北京市2020届高考数学押题仿真卷（三）（Word版附答案）

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2020 北京卷高考数学押题仿真模拟（三） 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1. 已知集合  | 0 2P x x   ,且 M P ,则 M 可以是 （A） 0,1 （B） 1,3 （C） 1,1 （D） 0,5 2. 若 0x 是函数 2 1( ) logf x x x   的零点,则 （A） 01 0x   （B） 00 1x  （C） 01 2x  （D） 02 4x  3. 若角 的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是 （A） πsin( )2   （B） πcos( )2   （C）sin(π ) （D） cos(π ) 4. 已知双曲线 2 2 2 1( 0)3 x y aa    的右顶点和抛物线 2 8y x 的焦点重合,则 a 的值为 （A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4 5. 某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的所有棱长构成的集合为 （A）{2, 4, 2 3, 6} （B）{2, 4, 2 5, 4 3, 6} （C）{2, 4, 2 5, 4 2, 6} （D）{2, 4, 2 5, 4 3} 6. 把函数 2xy  的图象向左平移 t 个单位长度,得到的图象对应函数的解析式为 3 2xy   , 则 t 的值为 （A） 3log 2 （B） 2log 3 （C） 2 （D） 3 7. 设{ }na 是公比为 q 的等比数列,且 1 1a  ,则“ 1na  对任意 *nN 成立”是“ 1q  ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 8. 记 2 2 1x y  表示的平面区域为W ,点 O 为原点,点 P 为直线 2 2y x  上一个动点.若区 域W 上存在点 Q ,使得| | | |OQ PQ ,则 OP 的最大值是 （A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 2 9. 已知曲线 π π2sin( )cos( )4 4y x x   与直线 1 2y  相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右依 次记为 1 2 3, , , ,P P P  则 1 5| |PP 等于 （A） 2π （B）3π （C） 4π （D） 5 10. 已知函数 ( )y f x 是定义在 R 上的偶函数,对任意 xR 都有 ( 6) ( ) (3),f x f x f   当 1 2, [0,3],x x  且 1 2x x 时, 1 2 1 2 ( ) ( ) 0,f x f x x x   给出如下命题： ① (3) 0;f  ②直线 6x   是函数 ( )y f x 的图象的一条对称轴; ③函数 ( )y f x 在[ 9, 6]  上为增函数; ④函数 ( )y f x 在[ 9,9] 上有四个零点. （A）①② （B）②④ （C）①②③ （D）①②④ 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 已知 i 是虚数单位,若 (1 i)( i) 2a   , aR ,则 a  ______ . 答案：1 （12）在 ABC! 中, 4a  , 5b  , 1cos 8C  ,则 c  ______ , ABCS ! ______ . 答案： 15 76, 4 （13）已知数列 na 满足 1 1 n na a n n   ,且 5 15a  ,则 8a  ___ . 答案：24 （ 14 ） 在 矩 形 ABCD 中 , 2, 1AB BC  , 点 E 为 BC 的 中 点 , 点 F 在 线 段 DC 上 . 若 AE AF AP    ,且点 P 在直线 AC 上,则| | ___.AF  答案： 2 （15）已知集合 0 { | 0 1}A x x   .给定一个函数 ( )y f x ,定义集合 1{ ( ), }n nA y y f x x A    . 若 1n nA A    对任意的 n N 成立,则称函数 ( )y f x 具有性质“P”. （Ⅰ）具有性质“P”的一个一次函数的解析式可以是_____; （Ⅱ）给出下列函数:① 1y x  ;② 2xy  ;③ πsin( ) 12y x  ,其中具有性质“P”的函数的 序号是_____.（写出所有正确答案的序号） 答案： 1y x  （答案不唯一）,①② 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 已知 , ,a b c，分别为 ABC 内角 , ,A B C ，的对边，若 ABC 同时满足下列四个条件中的三个： ① 6cos 3B   ；② 2cos2 2cos 12 AA  ；③ 6a  ；④ 2 2b  . （Ⅰ）满足有解三角形的序号组合有哪些？ （Ⅱ）在（Ⅰ）所有组合中任选一组，并求对应 ABC 的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分） 【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（2） 3 . 【解】（Ⅰ）由② 2cos2 2cos 12 AA  得， 22cos cos 1 0A A   ， 解得 1cos 2A  或 cos 1A   （舍），所以 3A  ， 因为 6 1cos 3 2B     ，且  0,B  ，所以 2 3B  ，所以 A B   ，矛盾. 所以 ABC 不能同时满足①，②. 故 ABC 满足①，③，④或②，③，④； （Ⅱ）若 ABC 满足①，③，④， 因为 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，所以 2 68 6 2 6 3c c      ，即 2 4 2 0c c   . 解得 6 2c   . 所以 ABC 的面积 1 sin 3 22S ac B   . 若 ABC 满足②，③，④由正弦定理 sin sin a b A B  ，即 6 2 2 sin3 2 B  ，解得sin 1B  ， 所以 2c  ，所以 ABC 的面积 1 sin 32S bc A  . 17. （本小题满分 14 分） 如图,在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1 2AC BC AB   , 1AB  平面 ABC , 1AC AC , D , E 分 别是 AC , 1 1B C 的中点. （Ⅰ）证明: //DE 平面 1 1AA B B ; （Ⅱ）求 DE 与平面 1 1BB C C 所成角的正弦值. 解（Ⅰ）取 1 1A B 的中点 M ,连接 MA 、 ME . 因为 E 、 M 分别是 1 1BC 、 1 1A B 的中点, 所以 ME∥ 1 1AC ,且 ME 1 1 1 2 AC . 在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1 1AD AC ,且 1 1 1 2AD AC , 所以 ME∥AD,且 ME=AD, 所以四边形 ADEM 是平行四边形, 所以 DE∥AM. 又 AM  平面 1 1AA B B , DE 平面 1 1AA B B , 所以 / /DE 平面 1AA BB . （Ⅱ）在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1 1//BC B C , 因为 1 1AC BC ,所以 AC BC . 在平面 1ACB 内,过点 C 作 1/ /Cz AB , 因为, 1AB  平面 ABC , 所以, Cz  平面 ABC . 建立空间直角坐标系 C-xyz,如图.则 (0,0,0)C , (2,0,0)B , 1(0,2,2)B , 1( 2,2,2)C  , (0,1,0)D , ( 1,2,2)E  . ( 1,1,2)DE   , (2,0,0)CB  , 1 (0,2,2)CB  . 设平面 1 1BB C C 的法向量为 ( , , )x y zn ,则 1 0 0 CB CB        n n ,即 2 0 2 2 0 x y z     , 得 0x  ,令 1y  ,得 1z   ,故 (0,1, 1) n . 设直线 DE 与平面 1 1BB C C 所成的角为θ, 则 sinθ＝ cos , | | | | DE DE DE         n n n 3 6  , 所以直线 DE 与平面 1 1BB C C 所成角的正弦值为 3 6 . （18）（本小题满分 14 分） 据《人民网》报道,“美国国家航空航天局（NASA）发文称,相比 20 年前世界变得更绿 色了,卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的 42%来 自于植树造林,下表是中国十个地区在 2017 年植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、 飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位:公顷 地区 造林总面积 造林方式 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新 内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950 河北 583361 345625 33333 135107 65653 3643 河南 149002 97647 13429 22417 15376 133 重庆 226333 100600 62400 63333 陕西 297642 184108 33602 63865 16067 甘肃 325580 260144 57438 7998 新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091 青海 178414 16051 159734 2629 宁夏 91531 58960 22938 8298 1335 北京 19064 10012 4000 3999 1053 （Ⅰ）请根据上述数据,分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和 最小的地区; （Ⅱ）在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足 50% 的概率是多少？ （Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中,任选两个地区,求至少有一个地区退化 林修复面积超过五万公顷的概率. 解:（Ⅰ）人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省, 人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省 （Ⅱ）设在这十个地区中,任选一个地区,该地区人工造林面积占总面积的比比不足 50% 为 事件 A 在十个地区中,有 3 个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足 50% , 则 3( ) 10P A  （Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件 B 新封山育林面积超过十万公顷有 4 个地区:内蒙、河北、新疆、青海,分别设为 1 2 3 4, , ,a a a a ,其中退化林修复面积超过五万公顷有 2 个地区:内蒙、河北即 1 2,a a 从 4 个地区中任取 2 个地区共有 6 种情况,            1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4, , , , , , , , , , ,a a a a a a a a a a a a 其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有 5 种情况,          1 2 1 3 1 4 2 3 2 4, , , , , , , , ,a a a a a a a a a a 则 5( ) 6P B  19. （本小题满分 15 分） 已知函数 2( ) e ( 1)xf x ax x   . （Ⅰ）求曲线 ( )y f x 在点 ( 2, ( 2))f  处的切线的倾斜角; （Ⅱ）若函数 ( )f x 的极大值大于1,求实数 a 的取值范围. 解:（Ⅰ）因为 2( ) e ( 1)xf x ax x   , 所以 '( ) e ( 2)( 1)xf x x ax   所以 '( 2) 0f   , 所以切线的倾斜角为 0 （Ⅱ）因为 '( ) e ( 2)( 1)xf x x ax   当 0a  时,令 '( ) 0f x  ,得 1 2x   当 x 变化时, '( ), ( )f x f x 的变化情况如下表: x ( , 2)  2 ( 2, )  '( )f x  0  ( )f x  极小值  由上表函数 ( )f x 只有极小值,没有极大值,不合题意,舍去 当 0a  时,令 '( ) 0f x  ,得 1 2 12,x x a     当 0a  时, 当 x 变化时, '( ), ( )f x f x 的变化情况如下表: x ( , 2)  2 1( 2, )a   1 a  1( , )a   '( )f x  0  0  ( )f x  极小值  极大值  由上表函数 ( )f x 的极大值 1 01( ) e e 1af a      ,满足题意 当 1 2a  时, 21'( ) e ( 2) 02 xf x x   , 所以函数 ( )f x 单调递增,没有极大值,舍去 当 1 2a  时,当 x 变化时, '( ), ( )f x f x 的变化情况如下表: x ( , 2)  2 1( 2, )a   1 a  1( , )a   '( )f x  0  0  ( )f x  极大值  极小值  由上表函数 ( )f x 的极大值 2( 2) e (4 1) 1f a    , 解得 2e 1 4a  当 10 2a  时,当 x 变化时, '( ), ( )f x f x 的变化情况如下表: x 1( , )a   1 a  1( , 2)a   2 ( 2, )  '( )f x  0  0  ( )f x  极大值  极小值  由上表函数 ( )f x 的极大值 11( ) e 1af a     ,不合题意 综上, a 的取值范围是 2e 1( ,0) ( , )4   20．（本小题满分 14 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左顶点为 ( 2,0)A  ,两个焦点与短轴一个顶点构成等 腰直角三角形,过点 (1,0)P 且与 x 轴不重合的直线l 与椭圆交于 M , N 不同的两点. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程; （Ⅱ）当 AM 与 MN 垂直时,求 AM 的长; （Ⅲ）若过点 P 且平行于 AM 的直线交直线 5 2x  于点 Q ,求证:直线 NQ 恒过定点. 解:（Ⅰ）因为 ( 2,0)A  ,所以 2a  因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形, 所以 b c 又 2 2 2b c a  所以 2b c  , 所以椭圆方程为 2 2 14 2 x y  （Ⅱ）方法一: 设 ( , )m mM x y 1 m MP m yk x   , = 2 m AM m yk x  1AM MPk k   2 2 11 2 14 2 m m m m m m y y x x x y          0 2 m m x y    , 2 0 m m x y     （舍） 所以 = 6AM 方法二: 设 ( , )m mM x y , 因为 AM 与 MN 垂直, 所以点 M 在以 AP 为直径的圆上, 又以 AP 为直径的圆的圆心为 1( ,0)2  ,半径为 3 2 ,方程为 2 21 9( )2 4x y   2 2 2 2 1 9( )2 4 14 2 m m m m x y x y        , 0 2 m m x y    , 2 0 m m x y     （舍） 所以 = 6AM 方法三: 设直线 AM 的斜率为 k , : ( 2)AMl y k x  ,其中 0k  2 2 ( 2) 14 2 y k x x y     化简得 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 4 0k x k x k     当 0  时, 2 2 8 4 1 2A M kx x k    得 2 2 2 4 1 2M kx k   , 2 4 2 1M ky k   显然直线 ,AM MN 存在斜率且斜率不为 0. 因为 AM 与 MN 垂直, 所以 2 2 2 4 2 1 =2 4 11 2 MP k kk k k    1 k   得 2 1 2k  , 2 2k   , 0Mx  所以 2= 1 2 6MAM k x   （Ⅲ）直线 NQ 恒过定点 (2,0) 设 1 1( , )M x y , 2 2( , )N x y , 由题意,设直线 MN 的方程为 1x my  , 由 2 2 1, 2 4 0 x my x y       得 2 2( 2) 2 3 0m y my    , 显然, 0  ,则 1 2 2 2 2 my y m    , 1 2 2 3 2y y m   , 因为直线 PQ 与 AM 平行,所以 1 1 2PQ AM yk k x    , 则 PQ 的直线方程为 1 1 ( 1)2 yy xx   , 令 5 2x  ,则 1 1 1 1 3 32 2 2( 3) y yy x my    ,即 1 1 5 3( , )2 2( 3) yQ my  1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 2( 3) 2 6 3 5 ( 3)(2 3) 2 NQ yy my my y y yk my myx        , 直线 NQ 的方程为 1 2 2 1 2 22 1 2 2 1 2 6 3 ( )2 6 3 9 my y y yy y x xm y y my my       1 2 2 1 1 2 2 1 2 22 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 6 3 (2 6 3 )( 1) 2 6 3 9 2 6 3 9 my y y y my y y y myy x ym y y my my m y y my my             1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 6 3 2 15 3 2 6 3 9 2 6 3 9 my y y y my y y yxm y y my my m y y my my           令 0y  ,得 1 2 2 1 1 2 2 1 2 15 3 2 6 3 my y y yx my y y y     因为 1 2 1 22 3( )my y y y  ,故 2 2 18 29 yx y   , 所以直线 NQ 恒过定点 (2,0) . 21.（本小题满分 14 分） 无穷数列{ }na 满足: 1a 为正整数,且对任意正整数 1, nn a  为前 n 项 1 2, , , na a a 中等于 na 的项的个数. （Ⅰ）若 1 2,a  请写出数列{ }na 的前7 项; （Ⅱ）求证:对于任意正整数 ,M 必存在 *,k N 使得 ;ka M （Ⅲ）求证:“ 1 1a  ”是“存在 *,mN 当n m 时,恒有 2n na a  成立” 的充要条件. 解:（Ⅰ）2,1,1,2,2,3,1 （Ⅱ）假设存在正整数 M ,使得对任意的 *k N , ka M . 由题意, {1,2,3,..., }ka M 考虑数列{ }na 的前 2 1M  项: 21 2 3 1, , , , Ma a a a  其中至少有 1M  项的取值相同,不妨设 1 2 1Mi i ia a a      此时有: 1 1 1Mia M M     ,矛盾. 故对于任意的正整数 M ,必存在 *k N ,使得 ka M . （Ⅲ）充分性: 当 1 1a  时,数列{ }na 为1,1,2,1,3,1,4, ,1, 1,1, ,k k  特别地, 2 1ka k  , 2 1ka  故对任意的 *nN （1）若 n 为偶数,则 2 1n na a   （2）若 n 为奇数,则 2 3 1 2 2n n n na a     综上, 2n na a  恒成立,特别地,取 1m  有当 n m 时,恒有 2n na a  成立 必要性: 方法一:假设存在 1a k （ 1k  ）,使得“存在 *m N ,当 n m 时,恒有 2n na a  成立” 则数列{ }na 的前 2 1k  项为 , 1,1,2,1,3,1,4, ,1, 1,1, 2,2,3,2,4, ,2, 1,2, 3,3,4, , 1,3, 2, 2, 1, 2, 1, 1, k k k k k k k k k k k k k k k k              后面的项顺次为 1,1, 1,2, , 1, 2,1, 2,2, , 2, 3,1, 3,2, , 3, k k k k k k k k k k k k              对任意的 m ,总存在 n m ,使得 na k , 2 1na   ,这与 2n na a  矛盾,故若存在 *m N ,当 n m 时,恒有 2n na a  成立,必有 1 1a  方法二:若存在 *m N ,当 n m 时, 2n na a  恒成立,记  1 2max , , , ma a a s . 由第（2）问的结论可知:存在 *k N ,使得 ka s （由 s 的定义知 1k m  ） 不妨设 ka 是数列{ }na 中第一个．．．大于等于 1s  的项,即 1 2 1, , , ka a a  均小于等于 s. 则 1 1ka   .因为 1k m  ,所以 1 1k ka a  ,即 11 ka  且 1ka  为正整数,所以 1 1ka   . 记 1ka t s   ,由数列{ }na 的定义可知,在 1 2 1, , , ka a a  中恰有 t 项等于 1. 假设 1 1a  ,则可设 1 2 1ti i ia a a    ,其中 1 21 1ti i i k      , 考虑这 t 个 1 的前一项,即 1 21 1 1, , , ti i ia a a   , 因为它们均为不超过 s 的正整数,且 1t s  ,所以 1 21 1 1, , , ti i ia a a   中一定存在两项相等, 将其记为 a,则数列{ }na 中相邻两项恰好为 ( ,1)a 的情况至少出现 2 次,但根据数列{ }na 的定义 可知:第二个 a 的后一项应该至少为 2,不能为 1,所以矛盾！ 故假设 1 1a  不成立,所以 1 1a  ,即必要性得证！ 综上,“ 1 1a  ”是“存在 *m N ,当 n m 时,恒有 2n na a  成立”的充要条件.