高中数学必修1教案:第三章(第9课时)等比数列的前n项和1

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高中数学必修1教案:第三章(第9课时)等比数列的前n项和1

课 题:3.5 等比数列的前n项和(一)‎ 教学目的:‎ ‎1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.‎ ‎2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 教学重点:等比数列的前n项和公式推导 教学难点:灵活应用公式解决有关问题 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教材分析:‎ 本节是对公式的教学,要充分揭示公式之间的内在联系,掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的导出方法,理解公式的成立条件.也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件,直接记忆公式的结论是降低教学要求,违背教学规律的做法 教学过程:‎ 一、复习引入:‎ 首先回忆一下前两节课所学主要内容:‎ ‎1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:=q(q≠0)‎ ‎2.等比数列的通项公式: ‎ ‎, ‎ ‎3.{}成等比数列=q(,q≠0)‎ ‎ “≠0”是数列{}成等比数列的必要非充分条件 ‎4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. ‎ ‎5.等比中项:G为a与b的等比中项. 即G=±(a,b同号).‎ ‎6.性质:若m+n=p+q,‎ ‎7.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法 ‎8.等比数列的增减性:当q>1, >0或01, <0,或00时, {}是递减数列;当q=1时, {}是常数列;当q<0时, {}是摆动数列;‎ ‎ 二、讲解新课: ‎ ‎ 例如求数列1,2,4,…262,263的各项和 即求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和,可表示为:‎ ‎ ①‎ ‎2 ②‎ 由②—①可得:‎ 这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”,是研究数列求和的一个重要方法 等比数列的前n项和公式:‎ ‎ ∴当时, ① 或 ②‎ 当q=1时,‎ 当已知, q, n 时用公式①;当已知, q, 时,用公式②.‎ 公式的推导方法一:‎ 一般地,设等比数列它的前n项和是 由 得 ‎ ‎ ‎∴当时, ① 或 ②‎ 当q=1时,‎ 公式的推导方法二:‎ 有等比数列的定义,‎ 根据等比的性质,有 即 (结论同上)‎ 围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式.‎ 公式的推导方法三:‎ ‎ =‎ ‎ ==‎ ‎(结论同上)‎ ‎ “方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决 三、例题讲解 例1 求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和.‎ 解:由 ‎, ‎ 从第5项到第10项的和为-=1008‎ 例2一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人,如此继续下去,一天时间可传遍多少人?‎ 解:根据题意可知,获知此信息的人数成首项的等比数列 则:一天内获知此信息的人数为:‎ 例3  已知{}为等比数列,且=a,=b,(ab≠0),求.‎ 分析:要求,需知,q,而已知条件为和.能否进一步挖掘题目的条件,使已知和未知沟通起来?‎ 当时 =a ①‎ ‎===b ②‎ ‎②/①得 ③‎ 将③代入①,得 ‎ ‎∴===‎ 以下再化简即可.‎ 这样处理问题很巧妙.没有分别求得与q的值,而改为求与的值,这样使问题变得简单但在分析的过程中是否完备?‎ 第①式就有问题,附加了条件q≠1.而对q=1情况没有考虑.‎ 使用等比数列前n项和公式时,要特别注意适用条件,即 q=1时,=n;当时, 或 ‎(含字母已知数的等比数列求和题目,学生常忽略q=1情况,要引起足够重视,以培养学生思维的严密性)‎ 解法1:设等比数列{}的公比为q.‎ 若q=1(此时数列为常数列),则=n=a,=b,‎ 从而有2a=b ∴(或)‎ 若q≠1(即2a≠b),由已知 ‎=a ① =b ②‎ ‎   又ab0, ②/①得 , ③‎ 将③代入①,得 ‎ ‎∴===‎ ‎=‎ 解法2:由,-,-成等比数列(练习中证此结论),‎ 即a,b-a, -b成等比,所以a(-b)=( b-a)‎ 从而有 = (包含了q=1的情况)‎ 四、练习:‎ 是等比数列,是其前n项和,数列 ()是否仍成等比数列?‎ ‎ 解:设首项是,公比为q,‎ ‎①当q=-1且k为偶数时,不是等比数列.‎ ‎∵此时, =0.‎ 例如:数列1,-1,1,-1,…是公比为-1的等比数列,S2=0,‎ ‎ ②当q≠-1或k为奇数时,‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎()成等比数列 评述:应注意等比数列中的公比q的各种取值情况的讨论,还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.‎ 五、小结 1. 等比数列求和公式:当q=1时,‎ 当时, 或 ; ‎ ‎2.是等比数列的前n项和,‎ ‎①当q=-1且k为偶数时,不是等比数列.‎ ‎②当q≠-1或k为奇数时, 仍成等比数列 ‎3.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法)推导出了等比数列的前n项和公式,并在应用中加深了对公式的认识.‎ 六、课后作业:‎ ‎ 已知数列是等比数列,是其前n项的和,求证,-,-成等比数列.‎ 解:(1)①当q=1时,=7,=14,‎ ‎-=14-7=7,-=21-14a1=7‎ ‎∴,-,-为以7为首项,1为公比的等比数列.‎ ‎②当q≠1时,=‎ ‎∴=‎ ‎∴,-,-成等比数列.‎ ‎[这一过程也可如下证明:‎ ‎-=-‎ ‎===‎ 同理,-== ‎ ‎∴,-,-为等比数列.‎ 七、板书设计(略)‎ 八、课后记:‎ ‎ ‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档