高中数学必修1教案:第二章(第7课时)函数单调性2

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高中数学必修1教案:第二章(第7课时)函数单调性2

课 题:2.3.2函数的单调性2‎ 教学目的:‎ ‎1.. 巩固函数单调性的概念;熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤;初步了解复合函数单调性的判断方法.‎ ‎2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.‎ 教学重点:熟练证明函数单调性的方法和步骤.‎ 教学难点:单调性的综合运用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:‎ 一、复习引入:‎ ‎1.对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ‎⑴若当<时,都有<,则说在这个区间上是增函数;‎ ‎⑵若当<时,都有 >,则说在这个区间上是减函数.‎ ‎2.若函数在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.‎ ‎3.判断证明函数单调性的一般步骤是:⑴设,是给定区间内的任意两个值,且<;⑵作差-,并将此差式变形(要注意变形的程度);⑶判断-的正负(要注意说理的充分性);⑷根据-的符号确定其增减性.‎ 二、讲解新课:‎ ‎1.函数单调性的证明 例1.判断并证明函数的单调性 证明:设则 ‎∵ ∴ ,,‎ ‎∴即 (注:关键的判断)‎ ‎∴在R上是增函数. ‎ ‎2.复合函数单调性的判断 对于函数和,如果在区间上是具有单调性,当时,,且在区间上也具有单调性,则复合函数在区间具有单调性的规律见下表:‎ 增 ↗‎ 减 ↘‎ 增 ↗‎ 减 ↘‎ 增 ↗‎ 减 ↘‎ 增 ↗‎ 减 ↘‎ 减 ↘‎ 增 ↗‎ 以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”.‎ 证明:①设,且 ‎∵在上是增函数,‎ ‎∴,且 ‎∵在上是增函数,∴.‎ 所以复合函数在区间上是增函数 ‎②设,且,∵在上是增函数,‎ ‎∴,且 ‎∵在上是减函数,∴.‎ 所以复合函数在区间上是减函数 ‎③设,且,∵在上是减函数,‎ ‎∴,且 ‎∵在上是增函数,∴.‎ 所以复合函数在区间上是减函数 ‎④设,且,∵在上是减函数,‎ ‎∴,且 ‎∵在上是减函数,∴.‎ 所以复合函数在区间上是增函数 例2.求函数的值域,并写出其单调区间 解:题设函数由和复合而成的复合函数,‎ 函数的值域是,‎ 在上的值域是.‎ 故函数的值域是.‎ 对于函数的单调性,不难知二次函数在区间上是减函数,在区间上是增函数;‎ 二次函数区间上是减函数,在区间上是增函数 当时,,即,或.‎ 当时,,即,.‎ 因此,本题应在四个区间,,,上考虑 ‎① 当时,,‎ 而在上是增函数,在上是增函数,所以,函数在区间上是增函数 ‎②当时,,‎ 而在上是增函数,在上是减函数,‎ 所以,函数在区间上是减函数 ‎③当时,,‎ 而在上是减函数,在上是减函数,‎ 所以,函数在区间上是增函数 ‎④当时,,‎ 而在上是增函数,在上是减函数,所以,函数在区间上是减函数 综上所述,函数在区间、上是增函数;在区间、上是减函数 另外,本题给出的复合函数是偶函数,在讨论具有奇偶性的函数的单调性时,应注意应用其奇函数或偶函数的性质,以使解题过程简捷、清楚、具有条理性 三、课堂练习:课本P60练习:3,4‎ ‎ 四、小结 本节课学习了以下内容:函数单调性的证明方法 五、课后作业:课本第60习题2.3:4,5,6,7‎ 六、板书设计(略)‎ 七、课后记:‎
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