2020届高三数学第五次模拟考试试题 文（含解析）（新版）人教版

2020届高三数学第五次模拟考试试题 文（含解析）（新版）人教版

- 1 - 2019 学年第一学期高三第五次模拟考试 文科数学试题 一、选择题（5×12＝60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将 正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号） 1. 已知集合 ， ，则 M∩N 中的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 ，因此 M∩N 中的元素个数为 2，选 C. 2. 若复数 满足 ，则复数 的共轭复数在复平面上所对应点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 所对应点在第二象限，选 B. 3. AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数值不大 于 100 时称空气质量为“优良”．如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计数据，图 中点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，则下列叙述不正确的是（ ） A. 这 12 天中有 6 天空气质量为“优良” B. 这 12 天中空气质量最好的是 4 月 9 日 C. 这 12 天的 AQI 指数值的中位数是 90 D. 从 4 日到 9 日，空气质量越来越好 【答案】C 【解析】由图可知, 不大于 100 天有 6 日到 11 日,共 6 天,所以 A 对,不选. 最小的一天 - 2 - 为 10 日,所以 B 对,不选.中位为是 ,C 错.从图中可以 4 日到 9 日 越来越小,D 对.所以选 C. 4. .设函数 ，则 （ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 .故选 C. 视频 5. 设等差数列 的前 n 项和为 ，若 是方程 的两根，那么 =（ ） A. 9 B. 81 C. 5 D. 45 【答案】B 【解析】 ，选 B. 6. “ ”是“直线 与直线 垂直”的( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由直线 与直线 垂直得 所以“ ”是“直线 与直线 垂直”的充分而不 必要条件，选 B. 7. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) - 3 - A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的 底面是一个正方形，对角线长是 ，侧棱长 ，高是 ，下面是一个圆柱，圆柱的底面 直径是 ，高是 ，所以组合体的体积是 ，故选 C. 考点：几何体的三视图及体积的计算. 【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力 及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相 等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱 锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题. 视频 8. 已知直线 恒过定点 A，点 A 也在直线 上，其中 均为正 数，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】试题分析：由题； 变形为 ，所以过定点 ，代入直 线得 ，当且仅当 时等号成 - 4 - 立，取得最小值 8 考点：直线过定点问题及基本不等式的运用. 9. 函数 的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，所以当 时，函数单调递增，舍去 B; 当 时，函数单调递减，舍去 A; 当 时，函数单调递减且 ，舍去 D;选 C. .................. 10. 在递减等差数列 中， ，若 ，则数列 的前 n 项和的最大值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设公差为 ，所以由 ， ，得 （正 舍），即 ， - 5 - 因为 ，所以数列 的前 项和等于 ，选 D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间 若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c 为 常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的 裂项求和，如 或 . 11. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如 图，在鳖臑ABCD中， 平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，可补形成正方体如下图： 所以异面直线 与 所成角就是 与 所以角，而 为直角三角形，所以所成角为 ， 。选 A. 【点睛】 - 6 - 对于四个面都是直角的四面体我们常补形成长方体，这样充分体现补形思想，从而简化运算。 12. 已知 是定义在 上的函数， 为其导函数，且 恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令 ,则 ,所以 在 上单调递增,因此 , ,所以选 C. 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要 构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ， 构造 ， 构造 等 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知向量 ， ，若向量 与向量 的夹角为 ，则实数 的值为_________ 【答案】 【解析】 ,显然 ,所以 . 14. 设点 在不等式组 所表示的平面区域内，则 的取值范围为_____． 【答案】 【解析】先作可行域为三角形 ABC 及其内部，如图得 的取值范围为 - 7 - 点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是 虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 15. 已知 分别为 的三个内角 的对边， =2，且 ，则 面积的最大值为_______ 【答案】 【解析】由已知 ，即 得 ，由正弦定理，三 角形的周长为 ， ， ，周长 的取值范围为 . 视频 16. 如图 1，在平面 ABCD 中，AB=AD=CD=1，BD= , ,将其对角线 BD 折成四面体 , 如图 2，使平面 平面 BCD,若四面体 的顶点在同一球面上，则该球的体积为 ____________ - 8 - 【答案】 【解析】因为 BD 中点 O 到 距离为 ，O 到 距离为 ，所以 ， 体积为 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法 进行求解． (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求 解． 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 ，且满足 （1）求角 A 的大小； （2）若 D 为 BC 上一点，且 ， ， ，求 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析： (1)首先边化角，据此求得 ， ； (2) 过 作 交 于 ，利用余弦定理结合题意可得 . 试题解析： （1）由已知 ， 由正弦定理有 ， 整理的 ， 即 ， 又 ，所以 ， ； - 9 - （2）过 作 交 于 ， ， ， 由余弦定理， ，得 ，则 ， 又 ， ，则三角形 为直角三角形， . 18. 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100 名观 众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图： 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计 将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”． （1）根据已知条件完成上面的 2×2 列联表，若按 95%的可靠性要求，并据此资料，你是否认 为“体育迷”与性别有关？ （2）现在从该地区非体育迷的电视观众中，采用分层抽样方法选取 5 名观众，求从这 5 名观 众选取两人进行访谈，被抽取的 2 名观众中至少有一名女生的概率． 附： - 10 - P（K2≥k） 0.05 0.01 k 3.841 6.635 【答案】(1) 没有 95%的可靠性理由认为“体育迷”与性别有关(2) 试题解析：解 (1)由频率分布直方图可以知道,在抽取的 100 人中, “体育迷”有 25 人,从而填写列联表如下: 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 将列联表中的数据代入公式计算, 得 , 因为 , 所以没有 的可靠性理由认为“体育迷”与性别有关; (2)根据分层抽样原理,抽取的男生有 人,记为 A,B; 女生有 人,分别记为 c、d、e; 从 5 人中任取 2 人,基本事件是 AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de 共 10 种, 至少有一名女生的事件是 Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de 共 9 种, 故所求的概率为 19. 如图，菱形 ABCD 与等边△PAD 所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°． - 11 - （1）证明：AD⊥PB； 求三棱锥 C﹣PAB 的高． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）取 AD 中点 O，由菱形性质以及等腰三角形性质得 BO⊥AD，由等边三 角形性质得 OP⊥AD，再根据线面垂直判定定理得 AD⊥平面 POB，即得 AD⊥PB．（2）利用等体 积法求高： ,分别求底面面积，以及 PO，代入锥体体积公式可得结果 试题解析：证明：（Ⅰ）取 AD 中点 O，连结 OP、OB、BD， ∵菱形 ABCD 与等边△PAD 所在的平面相互垂直， AD=2，∠DAB=60°． ∴OP⊥AD，BO⊥AD， ∵OP∩BO=O，∴AD⊥平面 POB， ∵PB⊂平面 POB，∴AD⊥PB． 解：（Ⅱ）∵菱形 ABCD 与等边△PAD 所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°． ∴BO=PO= = ，PB= = ， ∴ = ， = ． 设点 C 到平面 PAB 的距离为 h， ∵ ∴ ， ∴h= = = ． - 12 - ∴三棱锥 C﹣PAB 的高为 ． 20. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的顶点是原点 O，以 x 轴为对称轴，且经过点 P（1， 2）． （1）求抛物线 C 的方程； 设点 A，B 在抛物线 C 上，直线 PA，PB 分别与 y 轴交于点 M，N，|PM|=|PN|．求直线 AB 的斜率． 【答案】(1) (2)-1 【解析】试题分析：（1）先设抛物线标准方程，代入点坐标可得抛物线方程（2）由|PM|=|PN| 得直线 PA 与 PB 的倾斜角互补,设直线 PA 斜率，与抛物线方程联立解得 A，同理可得 B，最后 利用斜率公式求 AB 斜率 试题解析：解:(Ⅰ)根据题意,设抛物线 C 的方程为 由抛物线 C 经过点 , 得 , 所以抛物线 C 的方程为 (Ⅱ)因为 , 所以 , 所以 , 所以直线 PA 与 PB 的倾斜角互补, 所以 根据题意,直线 AP 的斜率存在,设直线 AP 的方程为: , 将其代入抛物线 C 的方程,整理得 设 ,则 , , - 13 - 所以 以-k 替换点 A 坐标中的 k,得 所以 , 所以直线 AB 的斜率为-1. 21. 已知函数 . 当 时，求曲线 在 处的切线方程； 若当 时， ，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义求切线斜率，最后根据点斜式 求切线方程（2）先求函数导数，研究符号情况，对导函数中符号不定部分二次求导，根据二 次函数图像与性质分类讨论，确定 的取值范围. 试题解析：解：（1）当 时， ，所以 ，又因为 ，所求 直线方程为 ，即 。 （2）当 时，，即 因为 ， ， 所以 在 上恒成立即可。对 求导，得 设 ，抛物线开口向上，横过定点 ，当 时， 在 上单调递增满足题意；当 >0 时解得 的零点为 ， ，只需 即可，即 ，解得 ，又 ， 所以此时 。综上所述， 的取值范围是 。 选做题：从 22、23 题中任选一题作答，多答按 22 题计分。（10 分） 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若直线 l 的极坐 标方程为 ，曲线 C 的极坐标方程为： ，将曲线 C 上所有点的横坐 标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线 C1． （1）求曲线 C1 的直角坐标方程； - 14 - （2）已知直线 l 与曲线 C1 交于 A，B 两点，点 P（2，0），求|PA|+|PB|的值． 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）先根据 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； 再根据图像平移得曲线 C1 的直角坐标方程；（2）先根据 将直线 l 的极坐标方 程化为直角坐标方程；再设直线参数方程，代入 C1，最后根据参数几何意义以及韦达定理求 |PA|+|PB|的值． 试题解析：（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ， 所以曲线 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）由直线 的极坐标方程 ，得 ， 所以直线 的直角坐标方程为 ，又点 在直线 上， 所以直线 的参数方程为： ，t 为参数， 代入 的直角坐标方程得 ， 设 ， 对应的参数分别为 ， 则 ， 所以 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f（x）=|x﹣a|﹣2． （1）若 a=1，求不等式 f（x）+|2x﹣3|＞0 的解集； 若关于 x 的不等式 f（x）＜|x﹣3|恒成立，求实数 a 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求 并集（2）先根据绝对值三角不等式求最小值，再解不等式得实数 a 的取值范围． 试题解析：解:(Ⅰ)函数 .若 , - 15 - 不等式 ,化为: 当 时, .计算得出 , 当 时,可得 ,不等式无解; 当 时,不等式化为: ,计算得出 不等式的解集为: (Ⅱ)关于 x 的不等式 恒成立,可得 设 , 因为 , 所以, 即: 所以,a 的取值范围为 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值 的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与 函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活 应用，这是命题的新动向．