高考数学复习专题练习第2讲 导数在研究函数中的应用
第2讲 导数在研究函数中的应用
一、选择题
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.
答案 D
2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处
取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是( )
解析 ∵f(x)在x＝－2处取得极小值，
∴在x＝－2附近的左侧f′(x)<0，
当x<－2时，xf′(x)>0.
在x＝－2附近的右侧f′(x)>0，
当－2
0，f′(－1)>0，所以f(－1)＋f′(－1)>0与f′(－1)＋f(－1)＝0矛盾．故选D.
答案 D
6．已知函数f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的两个极值分别为f(x1)，f(x2)，若x1，x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b－2a的取值范围是( )
A．(－4，－2) B．(－∞，2)∪(7，＋∞)
C．(2,7) D．(－5，－2)
解析 由题意，求导可得f′(x)＝x2＋ax＋2b，由 题意可知
所以a，b满足的区域如图所示(不包括边界)，因为b－2a在B(－1,0)处取值为2，在C(－3，1)处取值为7，所以b－2a的取值范围是(2,7)．
答案 C
二、填空题
7．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝________．
解析 由f′(x)＝＝0，
∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取极值，
∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3.
答案 3
8．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝ex－2.当x＜ln 2时，f′(x)＜0；
当x＞ln 2时，f′(x)＞0.
∴f(x)min＝f(ln 2)＝2－2ln 2＋a，
则函数有零点，即f(x)min≤0.
∴2－2ln 2＋a≤0，∴a≤2ln 2－2.
答案 (－∞，2ln 2－2]
9．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图像在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为________．
解析：∵y′＝3x2＋6ax＋3b，
⇒
∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2，
∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.[来
答案：4
10．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值又有极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1.
答案：a>2或a<－1
三、解答题
11．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．
(1)用关于m的代数式表示n；
(2)求函数f(x)的单调增区间．
解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，
又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，
∴f′(x)＝3mx2－6mx.
令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，
当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，解得00时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0，2)．
12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(x∈[－1，2])，且函数f(x)在x＝1和x＝－处都取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解 (1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由题易知，即解得
(2)由(1)知，f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
∵当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0；
当x∈(1，2]时，f′(x)＞0.
∴f(x)的单调递增区间为和(1，2]．
13．已知函数f(x)＝－x2＋ax－ln x(a∈R)．
(1)当a＝3时，求函数f(x)在上的最大值和最小值；
(2)当函数f(x)在上单调时，求a的取值范围．
解 (1)a＝3时，f′(x)＝－2x＋3－＝－＝
－，函数f(x)在区间上仅有极大值点x＝1，故这个极大值点也是最大值点，故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝2.
又f(2)－f＝(2－ln 2)－＝－2ln 2<0，
故f(2)1时，在曲线y＝f(x)上是否存在这样的两点A，B，使得在点A，B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解 f′(x)＝3ax2－6x(a≠0)，
(1)∵函数f(x)在x＝－1时取到极值，
∴f′(－1)＝3a＋6＝0，解得a＝－2.
∴实数a的值为－2.
(2)由f′(x)＝0得x＝0或x＝，
①当a<0时，<0，由f′(x)>0得0，
∴函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为和(0，＋∞)．[来源:学&科&网Z&X&X&K]
②当a>0时，>0，同理可得函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和，单调递减区间为.
(3)假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，则kA＝kB＝0，
由f′(x)＝3ax2－6x＝0，解得x＝0或x＝.
∴A，B.
又线段AB与x轴有公共点，
∴yA·yB≤0，即≤0.
又a>1，解得3≤a≤4.
所以当3≤a≤4时，存在满足要求的点A、B.
