浙江省2014届理科数学复习试题选编32：抛物线（教师版）

浙江省2014届理科数学复习试题选编32：抛物线（教师版）

浙江省2014届理科数学复习试题选编32：抛物线 一、选择题 ．（浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）已知抛物线:的焦点为,以为圆心的圆交于,交的准线于,若四边形是矩形,则圆的方程为 （　　）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎ ．（浙江省五校联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）已知P为抛物线上一个动点,Q为圆上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到轴距离之和最小值是 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若,则的面积为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ．（浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学（理）试题）抛物线的焦点为,准线与轴相交于点,过且倾斜角等于60°的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,,垂足为,则四边形的面积等于 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ．（浙江省湖州市2013年高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word版) ）直线与抛物线和圆从左到右的交点依次为,则的值为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ．（浙江省杭州四中2013届高三第九次教学质检数学（理）试题）已知抛物线y2‎ ‎=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线的右焦点,且两条曲线的交点的连线过F,则该双曲线的离心率为 ‎ ‎ （　　）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ．（浙江省温州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）抛物线y2=2px(p>0)的准线交x轴了点C,焦点为F. （　　）‎ A．B是抛物线的两点.己知 （　　）‎ A．B,C三点共线,且|AF|,|BF|成等差数列,直线AB的斜率为k,则有 （　　）‎ A． B． C． D．‎ 非选择题部分(共100分)‎ ‎【答案】D ‎ ．（浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学（理）试题）设动圆与y轴相切且与圆:相外切, 则动圆圆心的轨迹方程为 （　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】C ‎ ．（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）如图,已知点P是双曲线C:左支上一点,F1,F2是双曲线的左、右两个焦点,且PF1⊥PF2,PF2与两条渐近线相交于M,N 两点,点N恰好平分线段PF2,则双曲线的离心率是 （　　）‎ A． B．2 ‎ C． D．‎ ‎【答案】 （　　）‎ A．得,,∴,得,从而. ‎ ‎∵P是双曲线上,∴,化简得,,得. ‎ 二、填空题 ．（浙江省嘉兴市第一中学2013届高三一模数学（理）试题）己知抛物线y2=4x的焦点为F,若点A, B是该抛物线上的点,,线段AB的中点M在抛物线的准线上的射影为N,则的最大值为____.‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省温岭中学2013届高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）已知为抛物线的焦点,为坐标原点.点为抛物线上的任一点,过点作抛物线的切线交轴于点,设分别为直线与直线的斜率,则________. ‎ ‎【答案】 ‎ 解析:设,则过点的抛物线的切线方程为:,令得:,故,,即:,又,故 ‎ ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知抛物线C:的焦点为F,准线与x轴交于M点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点,若,则的值_______.‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知直线与抛物线交于两点,且,又于, 若动点的坐标满足方程,则_______.‎ ‎【答案】4 ‎ ．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知曲线与C1、C2分别相切于A、B,直线,(不同于)与C1、C2分别相切于点C、D,则AB与CD交点的横坐标是__________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省黄岩中学2013年高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知抛物线焦点为,直线与抛物线交于两点,与轴交于点,且,为坐标原点,那么与面积的比值为________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省温州市2013届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word版） ）已知点,,动点到点的距离比到的距离小1的轨迹为曲线,且线段与曲线有且仅有一个焦点,则的取值范围是______.‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy中,已知焦点为F的抛物线y2=2x上的点P到坐标原点O的距离为,则线段PF的长为_____.‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）P为抛物线C:上一点,若P点到抛物线C准线的距离与到顶点距离相等,则P点到x轴的距离为_____________.‎ ‎【答案】 ;得P点到焦点距离与到顶点距离相等,∴,得. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设为抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于两点,点为线段的中点,若,则直线的斜率等于________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省六校联盟2013届高三回头联考理科数学试题）过抛物线 的焦点作一条倾斜角为a,长度不超过8的弦,弦所在的直线与圆有公共点,则a的取值范围是_______________‎ ‎【答案】 ‎ ．（浙江省海宁市2013届高三2月期初测试数学（理）试题）已知抛物线,准线与轴交于点,过作直线交抛物线于两点(在之间),点到的距离为2,则____.‎ ‎【答案】2‎ 三、解答题 ．（浙江省杭州二中2013届高三6月适应性考试数学（理）试题）已知抛物线,直线与抛物线交于两点.‎ ‎(Ⅰ)若以为直径的圆与轴相切,求该圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与轴负半轴相交,求面积的最大值.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)联立,消并化简整理得. 依题意应有,解得. ‎ 设,则,设圆心,则应有. ‎ 因为以为直径的圆与轴相切,得到圆半径为, ‎ 又 . ‎ 所以,解得. 所以,所以圆心为. ‎ 故所求圆的方程为. ‎ ‎(Ⅱ)因为直线与轴负半轴相交,所以,又直线与抛物线交于两点,由(Ⅰ)知,所以, ‎ 点到直线的距离 , 所以. 令,,在增函数,在是减函数的最大值为. 所以当时,的面积取得最大值 ‎. ‎ ．（浙江省嘉兴市2013届高三第二次模拟考试理科数学试卷）如图,已知抛物线的焦点在抛物线上,点是抛物线上的动点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;‎ ‎(Ⅱ)过点作抛物线的两条切线,、分别为两个切点,设点到直线的距离为,求的最小值.‎ ‎（第21题）‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)的焦点为, ‎ 所以, ‎ 故的方程为,其准线方程为 ‎ ‎(Ⅱ)设,,, ‎ 则的方程:, ‎ 所以,即. ‎ 同理,:, ‎ 的方程:, ‎ 即. ‎ 由,得, ‎ 所以直线的方程为 ‎ 于是. ‎ 令,则(当时取等号). ‎ 所以,的最小值为 ‎ ．（温州市2013年高三第一次适应性测试理科数学试题）已知点,是抛物线上相异两点,且满足.‎ ‎(Ⅰ)若的中垂线经过点,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)若的中垂线交轴于点,求的面积的最大值及此时直线的方程.‎ ‎【答案】方法一: ‎ 解:(I)当垂直于轴时,显然不符合题意, ‎ 所以可设直线的方程为,代入方程得: ‎ ‎ ‎ ‎∴ ‎ 得: ‎ ‎∴直线的方程为 ‎ ‎∵中点的横坐标为1,∴中点的坐标为 ‎ ‎∴的中垂线方程为 ‎ ‎∵的中垂线经过点,故,得 ‎ ‎∴直线的方程为 ‎ ‎(Ⅱ)由(I)可知的中垂线方程为,∴点的坐标为 ‎ 因为直线的方程为 ‎ ‎∴到直线的距离 ‎ 由得, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴, 设,则, ‎ ‎,,由,得 ‎ 即时 ‎ 此时直线的方程为 ‎ ‎(本题若运用基本不等式解决,也同样给分) ‎ 法二: ‎ ‎(1)根据题意设的中点为,则 ‎ 由、两点得中垂线的斜率为, ‎ 由,得 ‎ ‎∴直线的方程为 ‎ ‎(2)由(1)知直线的方程为 ‎ 中垂线方程为,中垂线交轴于点 ‎ 点到直线的距离为 ‎ 由得: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时,有最大值,此时直线方程为 ‎ ．（浙江省宁波市2013届高三第一学期期末考试理科数学试卷）如图,设点上的动点,过点P作抛物线的两条切线,切点分别是A、B.已知圆C1的圆心M在抛物线C2的准线上.‎ ‎(I)求t的值;‎ ‎(Ⅱ)求的最小值,以及取得最小值时点P的坐标.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．（浙江省建人高复2013届高三第五次月考数学（理）试题）已知抛物线 ‎(1)设是C1的任意两条互相垂直的切线,并设,‎ 证明:点M的纵坐标为定值;‎ ‎(2)在C1上是否存在点P,使得C1在点P处切线与C2相交于两点A、B,且AB的中垂线恰为C1的切线?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ ‎ ‎ ．（浙江省温州中学2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）如图,已知抛物线:与射线:、:均只有一个公共点,过定点和的动圆分别与、交于点、,直线与轴交于点.‎ ‎(Ⅰ)求实数及的值;‎ ‎(Ⅱ)试判断:是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. ‎ ‎【答案】解:(I)联立得: ‎ ‎ ‎ 设动圆(,圆与,相切时取到等号) ‎ 联立得: ‎ 同理得: ‎ ‎,令得 ‎ ‎ ‎ ‎[来源:学科网] ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)= 是定值. ‎ ‎(动圆,,圆与,相切时取到等号) ‎ ‎(或由,及几何法得) ‎ ．（浙江省2013年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）圆C的圆心在y轴上,且与两直线l1:;l2:均相切.‎ ‎(I)求圆C的方程;‎ ‎(II)过抛物线上一点M,作圆C的一条切线ME,切点为E,且的最小值为4,求此抛物线准线的方程.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ．（浙江省乐清市普通高中2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点是抛物线与椭圆的公共焦点,且椭圆的离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是在x轴上方的椭圆上任意一点,是上焦点,过的直线与圆相切于点,问:是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】 解:(1)∵, ‎ ‎∴,即椭圆方程为 ‎ ‎(2)设,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴=定值 ‎ ．（浙江省温岭中学2013届高三冲刺模拟考试数学（理）试题）以抛物线(‎ ‎)的顶点O为圆心的圆,截该抛物线的准线所得的弦长为 ‎(Ⅰ)求圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过圆C上任一点M作该圆的切线,它与椭圆(,且)相交于A、B两点,当时,求的可能取值范围.‎ ‎【答案】解(Ⅰ):已知抛物线的准线方程是(),由于圆C截抛物线的准线所得的弦长为,所以圆C的半径,故所求圆的方程是 ．（浙江省绍兴一中2013届高三下学期回头考理科数学试卷）已知抛物线的焦点为,抛物线上一点的横坐标为,过点作抛物线的切线交轴于点,交轴于点,交直线于点,当时,.‎ ‎(1)求证:为等腰三角形,并求抛物线的方程;‎ ‎(2)若位于轴左侧的抛物线上,过点作抛物线的切线交直线于点,交直线于点,求面积的最小值,并求取到最小值时的值.‎ ‎【答案】解:(1)设,则处的切线方程为, ‎ 所以, ‎ 所以;即为等腰三角形 ‎ 又为线段的中点,所以,得: 所以, ‎ ‎(2)设,则处的切线方程为 ‎ 由, ‎ 由,同理, ‎ 所以面积① ‎ 设的方程为,则由,得代入①得:, ‎ 要使面积最小,则应,得到② 令,得,, ‎ 所以当时单调递减;当单调递增, ‎ 所以当时,取到最小值为,此时,, ‎ 所以,即 ‎ ．（浙江省温州十校联合体2013届高三期中考试数学（理）试题）若椭圆的离心率等于,抛物线的焦点在椭圆的顶点上.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)过的直线与抛物线交P , Q两点,又过P , Q作抛物线的切线,当时,求直线的方程.‎ ‎【答案】解:(1)由椭圆方程得,,所以, ‎ 由题意得:抛物线的焦点应为椭圆的上顶点,即 ‎ 所以 抛物线方程为 ‎ ‎(2) 可判断直线的斜率存在,设直线的方程为 ‎ 设坐标为 ‎ 联立 整理得 ‎ ‎ ‎ ．（浙江省嘉兴市2013届高三上学期基础测试数学（理）试题）如图,,是抛物线(为正常数,p>0)上的两个动点,直线AB与x轴交于点P,与y轴交于点Q,且 ‎(Ⅰ)求证:直线AB过抛物线C的焦点;‎ ‎(Ⅱ)是否存在直线AB,使得若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)由题意知,直线的斜率存在,且不为零. ‎ 设直线的方程为: (,) ‎ 由,得. ‎ ‎∴, ‎ ‎∴. ‎ ‎∵,∴,∵,∴. ‎ ‎∴直线的方程为:. ‎ 抛物线的焦点坐标为,∴直线过抛物线C的焦点 ‎ ‎(Ⅱ)假设存在直线,使得, 即. ‎ 作轴,轴,垂足为、, ‎ ‎∴ ‎ ‎∵, ‎ ‎∴== ‎ 由,得. ‎ 故存在直线,使得.直线方程为 ‎ ．（浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知直线y=2x-2与抛物线x2=2py(p>0)交于M1,M2两点,直线y=与y轴交于点F.且直线y ‎=恰好平分∠M1FM2.‎ ‎(I)求P的值;‎ ‎(Ⅱ)设A是直线y=上一点,直线AM2交抛物线于另点M3,直线M‎1M3‎交直线y=于点B,求·的值.‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ ‎(第21题) ‎ ‎(Ⅰ) 由 ,整理得,设MR1R(),MR2R(), ‎ 则 , ‎ ‎∵ 直线平分,∴ , ‎ ‎∴ ,即:,[来源:学,科,网] ‎ ‎∴ ,∴ ,满足,∴ ‎ ‎(Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为,且,,, ‎ 设,A,, ‎ 由A、MR2R、MR3R三点共线得, ‎ ‎∴ ,即:, ‎ 整理得:, ① ‎ 由B、MR3R、MR1R三点共线,同理可得 , ② ‎ ‎②式两边同乘得:, ‎ 即:, ③ ‎ 由①得:,代入③得:, ‎ 即:,∴ . ‎ ‎∴ ‎ ．（浙江省宁波市金兰合作组织2013届高三上学期期中联考数学（理）试题）在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在点,使得直线与抛物线相切于点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;‎ ‎(Ⅲ)若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点,与圆有两个不同的交点,求当时,的最小值.‎ ‎【答案】,当时,,在递增,故当,即时,有最小值 ‎ ．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知抛物线点的坐标为(12,8),N点在抛物线C上,且满足O为坐标原点.‎ ‎(I)求抛物线C的方程;[来源:学科网ZXXK]‎ ‎(II)以点M为起点的任意两条射线关于直线l:y=x—4,并且与抛物线C交于A、B两点,与抛物线C交于D、E两点,线段AB、DE的中点分别为G、H两点.求证:直线GH过定点,并求出定点坐标.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎ ‎