- 2021-06-24 发布 |
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文档介绍
高中数学必修1教案:第三章(第9课时)等比数列的前n项和1
课 题:3.5 等比数列的前n项和(一) 教学目的: 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 教学重点:等比数列的前n项和公式推导 教学难点:灵活应用公式解决有关问题 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教材分析: 本节是对公式的教学,要充分揭示公式之间的内在联系,掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的导出方法,理解公式的成立条件.也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件,直接记忆公式的结论是降低教学要求,违背教学规律的做法 教学过程: 一、复习引入: 首先回忆一下前两节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:=q(q≠0) 2.等比数列的通项公式: , 3.{}成等比数列=q(,q≠0) “≠0”是数列{}成等比数列的必要非充分条件 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 5.等比中项:G为a与b的等比中项. 即G=±(a,b同号). 6.性质:若m+n=p+q, 7.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法 8.等比数列的增减性:当q>1, >0或01, <0,或00时, {}是递减数列;当q=1时, {}是常数列;当q<0时, {}是摆动数列; 二、讲解新课: 例如求数列1,2,4,…262,263的各项和 即求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和,可表示为: ① 2 ② 由②—①可得: 这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”,是研究数列求和的一个重要方法 等比数列的前n项和公式: ∴当时, ① 或 ② 当q=1时, 当已知, q, n 时用公式①;当已知, q, 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列它的前n项和是 由 得 ∴当时, ① 或 ② 当q=1时, 公式的推导方法二: 有等比数列的定义, 根据等比的性质,有 即 (结论同上) 围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三: = == (结论同上) “方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决 三、例题讲解 例1 求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和. 解:由 , 从第5项到第10项的和为-=1008 例2一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人,如此继续下去,一天时间可传遍多少人? 解:根据题意可知,获知此信息的人数成首项的等比数列 则:一天内获知此信息的人数为: 例3 已知{}为等比数列,且=a,=b,(ab≠0),求. 分析:要求,需知,q,而已知条件为和.能否进一步挖掘题目的条件,使已知和未知沟通起来? 当时 =a ① ===b ② ②/①得 ③ 将③代入①,得 ∴=== 以下再化简即可. 这样处理问题很巧妙.没有分别求得与q的值,而改为求与的值,这样使问题变得简单但在分析的过程中是否完备? 第①式就有问题,附加了条件q≠1.而对q=1情况没有考虑. 使用等比数列前n项和公式时,要特别注意适用条件,即 q=1时,=n;当时, 或 (含字母已知数的等比数列求和题目,学生常忽略q=1情况,要引起足够重视,以培养学生思维的严密性) 解法1:设等比数列{}的公比为q. 若q=1(此时数列为常数列),则=n=a,=b, 从而有2a=b ∴(或) 若q≠1(即2a≠b),由已知 =a ① =b ② 又ab0, ②/①得 , ③ 将③代入①,得 ∴=== = 解法2:由,-,-成等比数列(练习中证此结论), 即a,b-a, -b成等比,所以a(-b)=( b-a) 从而有 = (包含了q=1的情况) 四、练习: 是等比数列,是其前n项和,数列 ()是否仍成等比数列? 解:设首项是,公比为q, ①当q=-1且k为偶数时,不是等比数列. ∵此时, =0. 例如:数列1,-1,1,-1,…是公比为-1的等比数列,S2=0, ②当q≠-1或k为奇数时, = = = ()成等比数列 评述:应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论,还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件. 五、小结 1. 等比数列求和公式:当q=1时, 当时, 或 ; 2.是等比数列的前n项和, ①当q=-1且k为偶数时,不是等比数列. ②当q≠-1或k为奇数时, 仍成等比数列 3.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法)推导出了等比数列的前n项和公式,并在应用中加深了对公式的认识. 六、课后作业: 已知数列是等比数列,是其前n项的和,求证,-,-成等比数列. 解:(1)①当q=1时,=7,=14, -=14-7=7,-=21-14a1=7 ∴,-,-为以7为首项,1为公比的等比数列. ②当q≠1时,= ∴= ∴,-,-成等比数列. [这一过程也可如下证明: -=- === 同理,-== ∴,-,-为等比数列. 七、板书设计(略) 八、课后记:
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