高考理科数学复习练习作业50

高考理科数学复习练习作业50

专题层级快练(五十)‎ ‎1．(2017·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为(　　)‎ A．64π　　　　　　　　　 B．32π C．16π D．8π 答案　A 解析　如图，作PM⊥平面ABC于点M，则球心O在PM上，PM＝6，连接AM，AO，则OP＝OA＝R(R为外接球半径)，在Rt△OAM中，OM＝6－R，OA＝R，又AB＝6，且△ABC为等边三角形，故AM＝＝2，则R2－(6－R)2＝(2)2，则R＝4，所以球的表面积S＝4πR2＝64π.‎ ‎2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是(　　)‎ A．16π B．20π C．24π D．32π 答案　C 解析　由V＝Sh，得S＝4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R＝＝.所以球的表面积为S＝4πR2＝24π.故选C.‎ ‎3．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，若这个长方体的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为(　　)‎ A.π B．56π C．14π D．64π 答案　C 解析　设长方体长、宽、高分别为a，b，c，不妨取ab＝2，bc＝3，ac＝6，长方体的体对角线长为.‎ 而由得∴球的直径d＝＝.∴r＝＝.‎ ‎∴S球＝4πr2＝4π×＝14π.‎ ‎4．若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是(　　)‎ A．8π B．6π C．4π D．π 答案　C 解析　设正方体的棱长为a，则a3＝8.‎ 因此内切球直径为2，∴S表＝4πr2＝4π.‎ ‎5．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的体积为(　　)‎ A．4π B.π C.π D．12π 答案　C 解析　如图所示，在△ABC中，根据余弦定理得BC＝，从而有AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，BC⊥AB.由于SA⊥平面ABC，所以SA⊥BC.因为AB∩SA＝A，所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥SB，所以△SBC是直角三角形．取SC的中点O′，连接O′A，O′B，则O′S＝O′B＝O′C.在Rt△SAC中，有O′A＝O′S＝O′C，所以点O′为此三棱锥外接球的球心，即O′与O重合．在Rt△SAC中，SC＝＝4，‎ 所以球的半径R＝SC＝2，球的体积V＝R3＝.‎ ‎6．(2012·课标全国Ⅰ)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　∵SC是球O的直径，∴∠CAS＝∠CBS＝90°.‎ ‎∵BA＝BC＝AB＝1，SC＝2，∴AS＝BS＝.‎ 取AB的中点D，显然AB⊥CD，AB⊥CS.‎ ‎∴AB⊥平面CSD.‎ 在△CDS中，CD＝，DS＝，SC＝2，利用余弦定理可得cos∠CDS＝＝－.故sin∠CDS＝.‎ ‎∴S△CDS＝×××＝，‎ ‎∴V＝VB－CDS＋VA－CDS ＝×S△CDS×BD＋S△CDS×AD ＝S△CDS×BA ‎ ＝××1＝.‎ ‎7.(2013·课标全国Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)‎ A. cm3　　　　　 B. cm3‎ C. cm3 D. cm3‎ 答案　A 解析　设球心为O，正方体上底面中心为A，上底面一边的中点为B，在Rt△OAB中，|OA|＝R－2，|AB|＝4，|OB|＝R，由R2＝(R－2)2＋42得R＝5，∴V球＝πR3＝π(cm3)．故选A.‎ ‎8．(2016·新课标全国Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A．4π B. C．6π D. 答案　B 解析　由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R＝，此时的体积最大，Vmax＝πR3＝×＝.‎ ‎9．(2017·郑州质检)四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E，F分别是棱AB，CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A．9π B．3π C．2π D．12π 答案　D 解析　该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为2，可知正方形ABCD对角线AC的长为2，可得正方形ABCD的边长a＝2，在△PAC中，PC＝＝2，球的半径R＝，∴S表＝4πR2＝4π×()2＝12π.‎ ‎10．(2017·洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 ‎(　　)‎ A．200π B．150π C．100π D．50π 答案　D 解析　由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径R满足2R＝＝5，所以该几何体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×()2＝50π，故选D.‎ ‎11．(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　B 解析　此几何体为一直三棱柱，底面是边长为6，8，10的直角三角形，侧棱为12，故其最大球的半径为底面直角三角形内切圆的半径，故其半径为r＝×(6＋8－10)＝2，‎ 故选B.‎ ‎12. (2017·张掖模拟)如图是一个空间几何体的三视图，该几何体的外接球的体积记为V1，俯视图绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体的体积记为V2，则V1∶V2＝(　　)‎ A．12 B．8 C．6 D．4 答案　D 解析　三视图复原的几何体如图，它是底面为等腰直角三角形，一条侧棱垂直底面的三棱锥，它的外接球，就是扩展为长方体的外接球，外接球的直径是2，则几何体的外接球的体积V1＝π×()3＝π，‎ V2＝2×(×12×1×π)＝π，所以V1∶V2＝π∶＝4.‎ ‎13．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________．‎ 答案　 解析　设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S1＝4··a2＝a2，‎ 其内切球半径为正四面体高的，即r＝·a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝.‎ ‎14．已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，则球O的表面积为________．‎ 答案　8π 解析　圆柱的底面圆的直径与母线长均为2，所以球的直径为＝＝2，即球半径为，所以球的表面积为4π×()2＝8π.‎ ‎15．(2017·衡水中学调研卷)已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．‎ 答案　 解析　先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P－ABC可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，‎ 且面ABC与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC的距离等于体对角线长的，故球心到截面ABC的距离为×2＝(或用等体积法：VP－ABC＝VA－PBC求解)．‎ ‎16. (2017·德州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．‎ 答案　　3π 解析　由三视图知该几何体是底面为1的正方形，高为1的四棱锥，故体积V＝×1×1×1＝，该几何体与棱长为1的正方体具有相同的外接球，外接球直径为，该球表面积S＝4π×()2＝3π，正方体、长方体的体对角线即为外接球的直径．‎ ‎1．(2014·陕西，理)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A. B．4π C．2π D. 答案　D 解析　因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r＝＝1，所以V球＝×13＝.故选D.‎ ‎2．(2017·人大附中模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，AB＝6，BC＝2，棱锥O－ABCD的体积为8，则球O的表面积为(　　)‎ A．8π B．16π C．32π D．64π 答案　D 解析　由题意可知矩形ABCD所在截面圆的半径r＝＝2，S矩形ABCD＝12.设球心O到平面ABCD的距离为h，则×12×h＝8，解得h＝2，∴R＝＝4，∴S球O＝4πR2＝64π.‎