高考数学专题复习教案： 二项式定理备考策略

高考数学专题复习教案： 二项式定理备考策略

二项式定理备考策略 主标题：二项式定理备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：二项式定理，二项式系数，项系数，备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 考点一　通项公式及其应用 ‎【例1】 (1)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.‎ ‎(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于(　　)．‎ A．－4 B．－3 C．－2 D．－1‎ 解析　(1)Tr＋1＝C()5－rr＝，令－r＝0，得r＝3，∴A＝－C＝－10.‎ ‎(2)(1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5，‎ 又(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝Cx，T3＝Cx2.‎ ‎∴展开式中x2的系数为C＋a·C＝5，∴a＝－1.‎ 答案　(1)－10　(2)D ‎【备考策略】 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ 考点二　二项式系数的性质与各项系数和 ‎【例2】 (1)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则展开式中系数最大的项是(　　)．‎ A．15x2 B．20x3 C．21x3 D．35x3‎ ‎(2)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．‎ 审题路线　(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．‎ ‎(2)根据二项式系数性质，由C＝C，确定n的值，求出的系数．‎ 解析　(1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，‎ 令x＝0，得a0＝1.‎ 令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6，‎ 又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，‎ ‎∴(1＋x)6的展开式系数最大项为T4＝Cx3＝20x3.‎ ‎(2)由题意知，C＝C，∴n＝8.‎ ‎∴Tr＋1＝C·x8－r·r＝C·x8－2r，‎ 当8－2r＝－2时，r＝5，∴的系数为C＝C＝56.‎ 答案　(1)B　(2)56‎ ‎【备考策略】 (1)第(1)小题求解的关键在于赋值，求出a0与n的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为C＝C，而求错n的值．‎ ‎(2)求解这类问题要注意：①区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；②根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.‎ 考点三　二项式定理的应用 ‎【例3】设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝(　　)．‎ A．0 B．1 C．11 D．12‎ 解析　512 012＋a＝(52－1)2 012＋a ‎＝C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a，‎ ‎∵C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011能被13整除．‎ 且512 012＋a能被13整除，‎ ‎∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除．‎ 因此a可取值12.‎ 答案　D ‎【备考策略】 (1)本题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012‎ ‎，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．‎ ‎(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．‎