惠州市2020届高三第二次调研考试 理科数学参考答案与评分细则

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数学试题（理科）答案 第 1 页，共 12 页 惠州市 2020 届高三第二次调研考试 理科数学参考答案与评分细则 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D A B A A C B A C C 1．【解析】    1 , | 2 2M x x N x x=  = −   ，所以 ( 12MN= ， ，故选 C． 2．【解析】(1 )z 1ii+ = − ， 21 (1 ) 2z 1 (1 )(1 ) 2 i i i ii i i − − −= = = = −+ + − ， z 的共轭复数为 zi= ，故选 B． 3．【解析】 11 12 1 nn nn San Sa−− =−  =− 时， ，两式相减，整理得 11 1 112,, 22 n nn n aaaa a− − === ， 所以  na 是首项为 1 2 ，公比为 的等比数列， 5 5 11122 31 1 321 2 S −== − ，故选 D． 4．【解析】代数法： 2 222 ( ) 1 2cos , 22() 2 aa a aa b c b b b bbc bc b bb ,故选 A. 几何法： 5．【 解析】①属于系统抽样，故错误；②概率只说明事件发生的可能性，某次试验中不一定发生，所以 并不能说明天气预报不科学，故错误；③④正确. 故选 B． 6.【解析】 3π 11cossin, sin,, cos233 π π 22 223−= −== −− = ， 12 24 2sin 22sincos2 339 == −= −  ，故选 A. 7．【解析】如图： ，由集合的包含关系可知选 A． 8．【解析】不超过 40 的素数： 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37 ，共 12 个数，其中 40 3 37 11 29 17 23= + = + = + ，共 3 组数，所以其和等于 40 的概率为： 2 12 31 22C = ．故选 C． 数学试题（理科）答案 第 2 页，共 12 页 9．【解析】解法一：定义域为 ( 0 ,1 ) ( 1 , )x  +  ，故排除 A； (1 0 0 ) 0f  ，排除 C； 1( ) 0100f  ， 排除 D；故选 B． 解法二：设 ( ) ln 1g x x x= − − ， (1) 0g = ， ' 1( ) 1gx x=− ，当 (1, )x + ， ' ( ) 0gx ， ()gx单调增，当 (0 ,1)x  ， ' ( ) 0gx ， 单调减，则 ( ) ( 1 ) 0g x g =． 故 1() ln1fx xx= −− 的定义域为 ，且 ()fx在 上单调增， 上 单调减， ( ) 0fx ，故选 B． 解法三： 定义域为 ，故排除 A； 当 0x → 时，( ) 1ln1,0 ln1xx xx−−→ +  −− ，排除 D； 当 x → +  时， 1ln10,0 ln1xx xx−− −− ，排除 C；故选 B． 10.【解析】设椭圆、双曲线离心率分别为 12 12 ,cceeaa==，设 12,PFxPFy==， 由椭圆、双曲线定义得 112 212 2 ,2 xyaxaa xyayaa +==+−==− ，在 12P F F 中，由余弦定理得 ( ) ( ) ( ) 2 22222 120 1212 22 12 242 1coscos60,,3 . 222 aacxycF PFaa xy aa +−+−== = = − 又 222 121 222 122 1,,3,3.ccce ea acaceaaa== ==== 故选 A. 11. 【解析】① 1 3DABCABCVSh−=，当平面 A D C ⊥ 平面 ABC 时，三棱锥 DABC− 的高最大，此时 体积最大值为 1 1 3 1133 2 2 4D ABCV − =     = ，①错误；②设 AC 的中点为O ，则由 ,RtABC RtADC知，OA OB OC OD= = = ，所以 为三棱锥 外接球的球心，其半 径为 1 12 AC = ，所以外接球体积为 4 3 ，即三棱锥 D ABC− 的外接球体积不变，②正确；③由 ①的解析过程知，三棱锥 D ABC− 的体积最大值时，平面 平面 ，所以二面角 D AC B−−的大小是 090 ，③错误；④当 ADC 沿对角线 AC 进行翻折到使点 D 与点 B 的距离 为 2 ，即 2BD = 时，在 BCD 中， 2 2 2BC BD CD=+，所以CD BD⊥ ，又CD AD⊥ ，翻 数学试题（理科）答案 第 3 页，共 12 页 折后此垂直关系没有变，所以 CD ⊥ 平面 ABD ，所以 C D A B⊥ ，即异面直线 AB 与 CD 所成角 的最大值为 090 ，④正确. 故选 C． 12．【解析】当 ( )2 x kkZm =+ ，即 21 2 kxm+= 时， ( )fx取得极值 3 。 存在 0x 使   22 0 2 0 )( mxfx + 成立，亦即存在 k 使( )( ) 22 1 2 3 12 0k k m− + +  成立， 因此，只需 ( ) ( )2 1 2 3kk−+最小即可，即 0k = 或 1k =− 时不等式成立即可，所以 23 12 0m− +  ， 即 2 4m  ，所以 ( ) ( ),22,m−−+ . 故选 C． 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空3分，第二空2分。 13． 3 1 14． 32 15. 4 （3 分）， 1 2 （2 分） 16．  14， 【16 题注】①求出的范围区间端点开闭错误不给分。 ②写成： 12 1114PFPF+ 、  |1 4 （集合元素一般形式用题目以外的字母表示）不扣分。 ③写成以下四种形式不给分：  |14xx ， |14yy ，  |14aa ，  |14bb 。 13．【解析】 ( ) ( )'2' 113,1312,. 3fxaxfaa x=+=+ == 14．【解析】样本数据 1x ， 2x ，  ， 100x 的方差为 8 ，所以数据 121x − ， 221x − ， ， 10021x − 的方差为 22832= . 15．【解析】 121222 2224222 yyxyxxxyxyxyxy +=++= ++ += ，当且仅当 2 2 yx xy= 即 12, 2yxx==时等号成立. 16.【解析】由已知得 22b = ，故 1b = ，∵ 1F A B△ 的面积为 23 2 − ， ∴ ( )1 2 3 22a c b −−= ，∴ 23ac− = − ，又 ( )( )222 1aca c a cb−=−+== ， ∴ 2a = ， 3c = ，∴ ( ) 12 2 1 2 1 2 11 11 1 1 2 4 4 4 PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++ = = =− −+ ， 又 12 3 2 3PF−   + ，∴ 2 111 4 4PF PF − +  ，∴ ． 数学试题（理科）答案 第 4 页，共 12 页 即 12 11 P F P F+ 的取值范围为  14， ． 三．解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 17．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由正弦定理 s in s in ab AB= ……….1 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得 25 sin sin 2AA= ……………………………………………………….2 分 即 25 sin2sincosAAA= …………………………………………….3 分 因为 s i n 0A  ，可解得 4 5c o s =A . ………………………………..4 分 （2）解法一：由余弦定理 Abccba cos2222 −+= ……..5 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得 ( )22252525 4cc=+− ，整理得 0252 2 =+− cc ………..6 分 解得 2=c 或 2 1=c ………………………………………………..8 分 当 ac == 2 时，得 CA = ， 又因为 2BA= ，故 ,42ACB === , …………………………..9 分 所以 2ba= ，与已知矛盾，所以 不满足要求。 ……………..10 分 当 1 2c = 时，经检验符合要求. …………………………………………11 分 综上知： . ………………………………………………………….12 分 【注】无检验过程最多只能得 8 分。 解法二：由（1）知 ，且 1cossin 22 =+ AA ， 又 0 A  ……………………………..5 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 所以 4 11sin =A …………………………………………………………………..6 分 数学试题（理科）答案 第 5 页，共 12 页 又 2BA= ，所以 8 3 16 11 16 5sincos2coscos 22 −=−=−== AAAB ……………..8 分 由余弦定理 Baccab cos2222 −+= ………..9 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得     −−+= 8 32225 22 cc 整理得 0232 2 =−− cc ……………10 分 即 ( )( ) 0212 =+− cc ， 又因为 0c  ……………………………….11 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 得 2 1=c ， 综上知： 2 1=c . ………………………………………….12 分 18．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）将 1=n 代入 nnn nana  1111 ++     +=+ ，得  22 12 += aa ……………………2 分 由 3 8,1 21 == aa ，得 3= . ……………………………………………………………4 分 （2）由 nnn nana 3 1111 ++     +=+ ，得 n nn n a n a 3 1 1 1 =−+ + ………………………………………5 分 即 nnn bb 3 1 1 =−+ . ……………………………………………………………………6 分 当 1n = 时， 11 1 1 == ab ，………………………………………………………………7 分 当 2n 时， ( ) ( ) ( )111221nnnnnbbbbbbbb −−−−=−+−++− …………………8 分 1 2 2 1 1 1 1 1 3 3 3 3nn−−= + + + + 111133 11 3 n−−= − …………………………………………10 分 1 11 2 2 3n−=− 所以 132 1 2 3 −−= nnb . （ ） …………………………………………………11 分 因为 11 =b 也适合上式，所以 . …………………………………12 分 19．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）依题意， PAD ABCD⊥面 面 ， AB AD⊥ ………………………1 分 数学试题（理科）答案 第 6 页，共 12 页 A B A B C D 面 ， PADABCDAD=面 面 ， …………2 分【注】此步骤缺少任 意一个条件，本得分点不给分。 A B P A D⊥面 …………3 分 又 P D P A D 面 …………4 分 A B P D⊥ …………5 分 （2）解法一：向量法 在 PAD 中，取 AD 中点 O ， P A P D= P O A D⊥ P O A B C D⊥面 …………6 分 以 为坐标原点，分别以 OA 为 x 轴，过点 且平行于 AB 的直线为 y 轴， OP 所在的直线为 z 轴， 建立如图空间直角坐标系，…………………………………………………………………7 分 设 2PA = . 90APD=， 22AD= ( ) ( ) ( ) ( ) 220,0,2,2,2,0 ,2,2,0 ,2,0,0 ,,1, 22PBCAQ − ( ) ( )2,2, 2 , 2 2,0,0PB BC = − = − ， 22,1,22AQ =−− …………………8 分 设面 PBC 法向量为 ( ),,nxyz= 则 2220 220 nPBxyz nBCx  =+−= = −= ，解得 ( )0,1,2n = …………………………………9 分 设直线 AQ 与平面 PBC 所成角为 ，则 2sincos, 3 AQ n AQ n AQn ………10 分 因为 0, 2 ， 2 23cos 1 sin 1 33 …………………………11 分 所以直线 与平面 所成角的余弦值为 3 3 . …………………………………12 分 （2）解法二：几何法 过 P 作 PO⊥AD 交于点 O，则 O 为 AD 中点， 过 A 作 PO 的平行线，过 P 作 AD 的平行线，交点为 E，连结 BE， 过 A 作 AH⊥BE 交于点 H，连结 QH， 连结 BO，取中点 M，连结 QM，AM………………………7 分【注】文字说明 1 分，作图 1 分。 四边形 AOPE 为矩形，所以 PE⊥面 ABE，所以 PE⊥AH， x y Q O E H M 数学试题（理科）答案 第 7 页，共 12 页 又 BE⊥AH，所以 AH⊥面 PBE， 所以∠AQH 为线 AQ 与面 PBC 所成的角。…………………………………………………8 分 令 AO=a，则 AE=a，AB= 2 a，BE= 3 a，由同一个三角形面积相等可得 AH= 6 3 a， △QAM 为直角三角形，由勾股定理可得 AQ=a，………………………………………9 分 所以 sin∠AQH= AH AQ = ,………………………………………………………………10 分 又因为∠AQH 为锐角，所以 cos∠AQH= 3 3 ,…………………………………………11 分 所以直线 AQ 与平面 PBC 所成角的余弦值为 ……………………………………12 分 20．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）解法一：依题意，设 3: 2l y x a …………………………1 分 联立 2:2Cyx ，整理得 ( )22918890xaxa−++= ① ……………………2 分 由 0 ，得 2 9a …………………………………………………………………3 分 又 1 ,02FPa 且 3 2FP ， 2a 或 1a （舍去）…………………………4 分 所以①式可化为 2944360xx ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 12 44 9xx ……5 分 12 44531199AFBFxx .…………………………………………………6 分 解法二：依题意，设 ……………………………………………1 分 联立 ，整理得 23460yya ① ……………………………………………2 分 16 72 0a ，即 …………………………………………………………………3 分 又 且 ， 或 （舍去）…………………………………4 分 所以①式可化为 23 4 12 0yy ，设 ，则 12 12 4 3 4 yy yy ……5 分 2 2 2 1 2 1 2 1 2 12 ( ) 2 531 1 12 2 9 y y y y y yAF BF x x .…………6 分 数学试题（理科）答案 第 8 页，共 12 页 （2）当直线 l 斜率不存在时，由对称性知，存在点 M 满足 O M A O M B …………7 分 若直线 存在斜率，设为 ( )0kk 则 : ( )l y k x a ，联立 2:2C y x 整理得 2 2 2 0ky y ka 24 8 0 ka ， 12 12 2 2 yy k y y a  +=    = − …………………………………………………8 分 设 ( ,0 )Mm 由 易知 MAMBkk即 12 12 0yy xmxm …………9 分 122112 ()0yxyxmyy 即 22 21 1212 ()22 yyyymyy …………10 分 12 1212()()2 yy yymyy 120yy+， 12 2 22 yy ama −===− 所以 ( ,0 )Ma ……………………………………………………………………………11 分 综上所述，当 0a  时， x 轴上存在点 ，总有 OMAOMB .…………12 分 21．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）解法一：由 1 2 2()ln, xefxax xx −=+− ，可得 3 1 ' ))(2()( x axexxf x −−= − ……1 分 由题意 ( ),2,0x 则 02 3 − x x ，记 1()(0) xhxeaxx −=− ， '1() xhxea −=− 由题意，知 21 , xx 是 )( xhy = 在 ( )2,0 上的两个零点. 当 0a 时， 0)(' xh ，则 )( xh 在 上递增， 至多有一个零点，不合题意；………………………………………………………2 分 当 0a 时，由 0)(' =xh ，得 ax ln1+= ……………………………………………3 分 （i）若 2ln1 + a 且 0)2( h ，即 21 ea  时， 在 ( )aln1,0 + 上递减，( )2,ln1 a+ 递增； 则 0ln)ln1()( min −=+= aaahxh ， 则 01)0(,0)2( = ehh ， 从而 在 和 上各有一个零点。 所以 时， )(xhy = 在 上存在两个零点. …………………………………4 分 数学试题（理科）答案 第 9 页，共 12 页 （ii）若 2ln1 + a ，即 ea  时， )( xh 在 ( )2,0 上递减， 至多一个零点，舍去. ………5 分 （iii）若 2ln1 + a 且 0)2( h ，即 eae 2 时，此时 在 ( )aln1,0 + 上有一个零点， 而在 ( )2,ln1 a+ 上没有零点，舍去. 综上可得，实数 a 的取值范围是 1, 2 e  .………………………………………………………6 分 （1）解法二：由 1 2 2()ln, xefxax xx −=+− ，可得 3 1 ' ))(2()( x axexxf x −−= − ……………1 分 由题意 ( ),2,0x 则 02 3 − x x ，由题意知 21, xx 是 0,1 −= − xaxey x 在 上的两个零点. 即： ax e x e axe axe xx x x ==    =− =− −− − − 2 1 1 1 2 1 1 1 21 2 1 0 0 又令 x exg x 1 )( − = ，………………………………………………………………………………………2 分 则 )()( 21 xgxg = ，从而只需直线 ay = 与函数 的图象在内 ( )2,0 有两个交点. ………3 分 由 2 1 ' )1()( x exxg x−−= 得 x exg x 1 )( − = 在区间内 ( )1,0 单调递减，在区间 ( )2,1 内单调递增， 所以 1)1()( min == gxg ， ()(2) 2 egxg =，………………………………………………………4 分 且 +→=→→ −− )(,1,0 11 xgeeex x …………………………………………………………………5 分 所以实数 的取值范围是 ．…………………………………………………………………6 分 （2）解法一：令 axxahxhxH ln10),ln22()()( +−+−= ………………………7 分 则 0222)ln22()()( 1 2 1''' =−−+=−++= − − aaae aexahxhxH x x 所以 )(xH 在 上递增，……………………………………………………………8 分 从而 0)ln1()( =+ aHxH ，即 0)ln22()( −+− xahxh 0)ln22()( 11 −+− xahxh ……………………………………………………………10 分 而 )()( 21 xhxh = ，且 在 递增； 数学试题（理科）答案 第 10 页，共 12 页 21()(22ln)hxhax+− …………………………………………………………………11 分 2122lnxax+− ， 122(1ln)xxa++ ，命题得证。……………………………12 分 解法二：由（1）有 1 2 1 111 1 2121 222 lnln1 2lnln2.lnln1 x x axxaxe ax xxxaxxaxe − − +=− = +=+−+=−=  …7 分 则求证式 ( )1212122 1 12 1lnln001.xxax xx xx x++ ①………………8 分 下证①式成立： 由 1 0xax e −−= 得 1 . xea x − = 令 ( ) 1xegx x − = ，则 ( ) ( ) ( ) ( )1 ' 12 2 1,. xexg x g x g x x − −==……………………………………9 分 易知 1201xx   ，从而①式 ( ) ( )221 111 111 .xgxggxgxxx    …………10 分 又令 ( ) ( ) 1 ,01Gxgxgx x =−  ， 则即证 ( ) 0Gx  对 01x成立. 对 ( )Gx求导，得 ( ) 1 1'1 2 1 .x xxGxexe x −−−=−   设 ( ) 1 11x xhxexe −−=− ，则 ( ) 1 1'11 0x x xh x e e x −− −= +   ，…………………………11 分 从而 ( ) ( ) ( )'10,0hxhGx= . ( ) ( )1 0.G x G  = 即 01x， ( ) 1g x g x   ，即 ( )1 1 1g x g x    从而①式成立。 ，命题得证。………………………………………………………12 分 解法三：由（1）有 1 2 1 1 1 2 x x ax e ax e − −  =  = 得 ( )1 2 2 12 1 12 1 2 2 1,.x x x xa x x e a x x e e+ − − −= − = − ……………7 分 将 2111 21 xxeea xx −−−= − 代入 1222 12 xxa x x e +−= 中， 数学试题（理科）答案 第 11 页，共 12 页 得 ( ) ( ) ( )1212 211212 222 2 21 1221 22 11 2 xxxx xxxxxx xxeex xxx aee ee +−+− −−−− −==−= +−− ，……………………8 分 令 21t x x=−，为证明 122 2 1 xxe a +−  ，则只需证：当 0t  时， 2 2120.2 tt tt t eetee − − +−−+− 设 ( ) 22ttmteet −=+−− ，……………………………………………………………………9 分 则 ( ) ( )''' 2 ,20.ttttmteetmtee −−=−−=+− 从而， ( ) ( ) ( )''00mtmmt= 在区间 ( )0, + 内单调递增，……………………10 分 ( ) ( )0 0 .m t m = 即 220tteet −+−− ，所以 ，……………………………………………11 分 122 2xxea+−  ，两边取对数化简可得 122(1ln)xxa++ ，命题得证。……………12 分 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。 22．（本小题满分 10 分） 【解析】（1）由 1 xcos ysin   =  =+ 1 x cos y sin   =  −= ……1 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。 平方相加可得 ( )22 11xy+−=  圆 C 的普通方程为： …………………………2 分 又 cos,sinxy== ………………3 分【注】无写出此步骤，本得分点不给分。  ( ) ( )22cossin11 +−= ……………………………………4 分 化简得圆 的极坐标方程为： 2sin= . …………………………5 分 （2）解法一：把 6  = 代入圆的极坐标方程可得： 2sin 16P  == ………………7 分 把 代入直线l 极坐标方程可得： sin2 63  +=  2Q = ………………………………………………………………9 分 线段 PQ 的长 1PQPQ = − = ………………………………………10 分 解法二：把 代入圆的极坐标方程可得： ………………7 分 数学试题（理科）答案 第 12 页，共 12 页 直线 l 极坐标方程化为直角坐标方程为 34yx= − + 射线 : 6OM  = 的直角坐标方程为 ( )3 03y x x=…………………8 分 记直线 与 x 轴交点为 A，则 OAQ 为直角三角形，其中∠QOA 为 30° 根据勾股定理可得 2OQ = …………………………………………………9 分 所以线段 PQ 的长 1PQOQOP=−= …………………………………10 分 23．（本小题满分 10 分） 【解析】（1）解法一：由题意知 20 xm x m x   − +  或 20 xm m x x   − +  ……………………1 分 化简得： 3 xm mx   或 xm xm   − …………………………………………………………2 分 0m   不等式组的解集为  x x m− ……………………………………4 分 2m−=− ，解得： 2m = …………………………………………………………5 分 解法二：由题意知： 22xxmx− − ，…………………………………………1 分 所以 3 xm mx −  …………………………………………………………………2 分 不等式组的解集为 …………………………………4 分 ，解得： ……………………………………………………5 分 （2）由（1）可知 a 、 b 、 c 为正数且 2abc+ + = ………………………………6 分 由基本不等式有： 2 2b aba + ， 2 2c bcb + ， 2 2a cac + ……………8 分 三式相加可得： 2 2 2 2 2 2b c aa b c b c aa b c+ + + + +  + + …………………9 分 222bca abcabc++++ ， 即： 2 2 2 2b c a a b c+ +  （当且仅当 abc==时等号成立）………………………10 分