- 2021-06-25 发布 |
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文档介绍
高中数学必修1教案:第二章(第7课时)函数单调性2
课 题:2.3.2函数的单调性2 教学目的: 1.. 巩固函数单调性的概念;熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤;初步了解复合函数单调性的判断方法. 2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点:熟练证明函数单调性的方法和步骤. 教学难点:单调性的综合运用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ⑴若当<时,都有<,则说在这个区间上是增函数; ⑵若当<时,都有 >,则说在这个区间上是减函数. 2.若函数在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 3.判断证明函数单调性的一般步骤是:⑴设,是给定区间内的任意两个值,且<;⑵作差-,并将此差式变形(要注意变形的程度);⑶判断-的正负(要注意说理的充分性);⑷根据-的符号确定其增减性. 二、讲解新课: 1.函数单调性的证明 例1.判断并证明函数的单调性 证明:设则 ∵ ∴ ,, ∴即 (注:关键的判断) ∴在R上是增函数. 2.复合函数单调性的判断 对于函数和,如果在区间上是具有单调性,当时,,且在区间上也具有单调性,则复合函数在区间具有单调性的规律见下表: 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”. 证明:①设,且 ∵在上是增函数, ∴,且 ∵在上是增函数,∴. 所以复合函数在区间上是增函数 ②设,且,∵在上是增函数, ∴,且 ∵在上是减函数,∴. 所以复合函数在区间上是减函数 ③设,且,∵在上是减函数, ∴,且 ∵在上是增函数,∴. 所以复合函数在区间上是减函数 ④设,且,∵在上是减函数, ∴,且 ∵在上是减函数,∴. 所以复合函数在区间上是增函数 例2.求函数的值域,并写出其单调区间 解:题设函数由和复合而成的复合函数, 函数的值域是, 在上的值域是. 故函数的值域是. 对于函数的单调性,不难知二次函数在区间上是减函数,在区间上是增函数; 二次函数区间上是减函数,在区间上是增函数 当时,,即,或. 当时,,即,. 因此,本题应在四个区间,,,上考虑 ① 当时,, 而在上是增函数,在上是增函数,所以,函数在区间上是增函数 ②当时,, 而在上是增函数,在上是减函数, 所以,函数在区间上是减函数 ③当时,, 而在上是减函数,在上是减函数, 所以,函数在区间上是增函数 ④当时,, 而在上是增函数,在上是减函数,所以,函数在区间上是减函数 综上所述,函数在区间、上是增函数;在区间、上是减函数 另外,本题给出的复合函数是偶函数,在讨论具有奇偶性的函数的单调性时,应注意应用其奇函数或偶函数的性质,以使解题过程简捷、清楚、具有条理性 三、课堂练习:课本P60练习:3,4 四、小结 本节课学习了以下内容:函数单调性的证明方法 五、课后作业:课本第60习题2.3:4,5,6,7 六、板书设计(略) 七、课后记:查看更多