2014年上海市高考数学试卷(理科)

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文档介绍

2014年上海市高考数学试卷(理科)

‎2014年上海市高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、填空题(共14题,满分56分)‎ ‎1.(4分)函数y=1﹣2cos2(2x)的最小正周期是   .‎ ‎2.(4分)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+)•=   .‎ ‎3.(4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程   .‎ ‎4.(4分)设f(x)=,若f(2)=4,则a的取值范围为   .‎ ‎5.(4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为   .‎ ‎6.(4分)若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为   (结果用反三角函数值表示).‎ ‎7.(4分)已知曲线C的极坐标方程为ρ(3cosθ﹣4sinθ)=1,则C与极轴的交点到极点的距离是   .‎ ‎8.(4分)设无穷等比数列{an}的公比为q,若a1=(a3+a4+…an),则q=   .‎ ‎9.(4分)若f(x)=﹣,则满足f(x)<0的x的取值范围是   .‎ ‎10.(4分)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是   (结果用最简分数表示).‎ ‎11.(4分)已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b=   .‎ ‎12.(4分)设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=   .‎ ‎13.(4分)某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分,若E(ξ)=4.2,则小白得5分的概率至少为   .‎ ‎14.(4分)已知曲线C:x=﹣,直线l:x=6,若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为   .‎ ‎ ‎ 二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分 ‎15.(5分)设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎16.(5分)如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…8)是上底面上其余的八个点,则•(i=1,2,…,8)的不同值的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎17.(5分)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是(  )‎ A.无论k,P1,P2如何,总是无解 B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解 C.存在k,P1,P2,使之恰有两解 D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解 ‎18.(5分)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为(  )‎ A.[﹣1,2] B.[﹣1,0] C.[1,2] D.[0,2]‎ ‎ ‎ 三、解答题(共5题,满分72分)‎ ‎19.(12分)底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.‎ ‎20.(14分)设常数a≥0,函数f(x)=.‎ ‎(1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数y=f﹣1(x);‎ ‎(2)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.‎ ‎21.(14分)如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为α和β.‎ ‎(1)设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?‎ ‎(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD的长(结果精确到0.01米).‎ ‎22.(16分)在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1,y1),P2(x2,y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若η<0,则称点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.‎ ‎(1)求证:点A(1,2),B(﹣1,0)被直线x+y﹣1=0分隔;‎ ‎(2)若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;‎ ‎(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为曲线E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分隔线.‎ ‎23.(16分)已知数列{an}满足an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.‎ ‎(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;‎ ‎(2)设{an}是公比为q的等比数列,Sn=a1+a2+…an,若Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N*,求q的取值范围.‎ ‎(3)若a1,a2,…ak成等差数列,且a1+a2+…ak=1000,求正整数k的最大值,以及k取最大值时相应数列a1,a2,…ak的公差.‎ ‎ ‎ ‎2014年上海市高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(共14题,满分56分)‎ ‎1.(4分)函数y=1﹣2cos2(2x)的最小正周期是  .‎ ‎【分析】由二倍角的余弦公式化简,可得其周期.‎ ‎【解答】解:y=1﹣2cos2(2x)‎ ‎=﹣[2cos2(2x)﹣1]‎ ‎=﹣cos4x,‎ ‎∴函数的最小正周期为T==‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+)•= 6 .‎ ‎【分析】把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可.‎ ‎【解答】解:复数z=1+2i,其中i是虚数单位,‎ 则(z+)•=‎ ‎=(1+2i)(1﹣2i)+1‎ ‎=1﹣4i2+1‎ ‎=2+4‎ ‎=6.‎ 故答案为:6‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程 x=﹣2 .‎ ‎【分析】由题设中的条件y2=2px(p>0)的焦点与椭圆的右焦点重合,故可以先求出椭圆的右焦点坐标,根据两曲线的关系求出p,再由抛物线的性质求出它的准线方程 ‎【解答】解:由题意椭圆,故它的右焦点坐标是(2,0),‎ 又y2=2px(p>0)的焦点与椭圆右焦点重合,‎ 故=2得p=4,‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2.‎ 故答案为:x=﹣2‎ ‎【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)设f(x)=,若f(2)=4,则a的取值范围为 (﹣∞,2] .‎ ‎【分析】可对a进行讨论,当a>2时,当a=2时,当a<2时,将a代入相对应的函数解析式,从而求出a的范围.‎ ‎【解答】解:当a>2时,f(2)=2≠4,不合题意;‎ 当a=2时,f(2)=22=4,符合题意;‎ 当a<2时,f(2)=22=4,符合题意;‎ ‎∴a≤2,‎ 故答案为:(﹣∞,2].‎ ‎【点评】本题考察了分段函数的应用,渗透了分类讨论思想,本题是一道基础题.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 2 .‎ ‎【分析】由已知可得y=,代入要求的式子,由基本不等式可得.‎ ‎【解答】解:∵xy=1,‎ ‎∴y=‎ ‎∴x2+2y2=x2+≥2=2,‎ 当且仅当x2=,即x=±时取等号,‎ 故答案为:2‎ ‎【点评】本题考查基本不等式,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为 arccos (结果用反三角函数值表示).‎ ‎【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍,可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,在轴截面中,求出母线与底面所成角的余弦值,进而可得母线与轴所成角.‎ ‎【解答】解:设圆锥母线与轴所成角为θ,‎ ‎∵圆锥的侧面积是底面积的3倍,‎ ‎∴==3,‎ 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,‎ 故圆锥的轴截面如下图所示:‎ 则cosθ==,‎ ‎∴θ=arccos,‎ 故答案为:arccos ‎【点评】本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,是解答的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.(4分)已知曲线C的极坐标方程为ρ(3cosθ﹣4sinθ)=1,则C与极轴的交点到极点的距离是  .‎ ‎【分析】由题意,θ=0,可得C与极轴的交点到极点的距离.‎ ‎【解答】解:由题意,θ=0,可得ρ(3cos0﹣4sin0)=1,‎ ‎∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)设无穷等比数列{an}的公比为q,若a1=(a3+a4+…an),则q=  .‎ ‎【分析】由已知条件推导出a1=,由此能求出q的值.‎ ‎【解答】解:∵无穷等比数列{an}的公比为q,‎ a1=(a3+a4+…an)‎ ‎=(﹣a1﹣a1q)‎ ‎=,‎ ‎∴q2+q﹣1=0,‎ 解得q=或q=(舍).‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)若f(x)=﹣,则满足f(x)<0的x的取值范围是 (0,1) .‎ ‎【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可.‎ ‎【解答】解:f(x)=﹣,若满足f(x)<0,‎ 即<,‎ ‎∴,‎ ‎∵y=是增函数,‎ ‎∴的解集为:(0,1).‎ 故答案为:(0,1).‎ ‎【点评】本题考查指数不等式的解法,指数函数的单调性的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是  (结果用最简分数表示).‎ ‎【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,选择的3天恰好为连续3天的概率,须先求在10天中随机选择3天的情况,‎ 再求选择的3天恰好为连续3天的情况,即可得到答案.‎ ‎【解答】解:在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况,‎ 其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种,分别是(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),‎ ‎(5,6,7),(6,7,8),(7,8,9),(8,9,10),‎ ‎∴选择的3天恰好为连续3天的概率是,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式,属基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.(4分)已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b= ﹣1 .‎ ‎【分析】根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:根据集合相等的条件可知,若{a,b}={a2,b2},‎ 则①或②,‎ 由①得,‎ ‎∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,即a=1,b=1,此时集合{1,1}不满足条件.‎ 若b=a2,a=b2,则两式相减得a2﹣b2=b﹣a,‎ ‎∵互异的复数a,b,‎ ‎∴b﹣a≠0,即a+b=﹣1,‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】本题主要考查集合相等的应用,根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键,注意要进行分类讨论.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=  .‎ ‎【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简,画出函数y=2sin(x+)的图象,方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在[0,2π]上,当a=时,直线与三角函数图象恰有三个交点,进而求得此时x1,x2,x3最后相加即可.‎ ‎【解答】解:sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+)=a,‎ 如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在[0,2π]上,当a=时,直线与三角函数图象恰有三个交点,‎ 令sin(x+)=,x+=2kπ+,即x=2kπ,或x+=2kπ+,即x=2kπ+,‎ ‎∴此时x1=0,x2=,x3=2π,‎ ‎∴x1+x2+x3=0++2π=.‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质.运用了数形结合的思想,较为直观的解决问题.‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分,若E(ξ)=4.2,则小白得5分的概率至少为 0.2 .‎ ‎【分析】设小白得5分的概率至少为x,则由题意知小白得4分的概率为1﹣x,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:设小白得5分的概率至少为x,‎ 则由题意知小白得1,2,3,4分的概率为1﹣x,‎ ‎∵某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分,‎ E(ξ)=4.2,‎ ‎∴4(1﹣x)+5x=4.2,‎ 解得x=0.2.‎ 故答案为:0.2.‎ ‎【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意离散型随机变量的数学期望的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)已知曲线C:x=﹣,直线l:x=6,若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为 [2,3] .‎ ‎【分析】通过曲线方程判断曲线特征,通过+=,说明A是PQ的中点,结合x的范围,求出m的范围即可.‎ ‎【解答】解:曲线C:x=﹣,是以原点为圆心,2 为半径的圆,并且xP∈[﹣2,0],‎ 对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,‎ 说明A是PQ的中点,Q的横坐标x=6,‎ ‎∴m=∈[2,3].‎ 故答案为:[2,3].‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系,函数思想的应用,考查计算能力以及转化思想.‎ ‎ ‎ 二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分 ‎15.(5分)设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的(  )‎ A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 ‎【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判定.‎ ‎【解答】解:当a=5,b=0时,满足a+b>4,但a>2且b>2不成立,即充分性不成立,‎ 若a>2且b>2,则必有a+b>4,即必要性成立,‎ 故“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,比较基础.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…8)是上底面上其余的八个点,则•(i=1,2,…,8)的不同值的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【分析】建立空适当的间直角坐标系,利用坐标计算可得答案.‎ ‎【解答】解:=,‎ 则•=()=||2+,‎ ‎∵,‎ ‎∴•=||2=1,‎ ‎∴•(i=1,2,…,8)的不同值的个数为1,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积运算,建立恰当的坐标系,运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段.‎ ‎ ‎ ‎17.(5分)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是(  )‎ A.无论k,P1,P2如何,总是无解 B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解 C.存在k,P1,P2,使之恰有两解 D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解 ‎【分析】判断直线的斜率存在,通过点在直线上,推出a1,b1,P2,a2,b2的关系,然后求解方程组的解即可.‎ ‎【解答】解:P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+1的斜率存在,‎ ‎∴k=,即a1≠a2,并且b1=ka1+1,b2=ka2+1,∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1‎ ‎,‎ ‎①×b2﹣②×b1得:(a1b2﹣a2b1)x=b2﹣b1,‎ 即(a1﹣a2)x=b2﹣b1.‎ ‎∴方程组有唯一解.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查一次函数根与系数的关系,直线的斜率的求法,方程组的解和指数的应用.‎ ‎ ‎ ‎18.(5分)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为(  )‎ A.[﹣1,2] B.[﹣1,0] C.[1,2] D.[0,2]‎ ‎【分析】当a<0时,显然f(0)不是f(x)的最小值,当a≥0时,解不等式:a2﹣a﹣2≤0,得﹣1≤a≤2,问题解决.‎ ‎【解答】解;当a<0时,显然f(0)不是f(x)的最小值,‎ 当a≥0时,f(0)=a2,‎ 由题意得:a2≤x++a,‎ 解不等式:a2﹣a﹣2≤0,得﹣1≤a≤2,‎ ‎∴0≤a≤2,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考察了分段函数的问题,基本不等式的应用,渗透了分类讨论思想,是一道基础题.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共5题,满分72分)‎ ‎19.(12分)底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.‎ ‎【分析】利用侧面展开图三点共线,判断△P1P2P3是等边三角形,然后求出边长,利用正四面体的体积求出几何体的体积.‎ ‎【解答】解:根据题意可得:P1,B,P2共线,∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2,∠ABC=60°,‎ ‎∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°,‎ ‎∴∠P1=60°,同理∠P2=∠P3=60°,‎ ‎∴△P1P2P3是等边三角形,P﹣ABC是正四面体,‎ ‎∴△P1P2P3的边长为4,‎ VP﹣ABC==‎ ‎【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力,几何体的侧面展开图和体积的求法.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)设常数a≥0,函数f(x)=.‎ ‎(1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数y=f﹣1(x);‎ ‎(2)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.‎ ‎【分析】(1)根据反函数的定义,即可求出,‎ ‎(2)利用分类讨论的思想,若为偶函数求出a的值,若为奇函数,求出a的值,问题得以解决.‎ ‎【解答】解:(1)∵a=4,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴调换x,y的位置可得,x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).‎ ‎(2)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(﹣x)对任意x均成立,‎ ‎∴=,整理可得a(2x﹣2﹣x)=0.‎ ‎∵2x﹣2﹣x不恒为0,‎ ‎∴a=0,此时f(x)=1,x∈R,满足条件;‎ 若f(x)为奇函数,则f(x)=﹣f(﹣x)对任意x均成立,‎ ‎∴=﹣,整理可得a2﹣1=0,‎ ‎∴a=±1,‎ ‎∵a≥0,‎ ‎∴a=1,‎ 此时f(x)=,满足条件;‎ 当a>0且a≠1时,f(x)为非奇非偶函数 综上所述,a=0时,f(x)是偶函数,a=1时,f(x)是奇函数.当a>0且a≠‎ ‎1时,f(x)为非奇非偶函数 ‎【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性,利用了分类讨论的思想,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为α和β.‎ ‎(1)设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?‎ ‎(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD的长(结果精确到0.01米).‎ ‎【分析】(1)设CD的长为x,利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.‎ ‎(2)利用正弦定理,建立方程关系,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)设CD的长为x米,则tanα=,tanβ=,‎ ‎∵0,‎ ‎∴tanα≥tan2β>0,‎ ‎∴tan,‎ 即=,‎ 解得0≈28.28,‎ 即CD的长至多为28.28米.‎ ‎(2)设DB=a,DA=b,CD=m,‎ 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°,‎ 由正弦定理得,‎ 即a=,‎ ‎∴m=≈26.93,‎ 答:CD的长为26.93米.‎ ‎【点评】本题主要考查解三角形的应用问题,利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(16分)在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1,y1),P2(x2,y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若η<0,则称点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.‎ ‎(1)求证:点A(1,2),B(﹣1,0)被直线x+y﹣1=0分隔;‎ ‎(2)若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;‎ ‎(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为曲线E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分隔线.‎ ‎【分析】(1)把A、B两点的坐标代入η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),再根据η<0,得出结论.‎ ‎(2)联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 (1﹣4k2)x2=1,根据此方程无解,可得1﹣4k2≤0,从而求得k的范围.‎ ‎(3)设点M(x,y),与条件求得曲线E的方程为[x2+(y﹣2)2]x2=1 ①.由于y轴为x=0,显然与方程①联立无解.把P1、P2的坐标代入x=0,由η=1×(﹣1)=﹣1<0,可得x=0是一条分隔线.‎ ‎【解答】(1)证明:把点(1,2)、(﹣1,0)分别代入x+y﹣1 可得(1+2﹣1)(﹣1﹣1)=﹣4<0,‎ ‎∴点(1,2)、(﹣1,0)被直线 x+y﹣1=0分隔.‎ ‎(2)解:联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得 (1﹣4k2)x2=1,根据题意,此方程无解,故有 1﹣4k2≤0,‎ ‎∴k≤﹣,或 k≥.‎ 曲线上有两个点(﹣1,0)和(1,0)被直线y=kx分隔.‎ ‎(3)证明:设点M(x,y),则 •|x|=1,故曲线E的方程为[x2+(y﹣2)2]x2=1 ①.‎ y轴为x=0,显然与方程①联立无解.‎ 又P1(1,2)、P2(﹣1,2)为E上的两个点,且代入x=0,有 η=1×(﹣1)=﹣1<0,‎ 故x=0是一条分隔线.‎ 若过原点的直线不是y轴,设为y=kx,代入[x2+(y﹣2)2]x2=1,可得[x2+(kx﹣2)2]x2=1,‎ 令f(x)=[x2+(kx﹣2)2]x2﹣1,‎ ‎∵k≠2,f(0)f(1)=﹣(k﹣2)2<0,∴f(x)=0没有实数解,‎ k=2,f(x)=[x2+(2x﹣2)2]x2﹣1=0没有实数解,‎ 即y=kx与E有公共点,‎ ‎∴y=kx不是E的分隔线.‎ ‎∴通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分隔线.‎ ‎【点评】本题主要考查新定义,直线的一般式方程,求点的轨迹方程,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎23.(16分)已知数列{an}满足an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.‎ ‎(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;‎ ‎(2)设{an}是公比为q的等比数列,Sn=a1+a2+…an,若Sn≤Sn+1≤3Sn,n∈N*,求q的取值范围.‎ ‎(3)若a1,a2,…ak成等差数列,且a1+a2+…ak=1000,求正整数k的最大值,以及k取最大值时相应数列a1,a2,…ak的公差.‎ ‎【分析】(1)依题意:,又将已知代入求出x的范围;‎ ‎(2)先求出通项:,由求出,对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn,得到关于q的不等式组,解不等式组求出q的范围.‎ ‎(3)依题意得到关于k的不等式,得出k的最大值,并得出k取最大值时a1,a2,…ak的公差.‎ ‎【解答】解:(1)依题意:,‎ ‎∴;又 ‎∴3≤x≤27,‎ 综上可得:3≤x≤6‎ ‎(2)由已知得,,,‎ ‎∴,‎ 当q=1时,Sn=n,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,成立.‎ 当1<q≤3时,,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,‎ ‎∴‎ 不等式 ‎∵q>1,故3qn+1﹣qn﹣2=qn(3q﹣1)﹣2>2qn﹣2>0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0,令n=1,‎ 得q2﹣3q+2≤0,‎ 解得1≤q≤2,又当1≤q≤2,q﹣3<0,‎ ‎∴qn+1﹣3qn+2=qn(q﹣3)+2≤q(q﹣3)+2=(q﹣1)(q﹣2)≤0成立,‎ ‎∴1<q≤2,‎ 当时,‎ ‎,Sn≤Sn+1≤3Sn,即,‎ ‎∴此不等式即,‎ ‎3q﹣1>0,q﹣3<0,‎ ‎3qn+1﹣qn﹣2=qn(3q﹣1)﹣2<2qn﹣2<0,‎ qn+1﹣3qn+2=qn(q﹣3)+2≥q(q﹣3)+2=(q﹣1)(q﹣2)>0‎ ‎∴时,不等式恒成立,‎ 上,q的取值范围为:.‎ ‎(3)设a1,a2,…ak的公差为d.由,且a1=1,‎ 得 即 当n=1时,﹣≤d≤2;‎ 当n=2,3,…,k﹣1时,由,得d≥,‎ 所以d≥,‎ 所以1000=k,即k2﹣2000k+1000≤0,‎ 得k≤1999‎ 所以k的最大值为1999,k=1999时,a1,a2,…ak的公差为﹣.‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法;考查不等式组的解法;找好分类讨论的起点是解决本题的关键,属于一道难题.‎ ‎ ‎
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