2020学年高一数学入学考试试题（含解析）

2020学年高一数学入学考试试题（含解析）

‎2019学年高一数学入学考试试题（含解析）‎ 一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. -1是1的（ ）‎ A. 倒数 B. 相反数 C. 绝对值 D. 立方根 ‎【答案】B 故选B.‎ ‎2. 下列各式的运算正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A.，故原题计算错误；‎ B. 和a不是同类项，不能合并，故原题计算错误；‎ C.=，故原题计算错误；‎ D. ，故原题计算正确；‎ 故选：D.‎ ‎3. 已知，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图,过P作PQ∥a，‎ - 16 -‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴PQ∥b，‎ ‎∴∠BPQ=∠2=，‎ ‎∵∠APB=，‎ ‎∴∠APQ=，‎ ‎∴∠3=−∠APQ=，‎ ‎∴∠1=，‎ 故选：D.‎ ‎4. 据媒体报道，我国因环境污染造成的巨大经济损失，每年高达6.8亿元，将6.8亿用科学记数法表示为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】6.8亿= 元。‎ 故选C.‎ ‎5. 积极行动起来，共建节约型社会！某居民小区200户居民参加了节水行动，现统计了10户家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下：‎ 节水量（单位：吨）‎ ‎0.5‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ 家庭数（户）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 请你估计该200户家庭这个月节约用水的总量是（ ）‎ - 16 -‎ A. 240吨 B. 360吨 C. 180吨 D. 200吨 ‎【答案】A ‎【解析】根据10户家庭一个月的节水情况可得,平均每户节水：‎ ‎(0.5×2+1×3+1.5×4+2×1)÷(2+3+4+1)=1.2(吨)‎ ‎∴200户家庭这个月节约用水的总量是：200×1.2=240(吨)‎ 故选A ‎6. 如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是（ ）‎ A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 ‎【答案】A ‎【解析】由题中所给出的主视图知物体共2列，且都是最高两层；由左视图知共行，所以小正方体的个数最少的几何体为：第一列第一行1个小正方体，第一列第二行2个小正方体，第二列第三行2个小正方体，其余位置没有小正方体。即组成这个几何体的小正方体的个数最少为：1+2+2=5个。‎ 故选A.‎ ‎7. 2015年某县总量为1000亿元，计划到2017年全县总量实现1210亿元的目标，如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年总量的年平均增长率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设该县这两年GDP总量的平均增长率为x，根据题意，‎ 得：1000=1210，‎ 解得：=−2.1(舍),=0.1=10%，‎ 即该县这两年GDP总量的平均增长率为10%，‎ 故选：C.‎ ‎8. 已知的三边长分别为4,4,6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画几条（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ - 16 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示：‎ 当AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形。‎ 故选B.‎ ‎9. 已知二次函数的图像如图所示，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图像是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由二次函数图象可知a>0，c>0，‎ 由对称轴x=>0，可知b<0，‎ 当x=1时，a+b+c<0，即b+c<0，‎ 所以正比例函数y=(b+c)x经过二四象限，‎ 反比例函数图象经过一三象限，‎ 故选C.‎ ‎10. 如图，在边长为2的菱形中，，点是边的中点，连接，将菱形翻折，使点落在线段上的点处，折痕交于点，则线段的长为（ ）‎ - 16 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示：过点M作MF⊥DC于点F，‎ ‎∵在边长为2的菱形ABCD中,∠A=，M为AD中点，‎ ‎∴2MD=AD=CD=2,∠FDM=，‎ ‎∴∠FMD=，‎ ‎∴FD=MD=，‎ ‎∴FM=DM×cos=，‎ ‎∴MC=‎ ‎∴EC=MC−ME=‎ 故选B 点睛：此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形，做题过程中大胆做辅助线，转换等角，构建直角三角形 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11. 函数的自变量的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，x+1⩾0，‎ 解得x⩾−1.‎ 故答案为：x⩾−1.‎ ‎12. 分解因式：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原式=-2(-4xy+4)=‎ - 16 -‎ 故答案为：‎ ‎.‎ ‎13. 如图，平行四边形中，，，以为直径的圆交于点，则弧的长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接OE，如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠D=∠B=，AD=BC=6，‎ ‎∴OA=OD=3，‎ ‎∵OD=OE，‎ ‎∴∠OED=∠D=，‎ ‎∴∠DOE=−2×=，‎ ‎∴弧DE的长==；‎ 故答案为 点睛：本题考查了弧长公式、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠DOE的度数是解决问题的关键．‎ ‎14. 如图，矩形中，，，为边的中点，点为边上两个动点，且，当四边形的周长最小时，__________．‎ ‎【答案】4‎ - 16 -‎ ‎【解析】如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点。‎ ‎∵GH=DF=6,EH=2+4=6,∠H=，‎ ‎∴∠GEH=.‎ 设BP=x，则CQ=BC−BP−PQ=8−x−2=6−x，‎ 在△CQE中,∵∠QCE=,∠CEQ=，‎ ‎∴CQ=EC，‎ ‎∴6−x=2，‎ 解得x=4.‎ 故答案为4.‎ 点睛：本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题的应用，大胆做辅助线，构建等角，直角三角形，难度较大 ‎ 三、解答题 （本大题共2小题，共16分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15. 计算：.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】试题分析：原式利用二次根式性质，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．‎ 试题解析：‎ 原式 ‎16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请解答下列问题：‎ ‎（1）画出关于轴对称的，并写出的坐标.‎ - 16 -‎ ‎（2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出的坐标.‎ ‎（3）画出和关于原点成中心对称的，并写出的坐标.‎ ‎【答案】(1) （2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）正确画出对称后的图形. ‎ ‎（2）正确画出旋转后的图形，‎ ‎（3）正确画出成中心对称的图形，‎ 点睛：此题了考查了作图-旋转变换，轴对称变换，熟练掌握旋转与轴对称的性质是解本题的关键，根据题意旋转图形，即很容易得解 四、（本大题共2小题，共16分.） ‎ ‎17. 小明和爸爸周末到湿地公园进行锻炼，两人上午9:00从公园入口出发，沿相同路线匀速运动，小明15分钟后到达目的地，此时爸爸离出发地的路程为1200米，小明到达目的地后立即按原路匀速返回，与爸爸相遇后，和爸爸一起从原路返回出发地.小明、爸爸在锻炼过程中离出发地的路程与小明出发的时间的函数关系如图.‎ - 16 -‎ ‎（1）图中________，_______；‎ ‎（2）求小明和爸爸相遇的时刻.‎ ‎【答案】 (1). （1）， (2). （2）9:25‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据图象可判断出小明到达山顶的时间，爸爸距离山脚下的路程． （2）由图象可以得出爸爸上山的速度和小明下山的速度，再求出小明从下山到与爸爸相遇用的时间，即得结果 试题解析：‎ ‎（1）由图像可以看出图中，.‎ ‎（2）设：小明从返程到与爸爸相遇经过分钟.‎ 由图像可以得出爸爸与小明相遇前的速度是：（米/分）‎ 小明返程的速度是：（米/分）‎ ‎，∴‎ ‎∴小明从出发到与爸爸相遇经过分钟 ‎∴小明和爸爸相遇的时间是9:25‎ ‎18. 观察下列等式：‎ 第一个等式：，‎ 第二个等式：，‎ 第三个等式：，‎ 第四个等式：，‎ 按上述规律，回答下列问题：‎ ‎（1）请写出第六个等式：_____________________________；‎ 用含的代数式表示第个等式：_____________________________；‎ ‎（2）_____________（得出最简结果）；‎ ‎（3）计算：.‎ - 16 -‎ ‎【答案】 (1). (2). (3). (4). (5). ‎ ‎【答案】（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据已知4个等式可得；根据已知等式得出答案； （2）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得； （3）根据已知等式规律，列项相消求解可得．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意知,==，‎ ‎==‎ ‎(2)原式=‎ ‎（3）原式 ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为 五、（本大题共2小题，共20分.） ‎ ‎19. 如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为2.50米，篮板顶端点到篮筐的距离米，篮板底部支架与支架所成的角，求篮筐到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：，，，，）‎ - 16 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论 试题解析：‎ 延长交的延长线于，过作于，‎ 在中，，‎ ‎∴，∴，‎ 在中，∵，，‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ 答：篮筐到地面的距离是米.‎ 点睛：本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，熟练应用锐角三角函数定义 ‎20. 已知，四边形中，是对角线上一点，，以为直径的圆与边相切于点，点在圆上，连接.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求证：四边形是菱形.‎ - 16 -‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=∠2即可得出结论； （2）先判断出△ABO≌△CDE得出AB=CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD=AD即可 试题解析：‎ ‎（1）如图，连接，∵是圆的切线，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴，∴‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，，∴‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴‎ ‎∴，∴，∴四边形是菱形.‎ 六、（本大题满分12分.） ‎ ‎21. 为参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了一次古诗词知识测试，并将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计，以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图.‎ - 16 -‎ ‎ ‎ 请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题：‎ ‎（1）求出的值；‎ ‎（2）老师说：“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范围内？‎ ‎（3）若要从小明、小敏等五位成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛，请用：列表法或树状图求出小明、小敏同时被选中的概率.（注：五位同学请用表示，其中小明为，小敏为）‎ ‎【答案】（1） （2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先利用第1组的频数除以它的频率得到样本容量，再计算出第4组的频数，则用样本容量分别减去其它各组的频数得到a的值，接着用第5组的频数除一样本容量得到b的值，用b的值除以组距10得到y的值，然后计算第2组的频率，再把第2组的频率除以组距得到x的值； （2）根据中位数的定义求解； （3）画树状图（五位同学请用A、B、C、D、E表示，其中小明为A，小敏为B）展示所有20种等可能的结果数，再找出小明、小敏同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解 试题解析：‎ ‎（1），‎ 所以，，，‎ ‎（2）小王的测试成绩在范围内 ‎（3）画树状图为：（五位同学用表示，其中小明为，小敏为）‎ 共有20种等可能的结果数，其中小明、小敏同时被选中的结果数为2，‎ - 16 -‎ 所以小明、小敏同时被选中的概率.‎ 点睛：本题是列表法与树状图法, 频数（率）分布表, 频数（率）分布直方图, 中位数的考查.‎ 七、（本大题满分12分.） ‎ ‎22. 如图，在四边形中，，，为的中点，连接，过点作交于点，连接，已知.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的长度；‎ ‎（3）求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ ‎...........................‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵为的中点，∴，∵，∴‎ ‎∵，，∴‎ 在与中，，，‎ ‎∴，∴‎ ‎（2）∵，∴，，∵‎ ‎∴，∴，‎ - 16 -‎ ‎∴‎ ‎∴，∴，∴‎ ‎（3）∵，∴，∴‎ 设，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴‎ 八、（本大题满分12分.） ‎ ‎23. 某市某水产养殖户进行小龙虾销售，已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：‎ ‎，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示：‎ ‎（1）求日销售量与时间的函数关系式？‎ ‎（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？‎ ‎（3）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠元给村里的特困户，在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（，为整数）（2）第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得； （2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；‎ ‎（3）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．‎ - 16 -‎ 试题解析：‎ ‎（1）设解析式为，将，代入，得：‎ ‎，解得：，∴（，为整数）‎ ‎（2）设日销售利润为，则 当时，‎ ‎∴当时，最大2450‎ 当时，‎ ‎∴当时，最大为2301，∵‎ ‎∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元 ‎（3）设日销售利润为，根据题意，得 其函数图像的对称轴为 ‎∵随的增大而增大，且 ‎∴由二次函数的图像及其性质可知，，解得 又，∴.‎ 点睛：本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象解不等式及二次函数的图象与性质是解题的关键．‎ - 16 -‎