内蒙古集宁一中（东校区）2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

内蒙古集宁一中（东校区）2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

集宁一中东校区2019-2020学年第一学期第二次月考 高一年级数学试题 一、选择题（共60分）‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合，，由此能求出．‎ ‎【详解】因为，所以．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.已知函数.若，则（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，则是R上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得的值．‎ ‎【详解】令 ，则是上的奇函数，‎ 又，所以，‎ 所以，，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．‎ ‎3.函数y=log（5+4x-x2）的单调递增区间为 A. (2, 5) B. (-1, 2)‎ C. (-∞, 2) D. (2,+∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出定义域，再由复合函数的单调性“同增异减”判断即可 ‎【详解】解 ，解得 ‎ 内层函数在上单调递增，在上单调递减．‎ 外层函数单调递减 所以的单调递增区间 ‎【点睛】本题考查复合函数的单调性，需要注意是定义域优先原则，属于基础题．‎ ‎4.若直线和没有公共点，则与的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线位置关系判断公共点个数，再作选择.‎ ‎【详解】因为两直线相交只有一个公共点，两直线平行或异面没有公共点，所以选D.‎ ‎【点睛】本题考查两直线位置关系，考查基本分析判断能力.‎ ‎5.已知函数，则（ ）‎ A. 3 B. ‎5 ‎C. 6 D. 32‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入函数解析式求得结果即可.‎ ‎【详解】由题意得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求解问题，涉及到对数的运算，属于基础题.‎ ‎6.如图所示，四边形是上底为2，下底为6，底角为的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图，在直观图中梯形的面积为（ ）.‎ A. 4 B. C. D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由斜二测画法可知：直观图形的面积是原面积的，所以只需求出原图形的面积即可求出直观图形的面积.‎ ‎【详解】解：如图：四边形为等腰梯形，则，，所以，. .‎ ‎【点睛】本题考查求斜二测图形的面积，解题的关键是把握两种画法的区别与联系，熟悉面积之间的关系，属于基础题.‎ ‎7. 下列说法正确的是（ ）‎ A. 三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 梯形一定是平面图形 D. 平面和平面有不同在一条直线上的三个交点 ‎【答案】C ‎【解析】‎ A错误．不共线的三个点才可以确定一个平面；‎ B错误．四边形不一定是平面图形．如：三棱锥的四个顶点构成的四边形；‎ C正确．梯形有一组对边平行，两条平行线确定一平面；‎ D错误．两个平面有公共点，这些点共线，是两个平面的交线；故选C ‎8.如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，先求得向量的夹角的余弦值，即可得到异面直线所成角的余弦值，得到答案.‎ ‎【详解】分别以所在的直线为建立空间直角坐标系，‎ 设正方体的棱长为2，可得,‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以异面直线和所成的角的余弦值为，‎ 所以异面直线和所成的角为，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．‎ ‎【详解】是R的偶函数，．‎ ‎，‎ 又在(0，+∞)单调递减，‎ ‎∴，‎ ‎，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．‎ ‎10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. B. +12‎ C. +10 D. 24π ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三视图得到几何体是四棱柱和半球的组合体，进而可得体积.‎ ‎【详解】由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个半径为2的半球，下面是一个四棱柱，底面是边长为2的正方形，高是3，所以几何体的体积是，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及组合体体积的求解，考查了学生的空间想象力和计算能力，属于基础题.‎ ‎11.已知函数，则它的部分图象大致是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数，则函数为偶函数，根据的奇偶性可排除A、C.然后举特值和，比较、的大小关系，即可找出对应的图像.‎ ‎【详解】解：函数，所以函数为偶函数，则排除A、C.‎ 当时，，当时，，.所以B正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数所对应图像，利用函数的奇偶性、单调性和特殊的函数值是解题常用的方法，属于基础题.‎ ‎12.若函数的值域为的函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的值域便知，（0，+∞）是函数y=ax2+ax+1值域的子集，从而得到，解该不等式组即可得出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】设y=ax2+ax+1，根据题意（0，+∞）⊆{y|y=ax2+ax+1}；‎ ‎∴；‎ 解得a≥4；‎ ‎∴实数a的取值范围为[4，+∞）．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数值域概念，对数函数的值域，二次函数的取值和判别式△的关系，以及子集的概念．‎ 二、填空题（共20分）‎ ‎13.已知长方体的长、宽、高分别为3,4,5，则该长方体的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析可得，长方体体对角线即为外接球直径，代入数据即可求解．‎ ‎【详解】长方体的体对角线即为外接球直径，，所以外接球的表面积为．‎ ‎【点睛】本题考查长方体的外接球问题，重点在于掌握长方体的体对角线即为外接球直径，属基础题．‎ ‎14.若,则的值域是______________________.(请用区间表示)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分离参数法即可求解．‎ ‎【详解】2，‎ 故f（x），‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了分式型函数的值域的求法，属于基础题．‎ ‎15.已知函数若函数有3个零点，则实数a的取值范围为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数有3个零点转化为与 有三个交点，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数的取值范围．‎ ‎【详解】作出的函数图象如图所示：‎ 画出函数的图象，‎ 由图象可知当时，有1零点，‎ 当时，有3个零点；‎ 当或时，有2个零点．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查根存在性及根的个数判断，将函数有3个零点转化为与有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题.‎ ‎16.有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点连线的长度是母线的长度；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点连线的长度是母线的长度；③圆柱的任意两条母线所在直线互相平行；④过球上任意两点有且只有一个大圆；其中正确命题的序号是_____‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆柱母线垂直于底面的特点可知①错误，③正确；由圆锥的特点可知②正确；当两点连线为球的直径时，可知④错误.‎ ‎【详解】①若上下顶面两点连线不垂直于底面，则两点连线长度不是母线的长度，①错误；‎ ‎②由圆锥的特点可知，圆锥顶点到底面圆周上任意一点长度相等，均为母线长度，②正确；‎ ‎③圆柱的母线均垂直于底面，所以任意两条母线所在直线互相平行，③正确；‎ ‎④若两点连线为球的直径，则过两点有两个大圆，④错误.‎ 故答案为②③‎ ‎【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，属于基础题.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.‎ 底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.‎ ‎【答案】边长为4，体积为．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于展开图是，分别是所在边的中点，根据三角形的性质，是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积．‎ 试题解析：由题意中，，，所以是的中位线，因此是正三角形，且边长为4．‎ 即，三棱锥是边长为2的正四面体 ‎∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于 ‎∴为中点，为的重心，底面 ‎∴，，‎ ‎【考点】图象的翻折，几何体的体积．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎18.已知函数是指数函数．‎ ‎(1)求的表达式；‎ ‎(2)判断的奇偶性，并加以证明 ‎ ‎(3)解不等式：．‎ ‎【答案】（1）（2）见证明；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据指数函数定义得到，检验得到答案.‎ ‎(2) ，判断关系得到答案.‎ ‎(3)利用函数的单调性得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）∵函数是指数函数，且，‎ ‎∴，可得或（舍去），∴；‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，∴，∴是奇函数；‎ ‎（3）不等式：，以2为底单调递增，‎ 即，‎ ‎∴，解集为．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的定义，函数的奇偶性，解不等式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎19.已知函数恒有零点 ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分，两种情况讨论，当时，利用判别式求解，当时，验证即可（2）根据零点为对应方程的根，利用根与系数的关系求解即可.‎ ‎【详解】当 时，函数为，显然有零点；‎ 当时，由 ，得 ，‎ ‎∴当，且 时，函数有零点．‎ 综上，实数的取值范围为 ．‎ ‎（2）由题目条件知，设 ，是函数的两个零点，‎ 则有 ．‎ ‎，即 ，‎ ‎，解得．‎ 又当时， ，符合题意，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程，分类讨论，属于中档题.‎ ‎20.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数不超过20人，每人需交费用800元；若旅行团人数超过20人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数60人为止.旅行社需支付各种费用共计10000元.‎ ‎（1）写出每人需交费用S关于旅行团人数的函数；‎ ‎（2）旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎【答案】（1） （2）当旅行团人数为50‎ 人时，旅行社可获得最大利润，最大利润是16000元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，按和分别写出每人所交费用和的函数关系；（2）用（1）得到的人均费用乘以人数，再减去支付费用，得到利润，并求出每段的最大值，得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 当，，‎ 所以 ‎ ‎（2）旅行社可获得利润为，‎ 则，‎ 所以， ‎ 当时，为增函数，‎ 所以时，‎ 当时，，‎ 所以当时， ‎ 所以当旅行团人数为人时，旅行社可获得最大利润，最大利润是元.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数模型解决实际问题，求分段函数的最大值，属于中档题.‎ ‎21.已知，且 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）在恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，可得，即为，由对数函数的单调性，可得不不等式的解集；（2）由在上恒成立，得在上恒成立，讨论，根据的范围，由恒成立思想，可得的范围.‎ 试题解析：（1）当时，解不等式，得，‎ 即， 故不等式的解集为.‎ ‎（2）由在恒成立，得在恒成立， ‎ ‎①当时，有，得， ‎ ‎②当时，有，得， ‎ 故实数的取值范围.‎ ‎22.已知函数（且）,它的反函数图象过点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若存在使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数与反函数的关系可知：反函数图象过点，则函数的图像过点，代入求解即可求得的值.（2）将代入不等式化简可知，原不等式等价于在上有解.根据的范围可知，所以对不等式变形为，参变分离变形为 ‎，根据存在性列出关于的不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】解：（1）函数的反函数的图像过点，则函数过点.所以，变形为，解得：或，又且，所以.‎ ‎（2）存在使得，等价于在上有解.‎ 又，，所以原不等式等价于，变形得：，即在上有解.‎ ‎，，所以，即，解得：或.‎ ‎【点睛】本题考查反函数的性质，考查函数能成立问题，考查参变分离的解题方法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.‎