2019-2020学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省鹤岗市第一中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．下列说法正确的是（ ）‎ A．第一象限的角一定是正角 B．三角形的内角不是锐角就是钝角 C．锐角小于90 D．终边相同的角相等 ‎【答案】C ‎【解析】通过反例可排除；根据锐角定义可知正确.‎ ‎【详解】‎ 是第一象限角，但不是正角 错误 当三角形一个内角为时，该内角既不是锐角也不是钝角 错误 锐角的范围为 正确 与终边相同，但不相等 错误 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查象限角、终边相同的角、锐角和钝角的相关定义的辨析，属于基础题.‎ ‎2．下列函数中，是奇函数且在区间上是增函数的是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的奇偶性的定义及函数的单调性进行判断。‎ ‎【详解】‎ 解：在中，是奇函数，在区间上是减函数，故错误；‎ 在中，是偶函数，但在区间上是减函数，故错误；‎ 在中，是奇函数且在区间上是减函数，故错误；‎ 在中，是奇函数且在区间上是增函数，故正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎3．若是第二象限角，那么和都不是（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】若是第二象限角,则可设再分析和.‎ ‎【详解】‎ 设,此时,故为第一、三象限的角.‎ 又,故为第四象限角.所以和都不是第二象限.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 已知所处的象限可直接表达出角度的范围再讨论.‎ ‎4．函数零点所在区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用零点存在性定理计算，由此求得函数零点所在区间.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知在上为增函数，且，，，所以函数零点在区间.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.‎ ‎5．已知，，，则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对数的性质判断，根据指数的性质判断，由此得出三者的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.‎ ‎6．已知，，则的值域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦型函数的周期性可求得最小正周期，从而可知代入即可求得所有函数值.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，最小正周期：‎ ‎；；；‎ ‎；；‎ 且 值域为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数值域问题的求解，关键是能够确定函数的最小正周期，从而计算出一个周期内的函数值.‎ ‎7．如果，那么的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据诱导公式将需要求的化成已知条件中的正弦函数，再代入函数解析式即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题关键在于未知向已知的转化思想的运用，当然这个题目在学习了余弦的二倍角公式后，也可以运用余弦的二倍角公式，先求出函数的解析式，再代入可求值。‎ 另法：因为，所以 所以，得解.‎ ‎8．若函数同时满足下列三个性质：①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在区间上单调递增，则的解析式可以是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用性质①可排除,利用性质②可排除,利用性质③可排除,通过验证选项同时满足三个性质.‎ ‎【详解】‎ 逐一验证，由函数的最小正周期为，而中函数最小正周期为,故排除B；‎ 又，所以的图象不关于直线对称，故排除C；‎ 若，则，故函数在上单调递减，故排除D；‎ 令，得，所以函数在上单调递增．由周期公式可得,当时,, 所以函数同时满足三个性质.‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.‎ ‎9．在内使成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先根据判断出，画出和两个函数在时的图像，由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，∴.在同一坐标系中画出，与，的图像，如图.‎ 观察图像易得使成立的.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有绝对值的三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎10．函数的部分图像是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ ‎∵是奇函数，其图像关于原点对称，∴排除A,C项；当时，，∴排除B项.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题.‎ ‎11．下列不等式正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据，利用排除法，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 可排除A、B、C选项，‎ 又由，‎ 所以．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12．已知，若关于的方程有三个实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题得或，求出的解为，命题等价于方程有两个不同的实根，利用数形结合求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以或，‎ 所以或，‎ 所以或 的解为，‎ 所以方程有两个不同的实根，‎ 函数的图象如图所示，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点问题，考查指数函数的图象和图象的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 二、填空题 ‎13．已知幂函数f（x）的图象经过点（2，4），则f（x）为______函数．（填奇偶性）‎ ‎【答案】偶 ‎【解析】根据幂函数的概念设出的解析式，然后代点求出，再用函数奇偶性定义判断奇偶性．‎ ‎【详解】‎ 因为函数是幂函数，所以可设， ‎ 又f（2）=4，即2a=4，解得a=2， ‎ ‎∴，∴， ‎ ‎∴f（x）为偶函数． ‎ 故答案为：偶．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了幂函数的基本概念，以及利用定义法判定函数的奇偶性，其中解答中熟记幂函数的基本概念，熟练应用函数奇偶性的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14．若tan,则1+sin的值为__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把弦化为切函数，利用正切函数求出值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵tan＝2，‎ ‎∴1+sincos＝1‎ ‎＝1‎ ‎＝1‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数的求值运算问题，是基础题目．‎ ‎15．使等式成立的角的集合为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由题意得到，进而得到或，从而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎，‎ 所以解得或，‎ 则或，‎ 所以角的集合为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎16．给出以下四个结论：‎ ‎①函数是偶函数；‎ ‎②当时，函数的值域是；‎ ‎③若扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的弧长为6cm；‎ ‎④已知定义域为的函数，当且仅当时，成立.‎ ‎⑤函数的最小正周期是 则上述结论中正确的是______（写出所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】利用特殊值代入①中的解析式即可判断①；根据函数单调性及自变量取值范围，可判断②；根据扇形的周长及圆心角即可求得半径，进而求得弧长，可判断③；讨论sinx﹣cosx的符号去绝对值，即可判断④；利用周期性定义验证，即可判断⑤．‎ ‎【详解】‎ 解：当x与x时，代入①中的解析式所得函数值不相等，所以①错误；‎ 当x∈[0，]时，2xx∈[，]，‎ 由余弦函数图象可知函数f（x）＝2cos（2x）的值域是[﹣2，]；所以②正确；‎ 因为若扇形的周长为15cm，圆心角为rad，设半径为r，‎ 则15﹣2rr，解得r＝6，所以弧长为l＝ar＝3 cm，所以③错误；‎ 当sinx﹣cosx≥0时，函数f（x）cosx，‎ ‎2kπ＜x＜2kπ（k∈Z）时，f（x）＞0；‎ 当sinx﹣cosx＜0时，函数f（x）sinx，‎ ‎2kπ＜x＜2kπ（k∈Z）时，f（x）＞0，所以④正确．‎ 记，，‎ ‎，‎ ‎，故也是函数的周期，故⑤错误，‎ 综上所述，②④正确．‎ 故答案为：②④．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数定义域与值域的求法，弧度制的定义计算．属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，且有意义.‎ ‎（1）试判断角是第几象限角；‎ ‎（2）若角的终边上一点是，且（为坐标原点），求的值及的值.‎ ‎【答案】(1) 第四象限角；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据得到，结合对数函数定义域求得，由此判断出所在象限.（2）利用列方程，求得的值，根据三角函数的定义，求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为，所以,由有意义，可知，‎ 所以角是第四象限角.‎ ‎(2)因为，所以，得， ‎ 又因为角是第四象限角，‎ 所以，所以,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数在各个象限的符号，考查三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎18．（1）化简： ‎ ‎（2）求值： ‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由诱导公式法则：“奇变偶不变，符号看象限”对原式化简.‎ 即：，，，，，；‎ ‎（2）由诱导公式一：同角的同名三角函数值相等，对原式化简.‎ 试题解析：（1）‎ ‎（2）原式 ‎【考点】诱导公式和基本运算.‎ ‎19．已知函数 ‎（1）记函数求函数的值域；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简得，从而利用二次函数求值域即可；‎ ‎（2）先求得的最大值为，进而得到，解不等式即可.‎ 试题解析：‎ ‎.‎ ‎（1），函数的值域为 ‎（2）由题意知，，‎ 则实数的取值范围是 ‎20．若角，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由得知，将等式两边平方，可求出的值，并可得出，可推出，并将代数式平方，可求出的值；‎ ‎（2）根据题中条件和（1）的结果建立方程组求出和的值，再利用同角三角函数的商数关系可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将平方得，‎ ‎.‎ ‎，，，.‎ 而，因此，；‎ ‎（2）由（1）得，解得，因此，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数的平方关系和商数关系求值，在处理有关的值，一般利用平方关系，即，同时不要忽略对角的取值范围的判断，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21．已知函数（其中，，）的相邻对称轴之间的距离为，且该函数图象的一个最高点为．‎ ‎（1）求函数的解析式和单调递增区间；‎ ‎（2）若，求函数的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1），单调递增区间为：；（2）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】（1）由三角函数解析式的求法得：由题意有：，，求得，由当时，函数取最大值，结合，求得，即可得解，（2）由三角函数的值域的求法得：当，则，所以，得解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意有：， ，即，‎ 由当时，函数取最大值，即，解得，又，所以，‎ 即，‎ 令，得：，‎ 故函数的分析式为：．‎ 函数的单调递增区间为：．‎ ‎（2）当，‎ 则，‎ 所以，‎ 故函数的最大值为，最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数解析式的求法及三角函数的值域，熟记公式准确计算是关键，属中档题．‎ ‎22．已知函数 ‎（1）当时，求的值域.‎ ‎（2）若存在区间，使在上值域为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）,‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）当时，得到函数的解析式，利用对数函数的单调性，分类讨论即可求解函数的值域；‎ ‎（2）由，的值域为，又由在上单调递增，列出方程组，转化为方程有两个不同的根，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ ‎（2）因为，的值域为，而在上单调递增， ‎ 所以，即存在使，即方程 有两个不同的根，即有两个不同的根 ‎ 令=t 即方程有两个不同的正数根 ‎ 即 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及函数的定义域和值域的应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及合理利用函数的定义域和值域，列出相应的方程组，转化为方程有解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎