2014年天津市高考数学试卷（理科）

2014年天津市高考数学试卷（理科）

‎2014年天津市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分）‎ ‎1．（5分）i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（　　）‎ A．15 B．105 C．245 D．945‎ ‎4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：‎ ‎①BD平分∠CBF；‎ ‎②FB2=FD•FA；‎ ‎③AE•CE=BE•DE；‎ ‎④AF•BD=AB•BF．‎ 所有正确结论的序号是（　　）‎ A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④‎ ‎7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取　 　名学生．‎ ‎10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　 　m3．‎ ‎11．（5分）设{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为　 　．‎ ‎12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为　 　．‎ ‎13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为　 　．‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．‎ ‎16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．‎ ‎（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；‎ ‎（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：BE⊥DC；‎ ‎（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．‎ ‎18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．‎ ‎19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．‎ ‎（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；‎ ‎（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈‎ M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．‎ ‎20．（14分）设f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．‎ ‎（Ⅰ）求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；‎ ‎（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．‎ ‎　‎ ‎2014年天津市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分）‎ ‎1．（5分）i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i ‎【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．‎ ‎【解答】解：复数==，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式对应的平面区域，‎ 由z=x+2y，得y=﹣，‎ 平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．‎ 此时z的最小值为z=1+2×1=3，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（　　）‎ A．15 B．105 C．245 D．945‎ ‎【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，‎ ‎∵跳出循环的i值为4，‎ ‎∴输出S=1×3×5×7=105．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（　　）‎ A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）‎ ‎【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 上的减区间．‎ ‎【解答】解：令t=x2﹣4＞0，可得 x＞2，或 x＜﹣2，‎ 故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），‎ 当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，‎ 所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，‎ 令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，‎ ‎∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，‎ ‎∴=2，‎ ‎∵c2=a2+b2，‎ ‎∴a2=5，b2=20，‎ ‎∴双曲线的方程为﹣=1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：‎ ‎①BD平分∠CBF；‎ ‎②FB2=FD•FA；‎ ‎③AE•CE=BE•DE；‎ ‎④AF•BD=AB•BF．‎ 所有正确结论的序号是（　　）‎ A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④‎ ‎【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．‎ ‎【解答】解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，‎ ‎∴∠DBC=∠DAC．‎ ‎∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，‎ ‎∴∠FBD=∠BAF．‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠BAF=∠DAC．‎ ‎∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．‎ 又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．‎ 由，FB2=FD•FA．即结论②成立．‎ 由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．‎ 正确结论有①②④．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【分析】‎ 根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．‎ ‎【解答】解：若a＞b，‎ ‎①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．‎ ‎②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．‎ ‎③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．‎ 若a|a|＞b|b|，‎ ‎①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．‎ ‎②当a＞0，b＜0时，a＞b．‎ ‎③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，‎ 综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质 结合分类讨论是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++ ‎ ‎=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°‎ ‎=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，‎ ‎∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．‎ ‎•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）‎ ‎=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，‎ 即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．‎ 由①②求得λ+μ=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取　60　名学生．‎ ‎【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．‎ ‎【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，‎ 故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，‎ 故答案为：60．‎ ‎【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为　　m3．‎ ‎【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，‎ 其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，‎ ‎∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为　﹣　．‎ ‎【分析】由条件求得，Sn=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得 =S1•S4，由此求得a1的值．‎ ‎【解答】解：由题意可得，an=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，Sn==，‎ 再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得 =S1•S4，即 =a1•（4a1﹣6），‎ 解得 a1=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为　﹣　．‎ ‎【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA= 的值．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，‎ ‎∵b﹣c=a ①，2sinB=3sinC，‎ ‎∴2b=3c ②，‎ ‎∴由①②可得a=2c，b=．‎ 再由余弦定理可得 cosA===﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为　3　．‎ ‎【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．‎ ‎【解答】解：直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，‎ 即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，‎ ‎∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），‎ 代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，‎ ‎∵a＞0，∴a=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出B的坐标是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　（0，1）∪（9，+∞）　．‎ ‎【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，‎ 作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，‎ 当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，‎ 则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，‎ 当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），‎ 当直线和抛物线相切时，有三个零点，‎ 此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），‎ 即x2+（3﹣a）x+a=0，‎ 则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，‎ 当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，‎ 要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，‎ 若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，‎ 此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，‎ 即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，‎ 则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，‎ 综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），‎ 方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，‎ 若x=1，则4=0不成立，‎ 故x≠1，‎ 则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，‎ 设g（x）=x﹣1++5，‎ 当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，‎ 当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，‎ 则|g（x）|的图象如图：‎ 若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，‎ 则满足a＞9或0＜a＜1，‎ 故答案为：（0，1）∪（9，+∞）‎ ‎【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinxcosx）‎ ‎= ‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 所以，f（x）的最小正周期=π．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，‎ 由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，‎ ‎∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：，‎ 当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，‎ 所以，所求的最大值为，最小值为．‎ ‎【点评】本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．‎ ‎（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；‎ ‎（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；‎ ‎（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，‎ 则，‎ 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．‎ ‎（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）‎ 所以随机变量X的分布列是 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 随机变量X的数学期望．‎ ‎【点评】本题考查古典概型及其概率公式，互斥事件，离散型随机变量的分布列与数学期望，考查应用概率解决实际问题的能力．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：BE⊥DC；‎ ‎（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．‎ ‎【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；‎ ‎（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，‎ 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．‎ ‎∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）‎ ‎∴=（0，1，1），=（2，0，0）‎ ‎∵•=0，‎ ‎∴BE⊥DC；‎ ‎（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），‎ 设平面PBD的法向量=（x，y，z），‎ 由，得，‎ 令y=1，则=（2，1，1），‎ 则直线BE与平面PBD所成角θ满足：‎ sinθ===，‎ 故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．‎ ‎（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），‎ 由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），‎ 故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），‎ 由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，‎ 解得λ=，‎ 即=（﹣，，），‎ 设平面FBA的法向量为=（a，b，c），‎ 由，得 令c=1，则=（0，﹣3，1），‎ 取平面ABP的法向量=（0，1，0），‎ 则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：‎ cosα===，‎ 故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：‎ ‎【点评】本题考查的知识点是空间二面角的平面角，建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），‎ 由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．‎ 又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．‎ ‎∴e=．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．‎ 设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．‎ ‎∵，‎ ‎∴=c（x0+c）+cy0=0，‎ ‎∴x0+y0+c=0，‎ ‎∵点P在椭圆上，∴．‎ 联立，化为=0，‎ ‎∵x0≠0，∴，‎ 代入x0+y0+c=0，可得．‎ ‎∴P．‎ 设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．‎ ‎∴T，‎ ‎∴圆的半径r==．‎ 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y=kx．‎ ‎∵直线l与圆相切，‎ ‎∴，‎ 整理得k2﹣8k+1=0，解得．‎ ‎∴直线l的斜率为．‎ ‎【点评】‎ 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．‎ ‎（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；‎ ‎（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：若an＜bn，则s＜t．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．‎ ‎（Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，可得an﹣bn≤﹣1．‎ 由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（an﹣1﹣bn﹣1）qn﹣2+（an﹣bn）qn﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）qn﹣2﹣qn﹣1‎ 再利用等比数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，‎ M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，xi∈M，i=1，2，3}．‎ 可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．‎ ‎（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（an﹣1﹣bn﹣1）qn﹣2+（an﹣bn）qn﹣1‎ ‎≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）qn﹣2﹣qn﹣1‎ ‎=（q﹣1）（1+q+…+qn﹣2）﹣qn﹣1‎ ‎=﹣qn﹣1‎ ‎=﹣1＜0．‎ ‎∴s＜t．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）设f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．‎ ‎（Ⅰ）求a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）证明：随着a的减小而增大；‎ ‎（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．‎ ‎【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）由f（x）=0，得a=，设g（x）=，判定g（x）的单调性即得证；‎ ‎（Ⅲ）由于x1=a，x2=a，则x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，令=t，整理得到x1+x2=，令h（x）=，x∈（1，+∞），得到h（x）在（1，+∞）上是增函数，故得到x1+x2随着t的减小而增大．再由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，即得证．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣aex，∴f′（x）=1﹣aex；‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎①a≤0时，f′（x）＞0在R上恒成立，∴f（x）在R上是增函数，不合题意；‎ ‎②a＞0时，由f′（x）=0，得x=﹣lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，﹣lna）‎ ‎﹣lna ‎（﹣lna，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ f（x）‎ 递增 极大值﹣lna﹣1‎ 递减 ‎∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣lna），减区间是（﹣lna，+∞）；‎ ‎∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：‎ ‎①f（﹣lna）＞0；‎ ‎②存在s1∈（﹣∞，﹣lna），满足f（s1）＜0；‎ ‎③存在s2∈（﹣lna，+∞），满足f（s2）＜0；‎ 由f（﹣lna）＞0，即﹣lna﹣1＞0，解得0＜a＜e﹣1；‎ 取s1=0，满足s1∈（﹣∞，﹣lna），且f（s1）=﹣a＜0，‎ 取s2=+ln，满足s2∈（﹣lna，+∞），且f（s2）=（﹣）+（ln﹣）＜0；‎ ‎∴a的取值范围是（0，e﹣1）．‎ ‎（Ⅱ）证明：由f（x）=x﹣aex=0，得a=，‎ 设g（x）=，由g′（x）=，得g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，‎ 并且当x∈（﹣∞，0）时，g（x）≤0，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥0，‎ x1、x2满足a=g（x1），a=g（x2），a∈（0，e﹣1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；‎ 对于任意的a1、a2∈（0，e﹣1），设a1＞a2，g（X1）=g（X2）=a1，其中0＜X1＜1＜X2；‎ g（Y1）=g（Y2）=a2，其中0＜Y1＜1＜Y2；‎ ‎∵g（x）在（0，1）上是增函数，∴由a1＞a2，得g（Xi）＞g（Yi），可得X1＞Y1；类似可得X2＜Y2；‎ 又由X、Y＞0，得＜＜；∴随着a的减小而增大；‎ ‎（Ⅲ）证明：∵x1=a，x2=a，∴lnx1=lna+x1，lnx2=lna+x2；‎ ‎∴x2﹣x1=lnx2﹣lnx1=ln，设=t，则t＞1，‎ ‎∴，解得x1=，x2=，‎ ‎∴x1+x2=…①；‎ 令h（x）=，x∈（1，+∞），则h′（x）=；‎ 令u（x）=﹣2lnx+x﹣，得u′（x）=，当x∈（1，+∞）时，u′（x）＞0，‎ ‎∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴对任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，‎ ‎∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是增函数；‎ ‎∴由①得x1+x2随着t的增大而增大．‎ 由（Ⅱ）知，t随着a的减小而增大，‎ ‎∴x1+x2随着a的减小而增大．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了函数思想、化归思想、抽象概括能力和分析问题、解决问题的能力，是综合型题目．‎ ‎　‎