2018-2019学年江西省南昌市第二中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市第二中学高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．在中，，，，则边　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知利用三角形内角和定理可求角，再根据正弦定理可求的值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，， ， 由正弦定理，可得：,故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．‎ ‎2．若为等差数列,是前项和，,则该数列的公差 为( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 分析：根据等差数列的通项公式和前项和公式求 详解：‎ 点睛：数列中的五个基本量知三求二．，灵活应用公式是快速解题的关键．‎ ‎3．在△ABC中，已知b＝20，c＝，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)‎ A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 ‎【答案】A ‎【解析】利用正弦定理列出关系式，将b，c，sinC的值代入求出sinB的值，即可做出判断．‎ ‎【详解】‎ ‎∵在△ABC中，b=20，c=，C=60°，‎ ‎∴由正弦定理=得：sinB==，因为b>c,所以B=‎ 故答案为：A ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解三角形会出现多解问题，一般利用三角形内角和定理或者三角形边角不等关系定理检验.‎ ‎4．等比数列中，，则等于( )‎ A．16 B．±4 C．-4 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用等比中项求解．‎ 详解：，因为为正，解得．‎ 点睛：等比数列的性质：若，则．‎ ‎5．已知数列，则a2020=（　　）‎ A． B． C．﹣3 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题干所给的递推关系得到数列的周期为3，进而得到a2020==.‎ ‎【详解】‎ 数列，满足，因为故得到=-3，‎ 再代入得到=，，进而可以发现数列是有周期的，周期为3，2020=，故a2020==.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了数列通项公式的求法，即通过数列的递推关系找到数列的通项，或者通过配凑新数列进而求出通项，或者通过找规律找到数列的周期性，进而求出特定项的值.‎ ‎6．设等比数列前项和为，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵数列为等比数列，‎ ‎∴，，，成等比数列，且公比为．‎ ‎∴．选B．‎ 点睛：‎ ‎（1）若等比数列前项和为，则，，，,…仍成等比数列．‎ ‎（2）在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组，求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度．解题中要注意挖掘已知和“隐含”的条件．‎ ‎7．在中,=分别为角的对应边),则的形状为 A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】由题可得=，所以.‎ 由此可知，该三角形是直角三角形，所以角C为直角.‎ 本题选择B选项.‎ ‎8．设为数列的前项和，，，则数列的前20项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】， 相减得 由得出 ‎ ‎ ，= = ‎ 故选D 点睛：已知数列的与的等量关系，往往是再写一项，作差处理得出递推关系，一定要注意n的范围，有的时候要检验n=1的时候，本题就是检验n=1,不符合，通项是分段的.‎ ‎9．若是等差数列的前项和，其首项，，，则使成立的最大自然数是（ ）‎ A．198 B．199 C．200 D．201‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据，，，判断出，即可得到公差， ‎ 根据等差数列前项和公式可得，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 和异号 ‎，，‎ ‎，，即，‎ ‎，即， ‎ 且 ‎，‎ 所以使成立，取最大自然数 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力，属于中档题．‎ ‎10．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)‎ A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，设水柱CD的高度为h．在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AC=h．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得BC=．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，‎ 设水柱CD的高度为h．‎ 在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h．‎ ‎∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．‎ 又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，‎ 在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BC=．‎ 在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．‎ ‎∴（）2=h2+1002﹣，‎ 化为h2+50h﹣5000=0，解得h=50．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 解三角形应用题的一般步骤 ‎(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．‎ ‎(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．‎ ‎(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.‎ ‎11．如果数列满足，，且，则这个数列的第10项等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题设条件知，所以，由此能够得到为等差数列，从而得到第10项的值．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，即为等差数列．‎ ‎，‎ ‎，，‎ 为以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题．‎ ‎12．数列满足，，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为（ ）‎ A．10 B．11 C．9 D．12‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知推导出是首项为1，公差为4的等差数列，从而得到，由，得数列，的最大项为，由此求出，从而求出正整数的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ 是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 数列，是递减数列，‎ 数列，的最大项为：，‎ ‎，，‎ 是正整数，的最小值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查满足条件的正整数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意构造法、数列的单调性和等差数列的性质的合理运用，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设公比是，由题意得，，根据等比数列的通项公式计算可得．‎ ‎【详解】‎ 解：设公比是，项数为（为偶数）‎ 由题意得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的项数的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．‎ ‎14．在中，角所对的边分别为，若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 由正弦定理及可得，又，‎ 所以，即,‎ 由余弦定理可得，‎ 则，应填答案 ‎15．定义在数列中，若满足（，为常数）为“等差比数列”，已知在等差比数列中，，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过、及计算可知，进而可知数列是以1为首项、2为公差的等差数列，计算可知，从而即得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ ‎，，‎ 又数列满足，‎ ‎，‎ 数列是以1为首项、2为公差的等差数列，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎16．在中，（为常数），且，则的值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知等式可得，再由正弦定理将角化边得到，最后由余弦定理求出代入化简，即可求出参数的值.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 由正弦定理可得①‎ 根据余弦定理可知②‎ 由①②得 又因为 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．已知是公差为3的等差数列，数列满足．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前n项和．‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和得，因此是首项为1，公比为的等比数列.记的前项和为，则 ‎【考点】等差数列与等比数列 ‎【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎18．已知的内角分别为，其对应边分别是，且满足 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（1）先根据正弦定理进行边化角，然后结合三角函数正弦的和差公式逆运用即可；（2）先由正弦定理得出，，然后统一角度转化为三角函数求最值问题即可.‎ 详解：‎ ‎（Ⅰ） ，由正弦定理得：，‎ 即，于是，‎ 从而； ‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理得：，，，‎ ‎ ‎ ‎，（其中， ‎ 所以当时，的最大值是.‎ 点睛：考查正弦定理的边化角，三角化简求最值，对定理的灵活运用转化为解题关键，属于中档题.‎ ‎19．在平面四边形中，，，，.‎ ‎(1)求边的长；‎ ‎(2)若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）结合题中所给的条件，涉及到的边长以及对应的角的余弦值，在中，应用余弦定理求得AC的长；‎ ‎（2）在中，应用余弦定理求得，从而确定出，结合题的条件，确定出，在中，应用正弦定理，求得，之后分情况讨论，应用三角形面积公式求得结果.‎ 详解：（1）在中，由余弦定理得，‎ ‎， ‎ ‎（2）在中，由余弦定理得，‎ ‎，又因为为三角形的内角 所以因为所以 ‎ 在中，由正弦定理得，，即 解得，‎ 因为，所以 ‎ 当时，，所以 ‎ 当时，，所以.‎ 点睛：该题考查的是有关应用正弦定理和余弦定理解三角形的问题，在解题的过程中，需要灵活应用正余弦定理，在相应的三角形中，利用相应的条件，求得对应的解，最后应用面积公式求得三角形的面积，注意对角的大小进行讨论.‎ ‎20．已知数列的前项和为，若，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】充分利用已知，将式子中换成，然后相减得到与的关系，利用累乘法得到数列的通项，‎ ‎（2）利用裂项相消法求和，即可求出，‎ ‎【详解】‎ 解：（1）①，‎ 当时，，解得 当时，②， ‎ ‎①减去②得，‎ 整理得，‎ 即，‎ ‎，，，‎ 以上各式相乘得，又，‎ 所以，‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用累乘法求数列的通项公式，裂项相消法求和，属于中档题．‎ ‎21．在等差数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意，将数列中落入区间内的项的个数记为，求数列的前项和．‎ ‎【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质，将两已知式联立可以先求出等差数列的首项与公差，进而可求出通项公式；（2）首先根据要求列出关于的不等式，再根据都是正整数，即可判断出落入内的项数，从而求出数列的通项公式，再利用分组求和法即可求出其前项的和．‎ 试题解析：（1）因为是一个等差数列，，所以，即，‎ 设数列的公差为，则，故．‎ 由，得，即．‎ 所以，‎ ‎（2）对，若，则，因此，‎ 故得，于是 ‎．‎ ‎【考点】1、等差数列；2、等差数列通项公式及前项和公式；3、等比数列前项和公式；4、分组求和法．‎ ‎22．设公差不为0的等差数列的首项为1，且，，构成等比数列．‎ 求数列的通项公式，并求数列的前n项和为；‎ 令，若对恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【答案】（1）, (2) ‎ ‎【解析】（1）利用等差数列的首项和公差,代入，求出，进而求出；可看成是一个等差数列和一个等比数列的乘积，故可用错位相减法求和.‎ ‎（2）通过分奇偶讨论求出，再利用参变分离求的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的公差为，首项，由题意，‎ 则,解得.则.‎ ， ‎ ‚， ‎ -‚得 ‎，‎ ‎. ‎ ‎ ‎ ‎(2), ‎ 当为奇数时，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当为偶数时，，‎ ‎ 综上所述，‎ ‎【点睛】‎ 错位相减法是求数列前 项和的一种基本方法，解题过程计算比较繁琐，特别要注意解题中符号的变化以及相减后消去哪些项，保留哪些项.处理数列与不等式相结合的恒成立问题，其方法与函数中恒成立问题相同，但是一定要注意数列中变量的取值的特殊性.‎