北京市2020届高考数学押题仿真卷（三） Word版含答案

北京市2020届高考数学押题仿真卷（三） Word版含答案

‎2020北京卷高考数学押题仿真模拟（三）‎ 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1. 已知集合,且,则可以是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2. 若是函数的零点,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3. 若角的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4. 已知双曲线的右顶点和抛物线的焦点重合,则的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5. 某三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的所有棱长构成的集合为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎6. 把函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象对应函数的解析式为,则的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎7. 设是公比为的等比数列,且,则“对任意成立”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎8. 记表示的平面区域为,点为原点,点为直线上一个动点.若区域上存在点,使得,则的最大值是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎9. 已知曲线与直线相交,若在轴右侧的交点自左向右依次记为则等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10. 已知函数是定义在上的偶函数,对任意都有当且时,给出如下命题：‎ ‎①‎ ‎②直线是函数的图象的一条对称轴;‎ ‎③函数在上为增函数;‎ ‎④函数在上有四个零点.‎ ‎（A）①② （B）②④ （C）①②③ （D）①②④‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎（11） 已知是虚数单位,若,,则.‎ 答案：1‎ ‎（12）在中,,,,则,.‎ 答案：‎ （13） 已知数列满足,且,则.‎ 答案：24‎ ‎（14）在矩形中,,点为的中点,点在线段上.若,且点在直线上,则 答案：‎ ‎（15）已知集合.给定一个函数,定义集合.若对任意的成立,则称函数具有性质“P”.‎ ‎（Ⅰ）具有性质“P”的一个一次函数的解析式可以是_____;‎ ‎（Ⅱ）给出下列函数:①;②;③,其中具有性质“P”的函数的序号是_____.（写出所有正确答案的序号）‎ 答案：（答案不唯一）,①②‎ ‎ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 已知分别为内角，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.‎ ‎（Ⅰ）满足有解三角形的序号组合有哪些？‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）所有组合中任选一组，并求对应的面积.‎ ‎（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）‎ ‎【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（2）.‎ ‎【解】（Ⅰ）由②得，，‎ 解得或（舍），所以，‎ 因为，且，所以，所以，矛盾.‎ 所以不能同时满足①，②.‎ 故满足①，③，④或②，③，④；‎ ‎（Ⅱ）若满足①，③，④，‎ 因为，所以，即.‎ 解得.‎ 所以的面积.‎ 若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，‎ 所以，所以的面积.‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ 如图,在三棱柱中,,平面,,,分别是,的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明:平面;‎ ‎（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.‎ 解（Ⅰ）取的中点,连接、.‎ 因为、分别是、的中点,‎ 所以ME∥,且ME.‎ 在三棱柱中,,且,‎ 所以ME∥AD,且ME=AD,‎ 所以四边形ADEM是平行四边形,‎ 所以DE∥AM.‎ 又平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）在三棱柱中,,‎ 因为,所以.‎ 在平面内,过点作,‎ 因为,平面,‎ 所以,平面.‎ 建立空间直角坐标系C-xyz,如图.则 ‎,,,,,.‎ ‎,,.‎ 设平面的法向量为,则 ‎,即,‎ 得,令,得,故.‎ 设直线DE与平面所成的角为θ,‎ 则sinθ＝,‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（18）（本小题满分14分）‎ 据《人民网》报道,“美国国家航空航天局（NASA）发文称,相比20年前世界变得更绿色了,卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.”据统计,中国新增绿化面积的42%来自于植树造林,下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位:公顷 地区 造林总面积 造林方式 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新 内蒙 ‎618484‎ ‎311052‎ ‎74094‎ ‎136006‎ ‎90382‎ ‎6950‎ 河北 ‎583361‎ ‎345625‎ ‎33333‎ ‎135107‎ ‎65653‎ ‎3643‎ 河南 ‎149002‎ ‎97647‎ ‎13429‎ ‎22417‎ ‎15376‎ ‎133‎ 重庆 ‎226333‎ ‎100600‎ ‎62400‎ ‎63333‎ 陕西 ‎297642‎ ‎184108‎ ‎33602‎ ‎63865‎ ‎16067‎ 甘肃 ‎325580‎ ‎260144‎ ‎57438‎ ‎7998‎ 新疆 ‎263903‎ ‎118105‎ ‎6264‎ ‎126647‎ ‎10796‎ ‎2091‎ 青海 ‎178414‎ ‎16051‎ ‎159734‎ ‎2629‎ 宁夏 ‎91531‎ ‎58960‎ ‎22938‎ ‎8298‎ ‎1335‎ 北京 ‎19064‎ ‎10012‎ ‎4000‎ ‎3999‎ ‎1053‎ ‎（Ⅰ）请根据上述数据,分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区;‎ ‎（Ⅱ）在这十个地区中,任选一个地区,求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？‎ ‎（Ⅲ）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中,任选两个地区,求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率.‎ 解:（Ⅰ）人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省,‎ 人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省 ‎（Ⅱ）设在这十个地区中,任选一个地区,该地区人工造林面积占总面积的比比不足为 事件 在十个地区中,有个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足,‎ 则 ‎（Ⅲ）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件 新封山育林面积超过十万公顷有个地区:内蒙、河北、新疆、青海,分别设为 ‎,其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区:内蒙、河北即 从个地区中任取个地区共有种情况,‎ 其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有种情况,‎ 则 ‎19. （本小题满分15分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线的倾斜角;‎ ‎（Ⅱ）若函数的极大值大于,求实数的取值范围.‎ 解:（Ⅰ）因为,‎ 所以 所以,‎ 所以切线的倾斜角为 ‎（Ⅱ）因为 当时,令,得 当变化时,的变化情况如下表:‎ 极小值 由上表函数只有极小值,没有极大值,不合题意,舍去 当时,令,得 当时,‎ 当变化时,的变化情况如下表:‎ 极小值 极大值 由上表函数的极大值,满足题意 当时,,‎ 所以函数单调递增,没有极大值,舍去 当时,当变化时,的变化情况如下表:‎ 极大值 极小值 由上表函数的极大值,‎ 解得 当时,当变化时,的变化情况如下表:‎ 极大值 极小值 由上表函数的极大值,不合题意 综上,的取值范围是 ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的左顶点为,两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形,过点且与轴不重合的直线与椭圆交于,不同的两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程;‎ ‎（Ⅱ）当与垂直时,求的长;‎ ‎（Ⅲ）若过点且平行于的直线交直线于点,求证:直线恒过定点.‎ 解:（Ⅰ）因为,所以 因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形,‎ 所以 又 所以,‎ 所以椭圆方程为 ‎（Ⅱ）方法一:‎ 设 ‎,‎ ‎,（舍）‎ 所以 方法二:‎ 设,‎ 因为与垂直,‎ 所以点在以为直径的圆上,‎ 又以为直径的圆的圆心为,半径为,方程为 ‎,‎ ‎,（舍）‎ 所以 方法三:‎ 设直线的斜率为,,其中 化简得 当时,‎ 得,‎ 显然直线存在斜率且斜率不为0.‎ 因为与垂直,‎ 所以 得,,‎ 所以 ‎（Ⅲ）直线恒过定点 设,,‎ 由题意,设直线的方程为,‎ 由得,‎ 显然,,则,,‎ 因为直线与平行,所以,‎ 则的直线方程为,‎ 令,则,即 ‎,‎ 直线的方程为 令,得 因为,故,‎ 所以直线恒过定点.‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 无穷数列满足:为正整数,且对任意正整数为前项中等于的项的个数.‎ ‎（Ⅰ）若请写出数列的前项;‎ ‎（Ⅱ）求证:对于任意正整数必存在使得 ‎（Ⅲ）求证:“”是“存在当时,恒有成立”的充要条件.‎ 解:（Ⅰ）2,1,1,2,2,3,1‎ ‎（Ⅱ）假设存在正整数,使得对任意的,.‎ 由题意,‎ 考虑数列的前项:‎ 其中至少有项的取值相同,不妨设 此时有:,矛盾.‎ 故对于任意的正整数,必存在,使得.‎ ‎（Ⅲ）充分性:‎ 当时,数列为 特别地,,‎ 故对任意的 ‎（1）若为偶数,则 ‎（2）若为奇数,则 综上,恒成立,特别地,取有当时,恒有成立 必要性:‎ 方法一:假设存在（）,使得“存在,当时,恒有成立”‎ 则数列的前项为 后面的项顺次为 对任意的,总存在,使得,,这与矛盾,故若存在,当时,恒有成立,必有 方法二:若存在,当时,恒成立,记.‎ 由第（2）问的结论可知:存在,使得（由s的定义知）‎ 不妨设是数列中第一个大于等于的项,即均小于等于s.‎ 则.因为,所以,即且为正整数,所以.‎ 记,由数列的定义可知,在中恰有t项等于1.‎ 假设,则可设,其中,‎ 考虑这t个1的前一项,即,‎ 因为它们均为不超过s的正整数,且,所以中一定存在两项相等,‎ 将其记为a,则数列中相邻两项恰好为的情况至少出现2次,但根据数列的定义可知:第二个a的后一项应该至少为2,不能为1,所以矛盾！‎ 故假设不成立,所以,即必要性得证！‎ 综上,“”是“存在,当时,恒有成立”的充要条件.‎