域是实数集?‎ ‎(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.‎ 活动：先让学生仔细观察,交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.‎ 问题(1)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值.‎ 问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.‎ 问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.‎ 问题(4)在(3)的规定下,我们可以把ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.‎ 问题(5)使学生回想指数函数的定义,根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数,紧扣指数函数的形式.‎ 讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值,y都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量x都在指数的位置上,它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.84与2虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有x和y.‎ ‎(2)对于两个解析式y=0.84x和y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示,这样我们得到指数函数的定义:‎ 一般地,函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数,其中x叫自变量,函数的定义域是实数集R.‎ ‎(3)a=0时,x>0时,ax总为0;x≤0时,ax没有意义.‎ a<0时,如a=-2,x=,ax=(-2)=显然是没有意义的.‎ a=1时,ax恒等于1,没有研究的必要.‎ 因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可,不要深化.‎ ‎(4)因为a>0,x可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集R.‎ ‎(5)判断一个函数是否是一个指数函数,一是看底数是否是一个常数,‎ 再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上,满足这两个条件的函数才是指数函数.‎ 提出问题 ‎(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢?‎ ‎(2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤.‎ ‎(3)利用上面的步骤,作函数y=2x的图象.‎ ‎(4)利用上面的步骤,作函数y=()x的图象.‎ ‎(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?‎ ‎(6)根据上述几个函数图象的特点,你能归纳出指数函数的性质吗?‎ ‎(7)把y=2x和y=()x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗?‎ ‎(8)你能证明上述结论吗?‎ ‎(9)能否用y=2x的图象画y=()x的图象?请说明画法的理由.‎ 活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用,注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导,投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13及2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足.学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路,独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流,形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.‎ 讨论结果：(1)我们研究函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般,一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的性质.‎ ‎(2)一般是列表,描点,连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象.‎ ‎(3)列表.‎ x ‎-3.00‎ ‎-2.50‎ ‎-2.00‎ ‎-1.50‎ ‎-1.00‎ ‎0.00‎ ‎0.50‎ ‎1.00‎ ‎1.50‎ ‎2.00‎ y=2x ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ 作图如图2-1-2-1‎ 图2-1-2-1‎ ‎(4)列表.‎ x ‎-2.50‎ ‎-2.00‎ ‎-1.50‎ ‎-1.00‎ ‎0.00‎ ‎1.00‎ ‎1.50‎ ‎2.00‎ ‎2.50‎ y=()x ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ 作图如图2-1-2-2‎ 图2-1-2-2‎ ‎(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的,说明是增函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y值分布有以下特点,x<0时00时y>1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇函数也不是偶函数.‎ 通过观察图2122,可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于x轴上方,说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<0时y>1,x>0时01和0,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2.‎ 活动：学生观察,小组讨论,尝试解决以上题目,学生紧扣指数函数的定义解题,因为y=x2,y=2·4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式,教师强调y=ax的形式的重要性,即a前面的系数为1,a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式.‎ 解：y=8x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx是指数函数;y=x2,y=2·4x,y=6x3+2不是指数函数.‎ 变式训练 函数y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=()-2x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些?‎ 答案：y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()-2x=［()-2］x是指数函数.‎ 例2比较下列各题中的两个值的大小:‎ ‎（1）1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1.‎ 活动：学生自己思考或讨论,回忆比较数的大小的方法,结合题目实际,选择合理的,再写出（最好用实物投影仪展示写得正确的答案）,比较数的大小,一是作差,看两个数差的符号,若为正,则前面的数大;二是作商,但必须是同号数,看商与1的大小,再决定两个数的大小;三是计算出每个数的值,再比较大小;四是利用图象;五是利用函数的单调性.教师在学生中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正并及时评价.‎ 解法一：用数形结合的方法,如第（1）小题,用图形计算器或计算机画出y=1.7x的图象,如图2-1-2-4.‎ 图2-1-2-4‎ 在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点,显然,图象上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方,所以1.72.5<1.73,同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.‎ 解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91,‎ 所以1.72.5<1.73.同理0.8-0.1<0.8-0.2,1.70.3>0.93.1.‎ 解法三：利用函数单调性,‎ ‎①1.72.5与1.73的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1,所以函数y=1.7x在R上是增函数,而2.5<3,所以1.72.5<1.73；‎ ‎②0.8-0.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数,而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2；‎ ‎③因为1.70.3>1,0.93.1<1,所以1.70.3>0.93.1.‎ 点评：在第（3）小题中,可以用解法一、解法二解决,但解法三不适合.由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值,因此,在这两个数值间找到1,把这两数值分别与1比较大小,进而比较1.70.3与0.93.1的大小,这里的1是中间值.‎ 思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用?‎ 活动：学生对上面的三种解法作比较,解题有法但无定法,我们要采取多种解法,在多种解法中选择最优解法,这要通过反复练习,强化来实现.‎ 变式训练 ‎1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.‎ 答案：ba;当a>1时,a0且y≠1｝.‎ ‎(2)因为-|x|≥0,所以只有x=0.‎ 因此函数y=()的定义域是｛x∣x=0｝.‎ 而y=()=()0=1,即函数y=()的值域是｛y∣y=1｝.‎ ‎(3)令≥0,得≥0,‎ 即≥0,解得x<-1或x≥1,‎ 因此函数y=10的定义域是｛x∣x<-1或x≥1｝.‎ 由于-1≥0,且≠2,所以≥0且≠1.‎ 故函数y=10的值域是｛y∣y≥1,y≠10｝.‎ 点评：求与指数函数有关的定义域和值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数的单调性,特别是第(1)题千万不能漏掉y>0.‎ 变式训练 求下列函数的定义域和值域:‎ ‎(1)y=();(2)y=;(3)y=ax-1(a>0,a≠1).‎ 答案：(1)函数y=()的定义域是R,值域是［,+∞）;(2)函数y=的定义域是［,+∞）,值域是［0,+∞）;(3)当a>1时,定义域是{x|x≥0},当030.7;‎ 对(2)因为0.75-0.1=1.029186,0.750.1=0.971642,所以0.75-0.1>0.750.1;‎ 对(3)因为1.80.6=1.422864,0.81.6=0.699752,所以1.80.6>0.81.6;‎ 对(4)因为()=2.080084,2=0.659754,所以()>2.‎ 解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较:‎ 对(1)因为函数y=3x在R上是增函数,0.8＞0.7,所以30.8>30.7;‎ 对(2)因为函数y=0.75x在R上是减函数,0.1＞-0.1,所以0.75-0.1>0.750.1;‎ 对(3)由指数函数的性质知1.80.6>1.80=1=0.80>0.81.6,所以1.80.6>0.81.6;‎ 对(4)由指数函数的性质知()>()0=1=20>2,所以()>2.‎ 解法三:利用图象法来解,具体解法略.‎ 点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时,首先把这两个数看作指数函数的两个函数值,利用指数函数的单调性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值,则寻求一个中间量,两个数都与这个中间量进行比较,这是常用的比较数的大小的方法,然后得两个数的大小,数学上称这种方法为“中间量法”.‎ 变式训练 比较与(a>0,a≠1,n∈N*,n>2)的大小关系.‎ 解：因为=a,=a,而n∈N*，n>2,‎ 所以=>0,即.‎ 因此：当a>1时a>a，即>；当00,a≠1)对任意的实数x,y都有( )‎ A.f(xy)=f(x)·f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y)‎ C.f(x+y)=f(x)·f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)‎ 答案：C ‎3.函数y=ax+5+1(a>0,a≠1)恒过定点________.‎ 答案：（-5,2）‎ 拓展提升 探究一：‎ 在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,比较这三个函数增长的快慢.‎ 活动：学生深刻回顾作函数图象的方法,交流作图的体会.列表、描点、连线,作出函数y=2x,y=3x,y=10x的图象,如图2-1-2-6.‎ x ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎10‎ y=2x ‎0.25‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎1024‎ y=3x ‎0.11‎ ‎0.33‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎27‎ ‎59049‎ y=10x ‎0.01‎ ‎0.1‎ ‎1‎ ‎10‎ ‎100‎ ‎1000‎ ‎1010‎ 图2-1-2-6‎ 从表格或图象可以看出:‎ ‎(1)x<0时,有2x>3x>10x;‎ ‎(2)x>0时,有2x<3x<10x;‎ ‎(3)当x从0增长到10,函数y=2x的值从1增加到1 024,而函数y=3x的值从1增加到59 049.这说明x>0时y=3x比y=2x的函数值增长得快.同理y=10x比y=3x的函数值增长得快.‎ 因此得：一般地,a>b>1时,(1)x<0时,有ax0时,有ax>bx>1;‎ ‎(4)指数函数的底数越大,x>0时其函数值增长就越快.‎ 探究二：‎ 分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图象(图2-1-2-7),对照底数为2、3、5的指数函数的图象,研究指数函数y=ax(00时,有axbx>1;(4)指数函数的底数越小,x>0时,其函数值减少就越快.‎ 课堂小结 ‎1.指数函数的定义.‎ ‎2.指数函数的图象和性质.‎ ‎3.利用函数的图象说出函数的性质,即数形结合的思想(方法),它是一种非常重要的数学思想和研究方法.‎ ‎4.利用指数函数的单调性比较几个数的大小,特别是中间变量法.‎ 作业 课本P59习题2.1A组 5、6、8、10.‎ 设计感想 本节课是在前面研究了函数性质的基础上,研究具体的初等函数,它是重要的初等函数,它有着丰富的内涵,且和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础,在指数函数的概念讲解过程中,既要向学生说明定义域是什么,又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的,本节内容课堂容量大,要提高课堂的效率和节奏,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务.‎ ‎(设计者：韩双影)‎