北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（一）

北京市2020届高三高考数学押题仿真卷（一）

‎2020年北京市高考数学押题试卷（一）‎ 一、选择题（共10小题）.‎ ‎1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（　　）‎ A．{0，1} B．{﹣1，0，1} ‎ C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}‎ ‎2．已知复数z‎=‎‎1+i‎1-i，则|z|＝（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．‎‎2‎ ‎3．（x‎-‎‎2‎x）6的展开式中的常数项为（　　）‎ A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160‎ ‎4．设a，b∈R，若a＞b，则（　　）‎ A．‎1‎a‎＜‎‎1‎b B．a+‎1‎b＞2‎ C．2a＞2b D．lga＞lgb ‎5．若角α的终边在第一象限，则下列三角函数值中不是sinα的是（　　）‎ A．cos(α-π‎2‎)‎ B．cos(π‎2‎-α)‎ C．‎-cos(α+π‎2‎)‎ D．‎cos(α+π‎2‎)‎ ‎6．设a‎→‎‎，‎b‎→‎是非零向量，则“a‎→‎‎，‎b‎→‎共线”是“‎|a‎→‎-b‎→‎|=|a‎→‎|-|b‎→‎|‎”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．已知双曲线x‎2‎a‎+y‎2‎=‎1的一条渐近线倾斜角为‎2π‎3‎，则a的值为（　　）‎ A．﹣3 B．‎-‎‎1‎‎3‎ C．3 D．‎‎3‎‎3‎ ‎8．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（　　）‎ A．4 B．2 C．‎8‎‎3‎ D．‎‎4‎‎3‎ ‎9．在平行四边形ABCD中，‎∠A=‎π‎3‎，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足‎|BM‎→‎|‎‎|BC‎→‎|‎‎=‎‎|CN‎→‎|‎‎|CD‎→‎|‎，则AM‎→‎‎⋅‎AN‎→‎的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎10．已知函数f(x)=‎‎-x‎2‎+2x+1，x＜2‎‎2‎x-2‎‎，x≥2‎，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（　　）‎ A．（0，3） B．（1，2） C．（0，2） D．（1，3）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是　 　．‎ ‎12．圆（x+3）2+y2＝1的圆心到直线x+‎3‎y+1=0‎的距离为　 　．‎ ‎13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝27，a6＝1，则数列{an}的公差为　 　．‎ ‎14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为　 　‎ ‎15．已知集合P＝{（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4，0≤θ≤π}．由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论：‎ ‎①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为‎(0，‎3‎)‎；‎ ‎②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为4；‎ ‎③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则‎|CD|=3+‎‎3‎；‎ ‎④白色“水滴”图形的面积是‎11‎‎6‎π-‎‎3‎．‎ 其中正确的有　 　．‎ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．已知△ABC满足　 　，且b‎=‎‎6‎，A‎=‎‎2π‎3‎，求sinC的值及△ABC的面积．从①B‎=‎π‎4‎，②a‎=‎‎3‎，③a＝3‎2‎sinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1‎=‎‎3‎，点E为A1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．‎ ‎18．近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：[5，6），[6，7），[7，8），[8，9]并整理得到如图的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为μ0．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ1；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ2．有同学认为|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|，你认为正确吗？说明理由．‎ ‎19．已知函数f(x)=lnx-1‎x-ax．‎ ‎（Ⅰ）当a＝2时，‎ ‎（i）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（ii）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．‎ ‎20．已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A（0，2‎3‎），离心率为‎1‎‎2‎ ‎（1）求椭圆P的方程；‎ ‎（2）是否存在过点E（0，﹣4）的直线l交椭圆P于点R，T，且满足OR‎→‎•OT‎→‎‎=‎‎16‎‎7‎．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知项数为m（m∈N*，m≥2）的数列{an}满足如下条件：①an∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜am．若数列{bn}满足bn‎=‎(a‎1‎+a‎2‎+⋯+am)-‎anm-1‎∈‎N‎*‎，其中n＝1，2，…，m，则称{bn}为{an}的“伴随数列”．‎ ‎（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若{bn}为{an}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞bm；‎ ‎（Ⅲ）已知数列{an}存在“伴随数列”{bn}，且a1＝1，am＝2049，求m的最大值．‎ 参考答案 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x∈Z|x2＜4}，则A∩B＝（　　）‎ A．{0，1} B．{﹣1，0，1} ‎ C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}‎ ‎【分析】容易求出B＝{﹣1，0，1}，然后进行交集的运算即可求出A∩B．‎ 解：解x2＜4得，﹣2＜x＜2；‎ 又x∈Z；‎ ‎∴B＝{﹣1，0，1}，且A＝{x|﹣1≤x＜3}；‎ ‎∴A∩B＝{﹣1，0，1}．‎ 故选：B．‎ ‎2．已知复数z‎=‎‎1+i‎1-i，则|z|＝（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．‎‎2‎ ‎【分析】通过分母有理化即得结论．‎ 解：∵z‎=‎1+i‎1-i=‎(1+i)(1+i)‎‎(1-i)(1+i)‎=‎1+2i+‎i‎2‎‎1-‎i‎2‎=‎i，‎ ‎∴|z|＝|i|＝1，‎ 故选：B．‎ ‎3．（x‎-‎‎2‎x）6的展开式中的常数项为（　　）‎ A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160‎ ‎【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于零，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．‎ 解：二项式（x‎-‎‎2‎x）6的展开式的通项公式为 Tr+1‎=‎‎∁‎‎6‎r•x6﹣r•（‎-‎‎2‎x）r＝（﹣2）r•‎∁‎‎6‎r•x6﹣2r，‎ 令6﹣2r＝0，解得 r＝3，‎ 故展开式中的常数项为：（﹣2）3•‎∁‎‎6‎‎3‎‎=-‎160．‎ 故选：C．‎ ‎4．设a，b∈R，若a＞b，则（　　）‎ A．‎1‎a‎＜‎‎1‎b B．a+‎1‎b＞2‎ C．2a＞2b D．lga＞lgb ‎【分析】直接利用赋值法的应用和不等式的性质，即可得到正确选项．‎ 解：当a＝1，b＝0时，选项A、B、D不成立．‎ ‎∵a＞b，∴2a＞2b，‎ 故选：C．‎ ‎5．若角α的终边在第一象限，则下列三角函数值中不是sinα的是（　　）‎ A．cos(α-π‎2‎)‎ B．cos(π‎2‎-α)‎ C．‎-cos(α+π‎2‎)‎ D．‎cos(α+π‎2‎)‎ ‎【分析】利用诱导公式即可求解．‎ 解：对于A，由于cos(α-π‎2‎)=‎cos（π‎2‎‎-‎α）＝sinα，是 对于B，由于cos(π‎2‎-α)=‎sinα，是 对于C，‎-cos(α+π‎2‎)=‎sinα，是 对于D，cos(α+π‎2‎)=-‎sinα，不是 故选：D．‎ ‎6．设a‎→‎‎，‎b‎→‎是非零向量，则“a‎→‎‎，‎b‎→‎共线”是“‎|a‎→‎-b‎→‎|=|a‎→‎|-|b‎→‎|‎”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】若a‎→‎‎，‎b‎→‎共线反向，则‎|a‎→‎-b‎→‎|≠|a‎→‎|-|b‎→‎|‎；反之，若a‎→‎‎，‎b‎→‎是非零向量，且‎|a‎→‎-b‎→‎|=|a‎→‎|-|b‎→‎|‎，则a‎→‎‎，‎b‎→‎共线，再由充分必要条件的判定得答案．‎ 解：若a‎→‎‎，‎b‎→‎共线反向，则‎|a‎→‎-b‎→‎|≠|a‎→‎|-|b‎→‎|‎，则不充分；‎ 反之，若a‎→‎‎，‎b‎→‎是非零向量，且‎|a‎→‎-b‎→‎|=|a‎→‎|-|b‎→‎|‎，则a‎→‎‎，‎b‎→‎共线同向，且‎|a‎→‎|＞|b‎→‎|‎．‎ 则“a‎→‎‎，‎b‎→‎共线”是“‎|a‎→‎-b‎→‎|=|a‎→‎|-|b‎→‎|‎”的必要不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎7．已知双曲线x‎2‎a‎+y‎2‎=‎1的一条渐近线倾斜角为‎2π‎3‎，则a的值为（　　）‎ A．﹣3 B．‎-‎‎1‎‎3‎ C．3 D．‎‎3‎‎3‎ ‎【分析】由双曲线方程求得渐近线方程，结合题意可得‎-‎1‎‎-a=‎tan ‎2π‎3‎，则a的值可求．‎ 解：由双曲线x‎2‎a‎+y‎2‎=‎1的一条渐近线y‎=-‎‎1‎‎-ax，一条渐近线的倾斜角为‎2π‎3‎，‎ 可得：‎-‎1‎‎-a=‎tan‎2π‎3‎‎=-‎‎3‎，解得：a‎=-‎‎1‎‎3‎．‎ 故选：B．‎ ‎8．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（　　）‎ A．4 B．2 C．‎8‎‎3‎ D．‎‎4‎‎3‎ ‎【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．‎ 解：由题意几何体是直观图如图：‎ 是正方体的一部分，三棱锥P﹣ABC，正方体的棱长为：2，‎ 几何体的体积为：‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎×2×2×2=‎‎4‎‎3‎．‎ 故选：D．‎ ‎9．在平行四边形ABCD中，‎∠A=‎π‎3‎，AB＝2，AD＝1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足‎|BM‎→‎|‎‎|BC‎→‎|‎‎=‎‎|CN‎→‎|‎‎|CD‎→‎|‎，则AM‎→‎‎⋅‎AN‎→‎的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】设‎|BM‎→‎|‎‎|BC‎→‎|‎‎=‎|CN‎→‎|‎‎|CD‎→‎|‎=‎k，0≤k≤1，建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出AM‎→‎•AN‎→‎的最小值即可．‎ 解：设‎|BM‎→‎|‎‎|BC‎→‎|‎‎=‎|CN‎→‎|‎‎|CD‎→‎|‎=‎k，0≤k≤1；‎ 建立如图所示的坐标系．‎ A（0，0），B（2，0），D（‎1‎‎2‎，‎3‎‎2‎），C（‎5‎‎2‎，‎3‎‎2‎），‎ 由BM‎→‎‎=‎kBC‎→‎，CN‎→‎‎=‎kCD‎→‎，‎ 可得AM‎→‎‎=AB‎→‎+‎kBC‎→‎‎=‎（2‎+‎‎1‎‎2‎k，‎3‎k‎2‎），‎ 同理可得AN‎→‎‎=‎（‎5‎‎2‎‎-‎2k，‎3‎‎2‎），‎ ‎∴AM‎→‎•AN‎→‎‎=‎（2‎+‎‎1‎‎2‎k）（‎5‎‎2‎‎-‎2k）‎+‎‎3‎‎4‎k＝﹣k2﹣2k+5＝﹣（k+1）2+6，‎ ‎∵0≤k≤1，‎ ‎∴AM‎→‎•AN‎→‎的最小值是2，当且仅当M与点C重合，N与点D重合时取得最小值．‎ 故选：A．‎ ‎10．已知函数f(x)=‎‎-x‎2‎+2x+1，x＜2‎‎2‎x-2‎‎，x≥2‎，且存在不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（　　）‎ A．（0，3） B．（1，2） C．（0，2） D．（1，3）‎ ‎【分析】作出y＝f（x）的函数图象，设x1＜x2＜x3，f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，求得x1，x2，x3，构造函数g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t ‎＜2，求得导数，判断单调性，即可得到所求范围．‎ 解：函数f(x)=‎‎-x‎2‎+2x+1，x＜2‎‎2‎x-2‎‎，x≥2‎的图象如图所示：‎ 设x1＜x2＜x3，‎ 又当x∈[2，+∞）时，f（x）＝2x﹣2是增函数，‎ 当x＝3时，f（x）＝2，‎ 设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，1＜t＜2，‎ 即有﹣x12+2x1+1＝﹣x22+2x2+1＝2x‎3‎‎-2‎‎=‎t，‎ 故x1x2x3＝（1‎-‎‎2-t）（1‎+‎‎2-t）（2+log2t）‎ ‎＝（t﹣1）（2+log2t），‎ 由g（t）＝（t﹣1）（2+log2t），1＜t＜2，‎ 可得g′（t）＝2+log2t‎+t-1‎tln2‎＞‎0，即g（t）在（1，2）递增，‎ 可得g（t）的范围是（0，3）．‎ 故选：A．‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是　π　．‎ ‎【分析】由题意利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．‎ 解：函数f（x）＝sin2x+cos2x‎=‎‎2‎sin（2x‎+‎π‎4‎）的最小正周期是‎2π‎2‎‎=‎π，‎ 故答案为：π．‎ ‎12．圆（x+3）2+y2＝1的圆心到直线x+‎3‎y+1=0‎的距离为　1　．‎ ‎【分析】直接利用点到直线的距离公式即可直接求解．‎ 解：圆（x+3）2+y2＝1的圆心（﹣3，0）到直线x+‎3‎y+1=0‎的距离d‎=‎|-3+‎3‎×0+1|‎‎2‎=‎1．‎ 故答案为：1．‎ ‎13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝27，a6＝1，则数列{an}的公差为　﹣2　．‎ ‎【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，能求出该数列的首项和公差．‎ 解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S9＝27，a6＝1，‎ ‎∴S‎9‎‎=9a‎1‎+‎9×8‎‎2‎d=27‎a‎6‎‎=a‎1‎+5d=1‎，‎ 解得a1＝11，d＝﹣2．‎ ‎∴数列{an}的公差为﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎14．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为　‎3‎π‎2‎　‎ ‎【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．‎ 解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．‎ 其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球．‎ 设其四棱锥的外接球的半径为r，则3×12＝（2r）2，解得r‎=‎‎3‎‎2‎．‎ ‎∴该几何体外接球的体积‎=‎4‎‎3‎×‎π×（‎3‎‎2‎）3‎=‎‎3‎π‎2‎．‎ 故答案为：‎‎3‎π‎2‎ ‎15．已知集合P＝{（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4，0≤θ≤π}．由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”．给出下列结论：‎ ‎①“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为‎(0，‎3‎)‎；‎ ‎②在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为4；‎ ‎③阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则‎|CD|=3+‎‎3‎；‎ ‎④白色“水滴”图形的面积是‎11‎‎6‎π-‎‎3‎．‎ 其中正确的有　①③④　．‎ ‎【分析】①方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4中，令x＝0求得y的取值范围，得出最高点的坐标；‎ ‎②利用参数法求出点M到原点的距离d，求出最大值；‎ ‎③求出知最高点C与最低点D的距离|CD|；‎ ‎④计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成．‎ 解：对于①，方程（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4中，‎ 令x＝0，得cos2θ+y2﹣2ysinθ+sin2θ＝4，‎ 所以2sinθ＝y‎-‎‎3‎y，其中θ∈[0，π]，‎ 所以sinθ∈[0，1]，所以y‎-‎‎3‎y∈[0，2]，‎ 解得y∈[‎-‎‎3‎，﹣1]∪[‎3‎，3]；‎ 所以点A（0，‎3‎），点B（0，﹣1），点C（0，3），点D（0，‎-‎‎3‎），所以①正确；‎ 对于②，由（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝4，设x=2cosα+cosθy=2sinα+sinθ，‎ 则点M到原点的距离为d‎=x‎2‎‎+‎y‎2‎=‎(2cosα+cosθ‎)‎‎2‎+(2sinα+sinθ‎)‎‎2‎=‎‎5+4cos(α-θ)‎，‎ 当α＝θ时，cos（α﹣θ）＝1，d取得最大值为3，所以②错误；‎ 对于③，由①知最高点为C（0，3），最低点为D（0，‎-‎‎3‎），所以|CD|＝3‎+‎‎3‎，③正确；‎ 对于④，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；‎ 计算它的面积是S＝S半圆+2S弓形+S△‎=‎‎1‎‎2‎π×12+2×（‎2π‎3‎‎-‎‎3‎）‎+‎1‎‎2‎×‎2‎×‎3‎=‎11‎‎6‎-‎‎3‎，所以④正确；‎ 综上知，正确的命题序号是①③④．‎ 故答案为：①③④．‎ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎16．已知△ABC满足　①　，且b‎=‎‎6‎，A‎=‎‎2π‎3‎，求sinC的值及△ABC的面积．从①B‎=‎π‎4‎，②a‎=‎‎3‎，③a＝3‎2‎sinB这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎【分析】选①，由sinC＝sin（A+B），利用正弦的和角公式展开求解即可得到sinC，再由正弦定理求得a，由此即可求得三角形面积．‎ 选②，由正弦定理结合已知数据可得sinB＞1，此时三角形无解；‎ 选③，先由正弦定理结合已知条件求得sinB=‎‎2‎‎2‎，再根据诱导公式及和差角公式可得sinC的值，再进一步求得面积．‎ 解：选①，由A+B+C＝π可知，sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin(‎2π‎3‎+π‎4‎)=sin‎2π‎3‎cosπ‎4‎+cos‎2π‎3‎sinπ‎4‎=‎3‎‎2‎×‎2‎‎2‎-‎1‎‎2‎×‎2‎‎2‎=‎‎6‎‎-‎‎2‎‎4‎；‎ 由正弦定理有asinA‎=‎bsinB，即asin‎2π‎3‎‎=‎‎6‎sinπ‎4‎，解得a＝3，‎ ‎∴S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎absinC=‎1‎‎2‎×3×‎6‎×‎6‎‎-‎‎2‎‎4‎=‎‎9-3‎‎3‎‎4‎．‎ 选②，∵a‎=‎‎3‎，b‎=‎‎6‎，A‎=‎‎2π‎3‎，‎ ‎∴由正弦定理可得，asinA‎=‎bsinB，即‎3‎sin‎2π‎3‎‎=‎‎6‎sinB，解得sinB=‎6‎sin‎2π‎3‎‎3‎=‎6‎‎2‎＞‎1，此时无解；‎ 选③，∵a＝3‎2‎sinB，b‎=‎‎6‎，A‎=‎‎2π‎3‎，‎ ‎∴由正弦定理可得，asinA‎=‎bsinB，即asinB＝bsinA，‎ ‎∴‎3‎2‎sin‎2‎B=‎6‎sin‎2π‎3‎=‎6‎×‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴sin‎2‎B=‎‎1‎‎2‎，‎ 又B为△ABC内角，‎ ‎∴sinB=‎‎2‎‎2‎，‎ 又A‎=‎‎2π‎3‎，‎ 故B=‎π‎4‎，a=3‎2‎×‎2‎‎2‎=3‎，‎ ‎∴sinC=sin(A+B)=sin‎2π‎3‎cosπ‎4‎+cos‎2π‎3‎sinπ‎4‎=‎3‎‎2‎×‎2‎‎2‎-‎1‎‎2‎×‎2‎‎2‎=‎‎6‎‎-‎‎2‎‎4‎，‎ ‎∴S‎△ABC‎=‎1‎‎2‎absinC=‎1‎‎2‎×3×‎6‎×‎6‎‎-‎‎2‎‎4‎=‎‎9-3‎‎3‎‎4‎．‎ ‎17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，AB＝BB1＝2BC＝2，BC1‎=‎‎3‎，点E为A1C1的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣E的大小．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明AB⊥C1B．CB⊥C1B．利用直线与平面垂直的判断定理证明C1B⊥平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz．求出平面BCE的法向量，平面ABC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C，‎ 所以AB⊥C1B．‎ 在△BCC1中，BC＝1，BC‎1‎=‎‎3‎，CC1＝2，‎ 所以BC‎2‎+BC‎1‎‎2‎=CC‎1‎‎2‎．‎ 所以CB⊥C1B．‎ 因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，‎ 所以C1B⊥平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，‎ 如图，以B为原点建立空间直角坐标系B﹣xyz．‎ 则B（0，0，0），E(-‎1‎‎2‎，‎3‎，1)‎，C（1，0，0）.BC‎→‎‎=(1，0，0)‎，BE‎→‎‎=(-‎1‎‎2‎，‎3‎，1)‎．‎ 设平面BCE的法向量为n‎→‎‎=‎（x，y，z），‎ 则n‎→‎‎⋅BC‎→‎=0‎n‎→‎‎⋅BE‎→‎=0‎，‎ 即x=0，‎‎-‎1‎‎2‎x+‎3‎y+z=0.‎ 令y=‎‎3‎则x＝0，z＝﹣3，‎ 所以n‎→‎‎=(0，‎3‎，-3)‎．‎ 又因为平面ABC的法向量为m‎→‎‎=‎（0，1，0），‎ 所以cos＜m‎→‎，n‎→‎＞=m‎→‎‎⋅‎n‎→‎‎|m‎→‎||n‎→‎|‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 由题知二面角A﹣BC﹣E为锐角，所以其大小为π‎3‎．‎ ‎18．近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：[5，6），[6，7），[7，8），[8，9]并整理得到如图的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X 辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为μ0．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ1；若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为μ2．有同学认为|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|，你认为正确吗？说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图列出关系式，求解a；‎ ‎（Ⅱ）求出X的可能取值为：0，1，2；求出概率，得到X的分布列然后求解数学期望；‎ ‎（Ⅲ）判断有可能μ1更接近μ0，也有可能μ2更接近μ0，说明|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|不恒成立，说明结果即可．‎ 解：（Ⅰ）由题意可得1×（0.1+0.2+0.4+a）＝1可得a＝0.3；‎ ‎（Ⅱ）4组无人驾驶汽车的数量比为：1：2：4：3；若使用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在[7，8）这一组的无人驾驶汽车有10‎×‎4‎‎10‎=‎4辆，行驶里程在[8，9）这一组的无人驾驶汽车有10‎×‎3‎‎10‎=‎3辆，‎ 由题意可知X的可能取值为：0，1，2；‎ P（X＝0）‎=C‎4‎‎2‎C‎7‎‎2‎=‎‎2‎‎7‎，P（X＝1）‎=C‎4‎‎1‎C‎3‎‎1‎C‎7‎‎2‎=‎‎4‎‎7‎，P（X＝2）‎=C‎3‎‎2‎C‎7‎‎2‎=‎‎1‎‎7‎，‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎2‎‎7‎‎ ‎ ‎4‎‎7‎‎ ‎ ‎1‎‎7‎‎ ‎ 所以X的数学期望：EX‎=0×‎2‎‎7‎+1×‎4‎‎7‎+2×‎1‎‎7‎=‎‎6‎‎7‎．‎ ‎（Ⅲ）这种说法不正确．理由如下：‎ 由于样本具有随机性，故μ1、μ2是随机变量，受抽样结果影响，因此有可能μ1更接近μ0，也有可能μ2更接近μ0，所以|μ0﹣μ1|＜|μ0﹣μ2|不恒成立，所以这种说法不正确．‎ ‎19．已知函数f(x)=lnx-1‎x-ax．‎ ‎（Ⅰ）当a＝2时，‎ ‎（i）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（ii）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．‎ ‎【分析】（Ⅰ）（i）根据题意，求出函数的导数，据此计算f′（1）与f（1），即可得切线的斜率以及切点的坐标，由直线的点斜式方程即可得答案；‎ ‎（ii）根据题意，令g（x）＝2﹣lnx﹣2x2，分析g（x）的符号，即可得函数f（x）的导数的符号，即可得函数f（x）的单调区间，‎ ‎（Ⅱ）根据题意，f（x）＜﹣1，即lnx-1‎x‎-ax＜-1‎，设h(x)=lnx-1‎x-ax+1(x＞0)‎，对h（x）求导分析可得h（x）的单调性，分析h（x）的最值，即可得结论．‎ 解：（Ⅰ）当a＝2时，f(x)=lnx-1‎x-2x，定义域为（0，+∞），‎ f′(x)=‎2-lnxx‎2‎-2=‎‎2-lnx-2‎x‎2‎x‎2‎‎，‎ f′（1）＝﹣1﹣2＝﹣3，‎ f'（1）＝2﹣2＝0；‎ 所以切点坐标为（1，﹣3），切线斜率为0‎ 所以切线方程为y＝﹣3；‎ ‎（ii）令g（x）＝2﹣lnx﹣2x2，‎g′(x)=-‎1‎x-4x＜0‎ 所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0‎ 所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0即f'（x）＞0‎ 所以当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0即f'（x）＜0‎ 综上所述，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）证明：f（x）＜﹣1，即lnx-1‎x‎-ax＜-1‎ 设h(x)=lnx-1‎x-ax+1(x＞0)‎，h′(x)=‎2-lnxx‎2‎-a=‎‎-ax‎2‎-lnx+2‎x‎2‎，‎ 设φ（x）＝﹣ax2﹣lnx+2‎φ′(x)=-2ax-‎1‎x=‎-2ax‎2‎-1‎x＜0‎ 所以φ'（x）在（0，+∞）小于零恒成立 即h'（x）在（0，+∞）上单调递减 因为1＜a＜2，‎ 所以h'（1）＝2﹣a＞0，h'（e2）＝﹣a＜0，‎ 所以在（1，e2）上必存在一个x0使得h′(x‎0‎)=‎-ax‎0‎‎2‎-lnx‎0‎+2‎x‎0‎‎2‎=0‎，‎ 即lnx‎0‎=-ax‎0‎‎2‎+2‎，‎ 所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，‎ 当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，‎ 所以h(x‎)‎max=h(x‎0‎)=lnx‎0‎-1‎x‎0‎-ax‎0‎，‎ 因为lnx‎0‎=-ax‎0‎‎2‎+2‎，‎ 所以h(x‎0‎)=‎‎-2ax‎0‎‎2‎+x‎0‎+1‎x‎0‎，‎ 令h（x0）＝0得x‎0‎‎=‎‎1±‎‎1+8a‎4a，‎ 因为1＜a＜2，所以‎1-‎‎1+8a‎4a‎＜0‎，‎1+‎‎1+8a‎4a‎＜1‎，‎ 因为x‎0‎‎∈(1，e‎2‎)‎，所以h（x0）＜0恒成立，‎ 即h（x）＜0恒成立，‎ 综上所述，当1＜a＜2时，f（x）＜﹣1．‎ ‎20．已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点A（0，2‎3‎），离心率为‎1‎‎2‎ ‎（1）求椭圆P的方程；‎ ‎（2）是否存在过点E（0，﹣4）的直线l交椭圆P于点R，T，且满足OR‎→‎•OT‎→‎‎=‎‎16‎‎7‎．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）设椭圆P的方程为 x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎═1 （a＞b＞0），由椭圆经过点A（0，2‎3‎），离心率为‎1‎‎2‎，求得a和b的值，‎ 从而求得椭圆P的方程．‎ ‎（2）由y=kx-4‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎ 可得 x1+x2 和x1•x2 的值，可得y1•y2的值，根据 OR‎→‎•OT‎→‎‎=‎‎16‎‎7‎，求出k＝±1，‎ 从而得到直线l的方程．‎ 解：（1）设椭圆P的方程为 x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=‎1 （a＞b＞0），由题意得b＝2‎3‎，ca‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴a＝2c，b2＝a2﹣c2＝3c2，∴c＝2，a＝4，∴椭圆P的方程为：x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎． ‎ ‎（2）假设存在满足题意的直线L．易知当直线的斜率不存在时，OR‎→‎•OT‎→‎‎＜‎0，不满足题意．‎ 故设直线L的斜率为k，R（x1，y1），T（x2，y2 ）．∵OR‎→‎•OT‎→‎‎=‎‎16‎‎7‎，∴x1•x2+y1•y2‎=‎‎16‎‎7‎，‎ 由y=kx-4‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎‎12‎=1‎ 可得 （3+4k2 ）x2﹣32kx+16＝0，由△＝（﹣32k）2﹣4（3+4k2）•16＞0，‎ 解得 k2‎＞‎‎1‎‎4‎①．‎ ‎∴x1+x2‎=‎‎32k‎3+4‎k‎2‎，x1•x2‎=‎‎16‎‎3+4‎k‎2‎，‎ ‎∴y1•y2＝（kx1﹣4 ）（kx2﹣4）＝k2 x1•x2﹣4k（x1+x2）+16，‎ ‎∴x1•x2+y1•y2‎=‎16‎‎3+4‎k‎2‎+‎16‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎-‎128‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎+‎16‎=‎‎16‎‎7‎，∴k2＝1 ②，‎ 由①、②解得 k＝±1，∴直线l的方程为 y＝±x﹣4，‎ 故存在直线l：x+y+4＝0，或 x﹣y﹣4＝0，满足题意．‎ ‎21．已知项数为m（m∈一、选择题*，m≥2）的数列{an}满足如下条件：①an∈N*（n＝1，2，…，m）；②a1＜a2＜…＜am．若数列{bn}满足bn‎=‎(a‎1‎+a‎2‎+⋯+am)-‎anm-1‎∈‎N‎*‎，其中n＝1，2，…，m，则称{bn}为{an}的“伴随数列”．‎ ‎（Ⅰ）数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若{bn}为{an}的“伴随数列”，证明：b1＞b2＞…＞bm；‎ ‎（Ⅲ）已知数列{an}存在“伴随数列”{bn}，且a1＝1，am＝2049，求m的最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题目中“伴随数列”的定义得b‎4‎‎=‎1+3+5+7+9-7‎‎5-1‎=‎9‎‎2‎∉‎N‎*‎，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．‎ ‎（Ⅱ）只要用作差法证明{bn}的单调性即可，‎ ‎（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有bi‎-bj=‎aj‎-‎aim-1‎，因为bi‎∈‎N‎*‎，b1＞b2＞…＞bm．因为bn-1‎‎-bn=an‎-‎an-1‎m-1‎∈‎N‎*‎，所以an﹣an﹣1≥m﹣1，又am﹣a1＝（am﹣am﹣1）+（am﹣1﹣am﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．所以2049﹣1≥（m﹣1）2，即可解得m的最大值．‎ 解：（Ⅰ）数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．‎ 因为b‎4‎‎=‎1+3+5+7+9-7‎‎5-1‎=‎9‎‎2‎∉‎N‎*‎，‎ 所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．‎ ‎（Ⅱ）证明：因为bn+1‎‎-bn=‎an‎-‎an+1‎m-1‎，1≤n≤m﹣1，n∈N*，‎ 又因为a1＜a2＜…＜am，所以有an﹣an+1＜0，‎ 所以bn+1‎‎-bn=an‎-‎an+1‎m-1‎＜0‎，‎ 所以b1＞b2＞…＞bm成立．‎ ‎（Ⅲ）∀1≤i＜j≤m，都有bi‎-bj=‎aj‎-‎aim-1‎，‎ 因为bi‎∈‎N‎*‎，b1＞b2＞…＞bm．‎ 所以bi‎-bj∈‎N‎*‎，‎ 所以bi‎-bj=aj‎-‎aim-1‎∈‎N‎*‎，‎ 所以b‎1‎‎-bm=am‎-‎a‎1‎m-1‎=‎2048‎m-1‎∈‎N‎*‎，‎ 因为bn-1‎‎-bn=an‎-‎an-1‎m-1‎∈‎N‎*‎，‎ 所以an﹣an﹣1≥m﹣1，‎ 又am﹣a1＝（am﹣am﹣1）+（am﹣1﹣am﹣2）+…+（a2﹣a1）≥（m﹣1）+（m﹣1）+…+（m﹣1）＝（m﹣1）2．‎ 所以2049﹣1≥（m﹣1）2‎ 所以（m﹣1）2≤2048，‎ 所以m≤46，‎ 又‎2048‎m-1‎‎∈‎N‎*‎，‎ 所以m≤33，‎ 例如：an＝64n﹣63（1≤n≤33），满足题意，‎ 所以，m的最大值是33．‎ ‎ ‎