2018-2019学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中高一下学期优生联考数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中高一下学期优生联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省湘潭县一中、双峰一中、邵东一中、永州四中高一下学期优生联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】， ，故选D.‎ ‎2．若直线：过点，：，则直线与 ‎ A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．相交于点 ‎【答案】C ‎【解析】利用直线：过点，求出a，求出两条直线的斜率，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：直线：过点，‎ ‎，‎ ‎，‎ 直线：的斜率为2，‎ ‎：的斜率为，‎ 直线与：互相垂直．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎3．设，则的大小关系为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴，， ，∴．故选：B．‎ ‎4．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】对于A、B、D均可能出现，而对于C是正确的．‎ ‎5．已知函数，若，则等于　　‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用分段函数转化方程求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数，若，‎ 可得，‎ 可得，‎ 解得，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的应用，函数的零点与方程根的关系，是基础题．‎ ‎6．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为　　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图还原原几何体，可知原几何体是组合体，上半部分是半径为1的球的四分之一，下半部分是棱长为2的正方体，再由正方体及球的体积公式求解．‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原原几何体如图：‎ 由图可知，该几何体是组合体，上半部分是半径为1的球的四分之一，‎ 下半部分是棱长为2的正方体，‎ 则该机器零件的体积为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．‎ ‎7．如图，为正方体，下面结论：①平面；②；③平面；④直线与所成的角为45°．其中正确结论的个数是( )‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】中，由正方体的性质得，所以平面，故正确；‎ 中，由正方体的性质得，而是在底面内的射影，由三垂线定理知，，故正确 中由正方体的性质得，由知，，，同理可证 ‎，故平面内的两条相交直线，所以平面，故正确；‎ 中异面直线与所成的角就是直线与所成的角，故为异面直线与所成的角，在等腰直角中，，故直线与所成的角为45°，故正确；‎ 故答案选 ‎8．已知函数其中e为自然对数的底数，a、b、且满足，，则的值　　‎ A．一定大于零 B．一定小于零 C．可能等于零 D．一定等于零 ‎【答案】B ‎【解析】由条件可得可得函数为奇函数，且在R上单调递减，由，，，利用单调性和奇偶性可得．‎ ‎【详解】‎ 由于，‎ 可得，‎ 从而可得函数为奇函数，‎ 显然，在R上单调递减．‎ 根据，，，可得，，，‎ 故有，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，奇函数的性质应用，属于中档题．‎ ‎9．函数的大致图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵函数 ，可得 ，  是奇函数，其图象关于原点对称，排除C，D；当时， ，令 得：，得出函数在上是增函数，排除B，故选A.‎ 点睛：在解决函数图象问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断.本题首先根据，得出是奇函数，其图象关于原点对称.再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项．‎ ‎10．设定义域为的函数，则关于的方程有个不同实数解的充要条件是( )‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以由题设可知不成立，排除答案B；当 时，如取，则无解，故应排除答案A；若，也不合题意，所以答案D；当且时，方程可化为符合题意，应选答案C。‎ 点睛：解答本题所运用的数学思想方法不是正面进行求解，而是采用排除、筛选的方法，将题设提供的四个选择支中的四个答案逐一分析推断，排除和剔除错误的答案，选出正确的命题的答案，从而使得问题获解。‎ ‎11．若的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出函数的图象，再根据的几何意义求解．‎ ‎【详解】‎ 由得，其图象如图所示 设，则直线经过A点时t取最小值，经过B点时t取最大值，‎ 又因为，故t的最小值为，‎ 当直线与半圆且与点B时t取得最大值，‎ 由点到直线的距离公式可知，又，故，从而t的取值范围是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎12．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线，,和圆：相切，则实数的取值范围是（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】当两平行直线和圆相交时，由，求得a的范围，当两平行直线和圆相离时，由，求得a的取值范围再把以上所求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求 ‎【详解】‎ 当两平行直线和圆相交时，有，解得．‎ 当两平行直线和圆相离时，有，解得或．‎ 故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求．‎ 故所求的a的取值范围是或，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 .‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】取BC的中点E，则,则即为所求，设棱长为2，则,‎ ‎。‎ ‎14．设，若恰有3个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出分段函数的图象，然后求解函数的最值，得到m的范围．‎ ‎【详解】‎ 的图象如图：，是二次函数的一部分，时取得最大值4，，是指数函数的一部分的图象，时，，由题意可知．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点以及函数与方程的应用，数形结合是解题的关键，考查计算能力．‎ ‎15．三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长是的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取AC中点G，连接DG，BG，得到两个三角形中心E，F，进而得到球心O，在三角形OEB中，求得半径，得解．‎ ‎【详解】‎ 如图，取AC中点G，连接DG，BG，‎ E，F分别为中心，外接球球心为O，‎ 易知OEGF为正方形，‎ 求得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了三棱锥外接球，难度适中．‎ ‎16．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即，，，则______写出所有正确结论的编号 四面体ABCD每个面的面积相等 四面体ABCD每组对棱相互垂直 连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分 从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长都可以作为一个三角形的三边长 ‎【答案】‎ ‎【解析】由对棱相等知四面体为长方体的面对角线组成的三棱锥，借助长方体的性质判断各结论是否正确即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示；‎ 由四面体的对棱相等可知四面体的各个面全等，‎ 它们的面积相等，则正确；‎ 当四面体棱长都相等时，四面体的每组对棱互相垂直，‎ 则错误；‎ 由长方体的性质可知四面体的对棱中点连线 必经过长方体的中心，‎ 由对称性知连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分，则正确；‎ 由，，，‎ 可得过四面体任意一点的三条棱的长为的三边长，则正确．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了棱锥的结构特征与命题真假的判断问题，解题的关键是把三棱锥放入长方体中，属于难题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，若函数在区间上的最大值为，最小值为，令．‎ 求的函数解析式；‎ 不要证明，请直接写出函数的单调区间，并求的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）在上单调递减，在上单调递增，最大值为4.‎ ‎【解析】根据题意，分析可得，由a 的范围分析可得，讨论a的取值范围，分析可得；‎ 由的结论，分析的单调性，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，，由得，‎ 则，‎ 当，即时，；‎ 当，即时，，‎ 则；‎ 在上单调递减，在上单调递增，且的图象连续不断；‎ 又由，，‎ 所以的最大值是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的性质，涉及函数的最值，注意讨论a的取值范围．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，为与的交点，为棱上一点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若平面，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）证明AC平面PBD即可。‎ ‎（2）由PD∥平面EAC可得：E为线段PB的中点，利用体积转换即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由底面ABCD是菱形可得：ACBD，‎ 又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC.‎ PD和BD为平面PBD的两条相交直线，‎ 所以AC平面PBD，又AC平面EAC 所以平面EAC⊥平面PBD.‎ ‎（2）由PD∥平面EAC可得：,又O为BD的中点，‎ 所以E为线段PB的中点，‎ 由题可得：,‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了面面垂直的证明，考查转化思想及空间思维能力，还考查了体积计算，属于基础题。‎ ‎19．已知平面五边形是轴对称图形(如图1)，BC为对称轴，AD⊥CD，AD=AB=1，，将此五边形沿BC折叠，使平面ABCD⊥平面BCEF，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题.‎ ‎（1）证明：AF∥平面DEC；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析，（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）作 交 于点 ，连接 ．由已知条件得 ．所以 面．同理： 面 ．由此能证明 平面AFB． （2）过G作GH⊥AD于点H，连接HE.由（1）知EG⊥BC，又平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF=BC，所以EG⊥平面ABCD，所以EG⊥AD.可得AD⊥平面EHG，则AD⊥HE，则∠EHG即为二面角的平面角. 在中，即可求出二面角 的余弦值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图，过D作DG⊥BC于点G，连接GE，‎ 因为BC为对称轴，所以AB⊥BC，则有AB∥DG，又AB⊂平面ABF，‎ 所以DG∥平面ABF，同理EG∥平面ABF.又DG∩EG=G，所以平面DGE∥平面ABF.‎ 又平面AFED∩平面ABF=AF，平面AFED∩平面DGE=DE，所以AF∥DE，‎ 又DE⊂平面DEC，所以AF∥平面DEC.‎ ‎（2）如图，过G作GH⊥AD于点H，连接HE.由（1）知EG⊥BC，又平面ABCD⊥平面BCEF，平面ABCD∩平面BCEF=BC，所以EG⊥平面ABCD，所以EG⊥AD.‎ 又EG∩HG=G，所以AD⊥平面EHG，则AD⊥HE，‎ 则∠EHG即为二面角的平面角. ‎ 由AD⊥CD，AD=AB=1，，得G为BC的中点，，，.‎ 因为为直角三角形，所以，‎ 则二面角的余弦值为.‎ 点睛：作二面角的平面角主要有3种方法：‎ ‎ （1）定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2条射线，这2条射线所夹的角即为二面角的平面角； ‎ ‎（2）垂面法：作垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角即为二面角的平面角；‎ ‎ （3）三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）作另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B）再作棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的平面角.‎ ‎20．已知，直线l：，设圆C的半径为1，圆心在l上．‎ 若圆心C也在直线上，过A作圆C 的切线，求切线方程；‎ 若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a取值范围．‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】根据圆心在直线l：上也在直线上，求得圆心坐标，可得过A的圆C的切线方程．‎ 设圆C的方程为，再设，根据，求得圆D：，根据题意，圆C和圆D有交点，可得，即，由此求得a的范围．‎ ‎【详解】‎ 根据圆心在直线l：上，若圆心C也在直线上，‎ 则由，求得，可得圆心坐标为．‎ 设过的圆C的切线，斜率显然存在，设方程为，即，‎ 根据圆心到直线的距离等于半径1，可得，求得或，‎ 切线方程为或．‎ 根据圆心在直线l：上，可设圆的方程为．‎ 若圆C上存在点M，使，设，，‎ ‎，化简可得，故点M在以为圆心、半径等于2的圆上．‎ 根据题意，点M也在圆C上，故圆C和圆D有交点，，即，‎ 求得，且，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，求圆的标准方程，属于中档题．‎ ‎21．已知函数，函数．‎ Ⅰ若函数在和上单调性相反，求的解析式；‎ Ⅱ若，不等式在上恒成立，求a的取值范围；‎ Ⅲ已知，若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数a的范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】Ⅰ若函数在和上单调性相反，得到是对称轴，进行求解即可求的分析式；‎ Ⅱ利用参数分离法将不等式在上恒成立转化为求最值问题即可，求a的取值范围；‎ Ⅲ根据函数零点和方程之间的关系，判断函数的单调性，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ由单调性知，函数为二次函数，‎ 其对称轴为，解得，‎ 所求 Ⅱ依题意得，‎ 即在上恒成立，‎ 转化为在上恒成立，‎ 在上恒成立，‎ 转化为在上恒成立，‎ 令，则转化为在上恒成立 即，所以 ‎ Ⅲ，‎ 设，，，‎ 则原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点．‎ 当时，在内为减函数，，为增函数，‎ 且，，函数在区间有唯一的交点；‎ 当时，图象开口向下，对称轴为，‎ 在内为减函数，，为增函数，‎ 且，‎ ‎.‎ 当时，图象开口向上，对称轴为，‎ 在内为减函数，，为增函数，‎ 则由，‎ ‎.‎ 综上，所求a的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次函数的性质，以及不等式恒成立问题，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．‎ ‎22．已知圆经过两点，且圆心在直线l：上．‎ Ⅰ求圆的方程；‎ Ⅱ求过点且与圆相切的直线方程；‎ Ⅲ设圆与x轴相交于A、B两点，点P为圆上不同于A、B的任意一点，直线PA、PB交y轴于M、N点当点P变化时，以MN为直径的圆是否经过圆内一定点？请证明你的结论．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）经过定点．‎ ‎【解析】Ⅰ设圆圆心为，由求得a的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程．‎ Ⅱ当切线斜率不存在时，求得的方程；当切线斜率存在时，设切线：，由圆心到切线的距离等于半径求得k的值，可得切线的方程．‎ Ⅲ设，由条件求得M、N的坐标，可得圆的方程再根据定点在x轴上，求出定点的坐标．‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ法一：设圆圆心为，由得，，‎ 解得，，半径为，‎ 所以圆：．‎ Ⅱ当切线斜率不存在时，：．‎ 当切线斜率存在时，设切线：，‎ 即，由圆心到切线的距离，‎ 解得，此时：．‎ 综上：：或 ‎ Ⅲ设，则．‎ 又，，‎ 所以：，，：， ‎ 圆的方程为．‎ 化简得．‎ 由动点关于x轴的对称性可知，定点必在x轴上，令，得．‎ 又点在圆内，‎ 所以当点P变化时，以MN为直径的圆经过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，圆经过定点问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎