四川省遂宁市射洪县射洪中学等2020届高三上学期第四次大联考数学（理）试题 Word版含解析

四川省遂宁市射洪县射洪中学等2020届高三上学期第四次大联考数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020届高三毕业班第四次大联考数学试题 一、选择题 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算集合，再计算得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 故.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题型.‎ ‎2.为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简复数z，根据实部与虚部即可判断对应的点所在象限.‎ 详解】1i，在复平面内的对应点位 （1，1），‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，化简复数为1i，是解题的关键．‎ ‎3.下列命题是真命题的是（ ）.‎ A. 命题 B. 命题“若成等比数列，则”的逆命题为真命题 C. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；‎ - 22 -‎ D. “命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断已知四个命题的真假，可得答案．‎ ‎【详解】A. 命题，则，所以A错误；‎ B. 命题“若成等比数列，则”的逆命题为“若，则成等比数列”是错误的，所以B错误；‎ C. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”是正确的，所以C正确；‎ D. “命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以D错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及含有量词的命题的否定，必要不充分条件的判断，复合命题真假的判断，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大，属于基础题．‎ ‎4.二项式的展开式中第项是常数项，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项公式，得第7项x的指数，利用指数为零，求出n的值．‎ ‎【详解】二项式的展开式中第项为 ‎ ，‎ 由于第7项为常数项，则n﹣9＝0，解得n＝9‎ 故选B．‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式的通项公式的理解与应用，属于基础题．‎ ‎5.已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）.‎ A. B. 9 C. 5 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值.‎ ‎【详解】定点为,‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 即时取得最小值.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.‎ ‎6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为（ ）‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 执行程序框图：‎ 输入，是 ‎，是，;‎ ‎，是，;‎ ‎，是，;‎ ‎，否，输出.‎ 故选D.‎ ‎7.函数图象的大致形状是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数在内正负情况，即可排除所有错误选项.‎ ‎【详解】‎ 则，是偶函数，排除B、D.‎ 当时，即，排除A.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】解复杂函数的图像问题，一般采取排除法.利用单调性，奇偶性，极值，以及函数值的正负进行判断.‎ ‎8.已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据三视图作出原几何体（四棱锥）的直观图如下：‎ - 22 -‎ 可计算，故该几何体的最大边长为.‎ 点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎9.已知函数，若在上随机取一个实数，则的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得到x＞0，再利用几何概型概率公式求解.‎ ‎【详解】由题得 所以x≥0，‎ 由几何概型的概率公式得的概率为.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查对数不等式的解法和几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为,则的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 设三个角分别为，，，由正弦定理可得，利用两角和差 的正弦公式化为，利用单调性求出它的值域．‎ ‎【详解】钝角三角形三内角、、的度数成等差数列，则，，‎ 可设三个角分别为，，．‎ 故．‎ 又，．‎ 令，且，‎ 则 因为函数在，上是增函数，‎ ‎，‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式，利用单调性求函数的值域，得到，是解题的关键和难点．‎ ‎11.椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，F1A与y轴相交于点D，若BD⊥F1A，则椭圆C的离心率等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 由题意可得，的坐标，且知点为的中点，再由，利用斜率之积等于列式求解．‎ ‎【详解】由题意可得，，，‎ 则点为的中点，，‎ 由，得，‎ 即，整理得，‎ ‎，‎ ‎∴‎ 解得．‎ 故选．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．‎ ‎12.已知函数，函数g（x）＝x2，若函数y＝f（x）﹣g（x）有4个零点，则实数的取值范围为（　　）‎ A. （5，+∞） B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为是分段函数，新函数的零点问题也需要分段研究，每一段上的零点个数加成总和即为函数的零点个数.‎ ‎【详解】分段讨论：当时，与有两个交点，两个零点.‎ 要使有4个零点,‎ - 22 -‎ 则当时与有两个交点即可（如图）.‎ 过点作的切线，设切点为,‎ 则，即切线方程为,‎ 把点代入切线方程，得或,‎ 又，则，‎ 又，解得，‎ 所以实数的取值范围是 故选B.‎ ‎【点睛】分段函数一定要分段研究，不同的取值范围对应不同的解析式．在二次函数与一次函数相交的问题中，巧妙利用图像法可有效解决问题.‎ 二、填空题 ‎13.曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求处的导数，再根据切线公式求切线方程.‎ - 22 -‎ ‎【详解】解析：，在点（1，1）处的切线斜率为，所以切线方程为.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.‎ ‎14.已知抛物线的准线与圆相切，则的值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 抛物线的准线为，与圆相切，则，．‎ ‎15.已知三棱锥满足平面平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定球心就是的外心，再利用正弦定理得到，计算表面积得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以的外心为斜边的中点，‎ 因为平面平面，所以三棱锥的外接球球心在平面上，‎ 即球心就是的外心，根据正弦定理，解得，‎ 所以外接球的表面积为.‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心为的外心是解题的关键.‎ ‎16.的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，有下列结论：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③，时，的面积为；‎ ‎④当时，为钝角三角形.‎ 其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号）‎ - 22 -‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】，∴，‎ 故可设，，，.，∴，‎ 则，当时，，故为钝角三角形.‎ 面，‎ 又，∴.‎ ‎，∴，即，∴.当，时，的面积为，故四个结论中，只有③不正确.填①②④．‎ ‎【点睛】解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧．‎ 三、解答题 ‎17.已知是等差数列，是等比数列，且，，，. ‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1‎ - 22 -‎ ‎）由已知求得等比数列的公比，进一步求出首项，则等比数列的通项公式可求，再求得等差数列的首项与公差，可得等差数列的通项公式；（2）直接利用数列的分组求和求解．‎ ‎【详解】（1），‎ ‎∴即 ‎，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和的求法，考查了分组求和的应用，是基础的计算题．‎ ‎18.的内角，，的对边分别为，，，已知 ‎（1）求角；‎ ‎（2）若是边的中点，.求的长；‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）或7；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据正弦定理边角互化，得到，由 - 22 -‎ ‎，代入化简，最后得到求角；（2）首先在中，根据余弦定理求，然后在中再利用余弦定理求边.‎ ‎【详解】（1），‎ 由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（2）在中，由余弦定理得 ‎ ‎ ‎，‎ 或，‎ 当时，‎ 中，由余弦定理得 ‎，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 或.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题型，一般在含有边和角的等式中，可根据正弦定理的边角互化公式转化为三角函数恒等变形问题.‎ ‎19.如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过面面垂直的判定转化为线面垂直，进而转化为线线垂直从而证明;‎ ‎(2)建立空间直角坐标系，利用法向量计算即可.‎ ‎【详解】证明：（1）取中点，连结，‎ ‎∵，∴， ，‎ ‎∵平面，平面平面，‎ 平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，∴，‎ 又，‎ ‎∴四边形是平行四边形，∴，‎ ‎∵是等边三角形，∴，‎ ‎∵平面，平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，∴平面，‎ ‎∵平面，∴平面平面．‎ - 22 -‎ 解：（2）由（1）得平面，∴，‎ 又，‎ 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 平面的一个法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ 则，取，得，‎ 设平面与平面所成锐二面角的平面角为，‎ 则．‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力及计算能力,难度不大.建立合适的空间直角坐标系是解决本题的关键.‎ ‎20.某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：）：男生成绩在175以上（包括175）定义为“合格”，成绩在175以下（不包括175）定义为“不合格”．女生成绩在165以上（包括165）定义为“合格”，成绩在165以下（不包括165）定义为“不合格”．‎ - 22 -‎ ‎(1)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；‎ ‎(2)在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；‎ ‎(3)若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用表示其中男生的人数，写出的分布列，并求的数学期望．‎ ‎【答案】(1)166.5cm (2) (3)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)按照中位数的定义，可以根据茎叶图得到五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；‎ ‎(2) 男生中任意选取3人，至少有2人的成绩是合格，包括两个事件：一个为事件 ：“仅有两人的成绩合格”，另一个为事件 ：“有三人的成绩合格”，所以至少有两人的成绩是合格的概率：，分别求出，最后求出；‎ ‎(3) 因为合格的人共有18人，其中有女生有10人合格，男生有8人合格，依题意，的取值为0，1，2，分别求出的值，最后列出的分布列和计算出的数学期望.‎ ‎【详解】解：(1)由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为 ‎ ‎(2)设“仅有两人的成绩合格”为事件，“有三人的成绩合格”为事件，‎ 至少有两人的成绩是合格的概率：，‎ 又男生共12人，其中有8人合格，从而，‎ ‎，所以． ‎ ‎(3)因为合格的人共有18人，其中有女生有10人合格，男生有8人合格，‎ 依题意，的取值为0，1，2，‎ - 22 -‎ 则 ，‎ 因此，X的分布列如下：‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（人）．‎ 或是，因为服从超几何分布，所以（人）．‎ ‎【点睛】本题考查了根据茎叶图求数据的中位数、概率、随机变量分布列、计算数学期望，考查了数学运算能力.‎ ‎21.已知函数，‎ ‎（1）讨论在上的单调性.‎ ‎（2）当时，若在上的最大值为，讨论：函数在内的零点个数.‎ ‎【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；（2）个零点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得，根据范围可知，进而通过对 - 22 -‎ 的正负的讨论得到函数单调性；‎ ‎（2）由（1）可得函数在上的单调性，进而利用最大值构造方程求得，得到函数解析式；利用单调性和零点存在定理可确定在上有个零点；令，求导后，可确定在上存在零点，从而得到的单调性，通过单调性和零点存在定理可确定零点个数.‎ ‎【详解】（1）‎ 当时，‎ 当，时，；当，时，‎ 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减 ‎（2）由（1）知，当时，在上单调递增 ‎，解得：‎ ‎ ‎ 在上单调递增，，‎ 在内有且仅有个零点 令，‎ 当时，，， ‎ - 22 -‎ 在内单调递减 又，‎ ‎，使得 当时，，即；当时，，即 在上单调递增，在上单调递减 ‎ 在上无零点且 又 在上有且仅有个零点 综上所述：在上共有个零点 ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调性的讨论、函数在区间内零点个数的讨论；讨论函数零点个数通常采用零点存在定理来确定零点所在区间，需注意的是，若用零点存在定理说明零点个数，一定要结合单调性来确定零点的个数.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）:,:（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）消去得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，化简得到，利用韦达定理计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程为（其中为参数），消去可得；‎ 由，得，则曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，得，‎ 设对应的参数分别为，则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.‎ ‎23.已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法化简为分段函数的形式，由此解不等式，求得不等式的解集.‎ ‎（2）根据（1）结论可知当时，，将不等式的解集包含 - 22 -‎ 的问题，转化为在上恒成立来解决，利用二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1），当时，．‎ ‎，或或，‎ 或或，， ‎ ‎∴不等式解集为；‎ ‎（2）由（1）知，当时，．‎ ‎∵不等式的解集包含，‎ 在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎∴，，‎ ‎∴的取值范围为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题求解策略，属于中档题.‎ - 22 -‎ ‎ ‎ - 22 -‎