高中数学必修4同步练习：平面向量数量积的物理背景及其含义

高中数学必修4同步练习：平面向量数量积的物理背景及其含义

必修四 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 一、选择题 ‎1、若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(　　)‎ A．2 B．‎4 C．6 D．12‎ ‎2、若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(‎2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(　　)‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎3、在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　)‎ A．－ B．‎0 C. D．3‎ ‎4、已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|‎2a－b|等于(　　)‎ A．0 B．‎2‎ C．4 D．8‎ ‎5、已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且‎3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(　　)‎ A. B．－ C．± D．1‎ ‎6、|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于(　　)‎ A．－3 B．－‎2 C．2 D．－1‎ 二、填空题 ‎7、已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．‎ ‎8、设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________.‎ ‎9、给出下列结论：‎ ‎①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.‎ 其中正确结论的序号是________．‎ ‎10、已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(‎2a＋b)的值为________．‎ 三、解答题 ‎11、设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝‎2m＋n与b＝2n－‎3m的夹角．‎ ‎12、已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量‎2a－b在向量a＋b方向上的投影．‎ ‎13、已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.‎ ‎14、已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；‎ ‎(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，‎ ‎∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.‎ ‎∴|a|＝6.]‎ ‎2、C　[由(‎2a＋b)·b＝0，得‎2a·b＋b2＝0，‎ 设a与b的夹角为θ，‎ ‎∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.‎ ‎∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.]‎ ‎3、A　[a·b＝·＝－·＝－||||cos 60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，‎ ‎∴a·b＋b·c＋c·a＝－.]‎ ‎4、B　[|‎2a－b|2＝(‎2a－b)2＝4|a|2－‎4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|‎2a－b|＝2.]‎ ‎5、A　[∵(‎3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.‎ ‎∴λ＝.]‎ ‎6、D　[a在b方向上的投影是 ‎|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.]‎ 二、填空题 ‎7、[0,1]‎ 解析　b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，‎ ‎∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，‎ ‎∴0≤|b|≤1.‎ ‎8、120°‎ 解析　∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋‎2a·b＋b2.‎ 又|a|＝|b|＝|c|，∴‎2a·b＝－b2，‎ 即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.‎ ‎∴cos〈a，b〉＝－，‎ ‎∴〈a，b〉＝120°.‎ ‎9、④‎ 解析　因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；‎ 当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；‎ ‎④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]‎ ‎＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0.‎ ‎10、0‎ 解析　b·(‎2a＋b)＝‎2a·b＋|b|2‎ ‎＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.‎ 三、解答题 ‎11、解　∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，‎ ‎∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.‎ ‎|a|＝|‎2m＋n|＝＝＝ ＝，‎ ‎|b|＝|2n－‎3m|＝＝＝ ＝，‎ a·b＝(‎2m＋n)·(2n－‎3m)＝m·n－‎6m2‎＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.‎ 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.‎ 又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.‎ ‎12、解　(‎2a－b)·(a＋b)＝‎2a2＋‎2a·b－a·b－b2＝‎2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝.‎ ‎|a＋b|＝＝＝＝1.‎ ‎∴|‎2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉＝|‎2a－b|·＝＝.‎ ‎∴向量‎2a－b在向量a＋b方向上的投影为.‎ ‎13、解　a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.‎ ‎|a＋b|＝＝＝＝5.‎ ‎|a－b|＝＝＝＝5.‎ ‎14、解　(1)当a∥b时，若a与b同向，‎ 则a与b的夹角θ＝0°，‎ ‎∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12.‎ 若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，‎ ‎∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.‎ ‎(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，‎ ‎∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0.‎ ‎(3)当a与b的夹角为60°时，‎ ‎∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×＝6.‎