【数学】2020届天津一轮复习通用版9-5抛物线及其性质作业

【数学】2020届天津一轮复习通用版9-5抛物线及其性质作业

‎9.5　抛物线及其性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.抛物线及其标准方程 ‎1.了解抛物线的定义,并会利用定义解题 ‎2.掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)‎ ‎2017课标Ⅱ,16‎ 抛物线的定义 梯形的中位线 ‎★☆☆‎ ‎2.抛物线的几何性质 ‎1.知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)‎ ‎2.能用其性质解决有关的抛物线问题,了解抛物线的一些实际应用 ‎2017天津文,12‎ 抛物线的准线 直线与圆的位置关系 ‎★★★‎ ‎3.抛物线中弦的相关问题 ‎1.理解并掌握抛物线中与焦点弦有关的性质与结论 ‎2.能解决抛物线中与弦有关的问题 ‎2018课标Ⅲ,16‎ 求焦点弦所在直线的斜率 直线与抛物线的位置关系 ‎★☆☆‎ 分析解读　　从高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题;客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程,主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,考查基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,着力于数学思想方法的考查.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　抛物线及其标准方程 ‎1.(2016四川文,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是(　　)‎ A.(0,2)　　　　B.(0,1)　　　　C.(2,0)　　　　D.(1,0)‎ 答案　D　‎ ‎2.(2014安徽,3,5分)抛物线y=‎1‎‎4‎x2的准线方程是(　　)‎ A.y=-1　　　　B.y=-2　　　　C.x=-1　　　　D.x=-2‎ 答案　A　‎ ‎3.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　. ‎ 答案　9‎ 考点二　抛物线的几何性质 ‎4.(2017课标Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为‎3‎的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(　　)‎ A.‎5‎　　　　B.2‎2‎　　　　C.2‎3‎　　　　D.3‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎5.(2014上海文,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为　　　　. ‎ 答案　x=-2‎ 考点三　抛物线中弦的相关问题 ‎6.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=(　　)‎ A.‎30‎‎3‎　　　　B.6　　　　C.12　　　　D.7‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎7.(2017课标Ⅰ,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(　　)‎ A.16　　　　B.14　　　　C.12　　　　D.10‎ 答案　A　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　求抛物线标准方程的方法 ‎1.已知抛物线C的开口向下,其焦点是双曲线y‎2‎‎3‎-x2=1的一个焦点,则C的标准方程为(　　)‎ A.y2=8x　　　　B.x2=-8y　　　　C.y2=‎2‎x　　　　D.x2=-‎2‎y 答案　B　‎ ‎2.已知抛物线C的焦点为F(0,1),则抛物线C的标准方程为　　　　. ‎ 答案　x2=4y 方法2　解决直线与抛物线位置关系问题的方法 ‎3.(2017课标Ⅰ文,20,12分)设A,B为曲线C:y=x‎2‎‎4‎上两点,A与B的横坐标之和为4.‎ ‎(1)求直线AB的斜率;‎ ‎(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.‎ 解析　(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1≠x2,y1=x‎1‎‎2‎‎4‎,y2=x‎2‎‎2‎‎4‎,x1+x2=4,‎ 于是直线AB的斜率k=y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎=x‎1‎‎+‎x‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)由y=x‎2‎‎4‎,得y'=x‎2‎,‎ 设M(x3,y3),由题设知x‎3‎‎2‎=1,‎ 解得x3=2,于是M(2,1).‎ 设直线AB的方程为y=x+m,‎ 故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.‎ 将y=x+m代入y=x‎2‎‎4‎得x2-4x-4m=0.‎ 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2m+1‎.‎ 从而|AB|=‎2‎|x1-x2|=4‎2(m+1)‎.‎ 由题设知|AB|=2|MN|,‎ 即4‎2(m+1)‎=2(m+1),解得m=7.‎ 所以直线AB的方程为y=x+7.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·天津卷题组 ‎　(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为　　　　　　　　. ‎ 答案　(x+1)2+(y-‎3‎)2=1‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　抛物线及其标准方程 ‎1.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎　　　　B.1　　　　C.‎3‎‎2‎　　　　D.2‎ 答案　D　‎ ‎2.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=　　　　. ‎ 答案　6‎ 考点二　抛物线的几何性质 ‎1.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4‎2‎,|DE|=2‎5‎,则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8‎ 答案　B　‎ ‎2.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为(　　)‎ A.(-1,0)　　　　B.(1,0)　　　　C.(0,-1)　　　　D.(0,1)‎ 答案　B　‎ ‎3.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为　　　　. ‎ 答案　(1,0)‎ 考点三　抛物线中弦的相关问题 ‎1.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=　　　　. ‎ 答案　2‎ ‎2.(2014湖南文,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是　　　　　　　　　　. ‎ 答案　(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ ‎3.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.‎ 解析　(1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p‎2‎=1,即p=2.‎ ‎(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.‎ 因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由y‎2‎‎=4x,‎x=sy+1‎消去x得y2-4sy-4=0,‎ 故y1y2=-4,所以,B‎1‎t‎2‎‎,-‎‎2‎t.‎ 又直线AB的斜率为‎2tt‎2‎‎-1‎,故直线FN的斜率为-t‎2‎‎-1‎‎2t.‎ 从而得直线FN:y=-t‎2‎‎-1‎‎2t(x-1),直线BN:y=-‎2‎t.‎ 所以Nt‎2‎‎+3‎t‎2‎‎-1‎‎,-‎‎2‎t.‎ 设M(m,0),由A,M,N三点共线得 ‎2tt‎2‎‎-m‎=‎2t+‎‎2‎tt‎2‎‎-‎t‎2‎‎+3‎t‎2‎‎-1‎,于是m=‎2‎t‎2‎t‎2‎‎-1‎.‎ 所以m<0或m>2.‎ 经检验,m<0或m>2满足题意.‎ 综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).‎ 思路分析　(1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAN=kAM,最终求出结果.‎ 评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.‎ C组　教师专用题组 考点一　抛物线及其标准方程 ‎1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)‎ A.‎|BF|-1‎‎|AF|-1‎　　　　B.‎|BF‎|‎‎2‎-1‎‎|AF‎|‎‎2‎-1‎　　　　C.‎|BF|+1‎‎|AF|+1‎　　　　D.‎‎|BF‎|‎‎2‎+1‎‎|AF‎|‎‎2‎+1‎ 答案　A　‎ ‎2.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则ba=　　　　. ‎ 答案　1+‎‎2‎ ‎3.(2012北京,12,5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为　　　　. ‎ 答案　‎‎3‎ 考点二　抛物线的几何性质 ‎　(2014辽宁文,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(　　)‎ A.-‎4‎‎3‎　　　　B.-1　　　　C.-‎3‎‎4‎　　　　D.-‎‎1‎‎2‎ 答案　C　‎ 考点三　抛物线中弦的相关问题 ‎1.(2014四川文,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)‎ A.2　　　　B.3　　　　C.‎17‎‎2‎‎8‎　　　　D.‎‎10‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014浙江,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,PF=3FM.‎ ‎(1)若|PF|=3,求点M的坐标;‎ ‎(2)求△ABP面积的最大值.‎ 解析　(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.‎ 设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,‎ 所以P(2‎2‎,2)或P(-2‎2‎,2).‎ 由PF=3FM,分别得M‎-‎2‎‎2‎‎3‎,‎‎2‎‎3‎或M‎2‎‎2‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由y=kx+m,‎x‎2‎‎=4y得x2-4kx-4m=0,‎ 于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,‎ 所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).‎ 由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),‎ 所以x‎0‎‎=-6k,‎y‎0‎‎=4-6k‎2‎-3m,‎由x‎0‎‎2‎=4y0得k2=-‎1‎‎5‎m+‎4‎‎15‎.‎ 由Δ>0,k2≥0,得-‎1‎‎3‎f‎4‎‎3‎,‎ 所以,当m=‎1‎‎9‎时, f(m)取到最大值‎256‎‎243‎,此时k=±‎55‎‎15‎.‎ 所以,△ABP面积的最大值为‎256‎‎5‎‎135‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2018天津实验中学热身训练,7)抛物线C1:y=‎1‎‎2px2(p>0)的焦点与双曲线C2:x‎2‎‎3‎-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p=(　　)‎ A.‎3‎‎3‎‎8‎　　　　B.‎3‎‎8‎　　　　C.‎2‎‎3‎‎3‎　　　　D.‎‎4‎‎3‎‎3‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018天津耀华中学二模,5)已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为(　　)‎ A.‎3‎　　　　B.2‎3‎　　　　C.‎5‎　　　　D.2‎‎5‎ 答案　D　‎ ‎3.(2018天津红桥二模,7)点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线的一个交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于(　　)‎ A.‎5‎　　　　B.‎6‎　　　　C.‎3‎　　　　D.‎‎2‎ 答案　A　‎ ‎4.(2017天津红桥一模,6)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎5‎=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上,且|AK|=‎2‎|AF|,则点A的横坐标为(　　)‎ A.2‎2‎　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2‎‎3‎ 答案　C　‎ ‎5.(2017天津河东一模,7)过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB,CD与抛物线交于A,B,C,D四点,且AB⊥CD,则FA·FB+FC·FD的最大值等于(　　)‎ A.-4　　　　B.-8　　　　C.4　　　　D.-16‎ 答案　D　‎ 二、填空题(每小题5分,共25分)‎ ‎6.(2018天津南开中学第三次月考,13)已知M为抛物线y2=2px(p>0)上的一点,若以M为圆心经过原点的圆与x轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的准线相切,则p的值为　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎7.(2017天津河北二模,11)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为　　　　. ‎ 答案　-‎‎3‎‎4‎ ‎8.(2017天津河西二模,13)已知F是抛物线y2=x的焦点,A、B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为　　　　. ‎ 答案　‎‎5‎‎4‎ ‎9.(2017天津河西一模,14)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2‎3‎,则直线l的斜率等于　　　　. ‎ 答案　±‎‎2‎‎2‎ ‎10.(2017天津十二区县一模,13)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,B作l的垂线,垂足为C,D.若|AF|=2|BF|,且三角形CDF的面积为‎2‎,则p的值为　　　　. ‎ 答案　‎‎2‎‎3‎‎3‎