江西省宜春市昌黎实验学校2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

江西省宜春市昌黎实验学校2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

www.ks5u.com 宜春昌黎实验学校高中部2019-2020学年第一学期12月月考 高一数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分三条直线相交于一点与不相交与一点两种情况进行讨论.‎ ‎【详解】当三条直线两两相交于同一点,如空间直角坐标系的轴,此时可以确定3个平面.‎ 当三条直线两两相交于三个不同的点时,根据不共线的三点确定一个平面可知可以确定一个平面.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了空间中直线的位置关系与空间想象能力,属于基础题型.‎ ‎2.下列函数是偶函数的是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ A、,图象不关于y轴对称,不是偶函数,‎ ‎ B、,定义域为,不是偶函数,‎ ‎ C、,此函数为偶函数; D、,此函数为奇函数,故选C.‎ ‎3.下列函数中,在区间上是增函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据常见函数的图像变换分析即可.‎ ‎【详解】对A, 为抛物线开口向下, 在区间上是减函数.‎ 对B, 为直线,且因为斜率为故单调递减.‎ 对C, 在区间上是减函数.‎ 对D, 在区间上解析式为是增函数.‎ 故选：D ‎4.如图所示是水平放置的三角形的直观图，轴，则原图中是( )‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 任意三角形 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由轴可知,在原图中轴即可得出.‎ ‎【详解】由轴可知,在原图中轴,故,故是直角三角形.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了斜二测画法,属于基础题型.‎ ‎5.设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则 A. （1,2） B. （1,2] C. （-2,1） D. [-2,1)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由得，由得，‎ 故，选D.‎ ‎【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.‎ ‎6.函数y＝2＋logax(a＞0，且a≠1)，不论a取何值必过定点(　　)‎ A. (1，0) B. (3，0)‎ C. (1，2) D. (2，3)‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据且)过定点，即可得结果．‎ ‎【详解】因为且)过定点，‎ 所以且)过定点，故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.‎ ‎7.已知，，，，则下列关系正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】依题意，，由于，函数为减函数，故.故选C.‎ ‎8.已知点（，27）在幂函数f（x）=（t-2）xa的图象上，则t+a=（ ）‎ A B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由幂函数可得,再将点代入函数中可得,求解即可 ‎【详解】解：∵幂函数,则,即,‎ 又∵点在幂函数的图象上，‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴‎ 故选B ‎【点睛】本题考查幂函数的定义,考查已知函数图象上的一点求参数,属于基础题 ‎9.如图，四面体中，，且，分别是的中点，则与所成的角为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设为中点，由中位线可知，所以就是所求两条之间所成角，且三角形为等腰直角三角形你给，所以.‎ 考点：空间两条直线所成的角.‎ ‎【思路点晴】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利 用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决 ‎10.关于x的方程有解，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简原方程可得，，利用基本不等式求出的值域，可得的范围，从而可得结果.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（当且仅当，即，等号成立），‎ 故，实数的取值范围是，故选C.‎ ‎【点睛】已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎11.在正四棱锥中，,,分别是，，的中点．动点在线段上运动时，下列四个结论，不一定成立的为（ ）‎ ‎①；②；③平面；④平面.‎ A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面平行与垂直的判定逐个判断即可.‎ ‎【详解】作出如图的辅助线.‎ 对①,再正四棱锥中,因为,,面,面,且,故面.又因为,,分别是,,的中点,故面面,故面,因为面,故成立.故①成立.‎ 对②,当且仅当与重合时, .故②不一定成立.‎ 对③,由①有面面,又面,故平面.故③成立.‎ 对④, 当且仅当与重合时, 才有平面.故④不一定成立.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了线面线线平行与垂直的判定,属于中等题型.‎ ‎12.已知奇函数满足若当时，，，则实数的值可以是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数满足可得周期为4,化简后再逐个判断即可.‎ ‎【详解】因为奇函数满足,故,‎ ‎,‎ 所以,故周期为4.‎ 又故即.‎ 又当时,,故当时满足.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了函数性质的运用以及函数的求值等,属于中等题型.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13.计算：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数的基本运算求解即可.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数的基本运算,属于基础题型.‎ ‎14.设，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入自变量对应的区间求解即可.‎ ‎【详解】,‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的求值以及对数指数的基本运算等,属于基础题型.‎ ‎15.设、、为三条不同的直线，、、为三个不同的平面，则 ‎①若，，，则；‎ ‎②若，，，则；‎ ‎③若，，，则；‎ ‎④若，，，则；‎ ‎⑤若，，，，则．‎ 以上命题正确的有________________‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线线，线面，面面的位置关系以及性质对命题逐个进行判断即可得到答案.‎ ‎【详解】①若，，，则或相交；‎ ‎②若，，，由线面垂直的判定定理可得：；‎ ‎③若，，，则与相交平行或为异面直线，因此不正确；‎ ‎④若，，，由线面平行的判定定理及其性质定理可得：；‎ ‎⑤若，，，，则与不一定垂直．‎ 综上可得：②④正确．‎ 故答案②④．‎ ‎【点睛】本题考查线线，线面，面面的位置关系的判断，考查有关性质定理和判定定理的应用，属于基础题.‎ ‎16.设，，均为正数，且，，.则，，的大小关系为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出与的图像分析交点情况即可.‎ ‎【详解】画出与的图像如图,‎ 由图像知, ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了指对数函数图像的运用,根据交点判断函数值大小,属于中等题型.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知全集为,集合，，‎ 求：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）‎ ‎【答案】(1) ；(2) ；‎ ‎(3) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交并补集的运算求解即可.‎ ‎【详解】(1)由集合,得 ‎(2) ,,故 ‎(3),故 ‎【点睛】本题主要考查了交并补的基本运算,属于基础题型.‎ ‎18.已知函数 ，.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)试判断并证明函数的奇偶性；‎ ‎(3)试判断并证明函数在区间上的单调性并求的值域．‎ ‎【答案】(1),； (2)偶函数；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）列方程组解出；（2）求出f（-x），判断与f（x）的关系；（3）利用函数单调性定义证明，得出函数的单调性，根据单调性求出最值．‎ 试题解析：(1)因为所以;‎ ‎(2)由（1）知的定义域为，因为 所以为偶函数；‎ ‎（3）对任意，则 =‎ ‎=，则所以在区间上为增函数，‎ 又为偶函数，所以在区间上是减函数，所以的最小值为=2 ,‎ 所以值域为.‎ ‎19.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为，高.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大（高不变）；二是高度增加（底面直径不变）.‎ ‎（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；‎ ‎（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；‎ ‎（3）哪个方案更经济些？‎ ‎【答案】（1），（2），（3）方案二B比方案一更经济 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16,则仓库的体积 ‎ ‎ 如果按方案二，仓库的高变成8，‎ 体积 ‎ ‎（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16,半径为8.‎ 锥的母线长为 ‎ 则仓库的表面积 ‎ 如果按方案二，仓库的高变成8m.，‎ 棱锥的母线长为， ‎ 则仓库的表面积 ‎ ‎（3） ‎ 考点：锥体的体积表面积 点评：锥体的高为，底面圆半径为，则体积，表面积 ‎20.四面体及其三视图如图所示,平行于棱，的平面分别交四面体的棱，，，于点，，，.‎ ‎(1) 求四面体的体积;‎ ‎(2)证明:四边形是矩形.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由三视图知四面体以为高, 为底面,直接求体积即可.‎ ‎(2)根据线面平行的性质即可知四边形是平行四边形,再根据平面BDC即可证明四边形是矩形 ‎【详解】(1)由该四面体的三视图可知,,,,,,‎ 平面.‎ ‎∴四面体体积.‎ ‎(2)平面,‎ 平面平面,‎ 平面平面,‎ ‎,.‎ ‎.‎ 同理,,.‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ 又平面BDC,,.‎ ‎∴四边形是矩形.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三视图以及线面平行性质等,属于基础题型.‎ ‎21.如图，四面体中，平面，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）在线段上存在点，当时，使得．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由勾股定理得，又平面，可证，利用线面垂直的判定定理即可得到证明；（Ⅱ）在平面内，过点作，垂足为，在平面内，过点作，交于点，连结，利用线面垂直的判断定理可证平面，利用线面垂直的性质可证，在中，解三角形即可得解的值．‎ 详解】（Ⅰ）由题知：，，．‎ 则，所以，‎ 又因为平面，所以，‎ 因为，‎ 所以平面；‎ ‎（Ⅱ）在线段上存在点，当时，使得．‎ 理由如下：‎ 在平面内，过点作，垂足为，‎ 在平面内，过点作，交于点，连结，‎ 由平面，知，‎ 所以，所以平面，‎ 又因为平面，所以，‎ 在中，，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的判定定理及性质定理的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.‎ ‎22.如图，矩形的长是宽的2倍，将沿对角线翻折，使得平面平面，连接．‎ ‎（Ⅰ）若，计算翻折后得到的三棱锥的体积；‎ ‎（Ⅱ）若、、、四点都在表面积为的球面上，求三棱锥的表面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由，得，，求出三角形的面积，再由等面积法求出三棱锥的高，利用等体积法求三棱锥的体积；（Ⅱ）取中点，可知为三棱锥的外接球的球心，求得半径，得,然后分别求解三角形可得三棱锥的表面积．‎ ‎【详解】（Ⅰ）若，则，，‎ 则，三棱锥的高为，‎ 故；‎ ‎（Ⅱ）取中点，则在直角三角形中，‎ 得，同理在直角三角形中，，‎ ‎∴球的半径，由，可得，则．‎ 又，∴，，‎ ‎∴，‎ 过点作于，再过点作于，连接，得，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴，‎ 三棱锥的表面积为．‎ ‎【点睛】本题考查多面体体积和表面积的求法，考查等体积法的应用，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.‎ ‎ ‎