湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试 数学（理）

湖北省武汉市武昌区2020届高三元月调研考试 数学（理）

武昌区2020届高三年级元月调研考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合 ，，若，则 ‎ A． B. C． D． ‎ ‎2．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于 ‎ A．第一象限 B. 第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知是各项均为正数的等比数列，，，则 ‎ A． B. C． D． ‎ ‎4．已知，，，则，，的大小关系为 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．等腰直角三角形中，，，点是斜边上一点，且，那么 ‎ ‎ A． B. C．2 D．4 ‎ ‎6．某学校成立了A、B、C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A ‎·11·‎ 学习小组的概率是 A． B. C． D． ‎ ‎7．已知数列的前项和，设，为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ‎ ‎ A． B. C． D． ‎ ‎8．已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于点，，，抛物线的准线与轴交于点，于点，则四边形的面积为 ‎ A． B. C． D． ‎ ‎9．如图，已知平行四边形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成.若为线段的中点，则在翻折过程中，给出以下命题：‎ A B E C D M A1‎ ‎①线段的长是定值；‎ ‎②存在某个位置，使；‎ ‎③存在某个位置，使平面.‎ 其中，正确的命题是 A．① B．①③ ‎ C．②③ D．①②③‎ ‎10．函数（，，）的部分图象如图所示，给出下列说法：‎ ‎①函数的最小正周期为；‎ ‎②直线为函数的一条对称轴；‎ ‎③点为函数的一个对称中心；‎ ‎④函数的图象向右平移个单位后得 到的图象.‎ 其中正确说法的个数是 ‎·11·‎ ‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4 ‎ ‎11．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支交于A，B两点，记的内切圆半径为r1，的内切圆半径为r2，则的值等于 A．3 B．‎2 ‎‎ ‎ C． D． ‎ ‎12．已知函数，的最小值分别为，，则 A． B． ‎ C． D．，的大小关系不确定 ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．的展开式中，项的系数是______.‎ ‎14．已知一组数据10，5，4，2，2，2，，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则所有可能的取值为______. ‎ ‎15．过动点作圆：的切线，为切点.若(为坐标原点)，则的最小值为______. ‎ ‎16．用表示函数在闭区间上的最大值，若正数a满足，则a的值为 . ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本题12分）‎ 在中，已知，，是边上的一点，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的面积.‎ ‎·11·‎ A1‎ C B A B1‎ D C1‎ E F ‎18．（本题12分）‎ 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎19．（本题12分）‎ 已知椭圆：的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭圆上的点的最短距离为1. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值.‎ ‎20．（本题12分）‎ ‎0.00050‎ ‎0.00075‎ ‎0.00100‎ ‎0.00125‎ ‎1200‎ ‎1000‎ ‎800‎ ‎600‎ ‎400‎ ‎200‎ ‎0‎ 金额（单位：元）‎ 频率 组距 某健身馆在2019年7、8两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估2020年7、8两月客户投入的健身消费金额，健身馆随机抽样统计了2019年7、8两月100名客户的消费金额，分组如下：0，200，200，400，400，600，…，1000，1200（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）请用抽样的数据预估2020年7、8两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎·11·‎ ‎（2）若把2019年7、8两月健身消费金额不低于800元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“健身达人”与性别有关？‎ 健身达人 非健身达人 总计 男 ‎10‎ 女 ‎30‎ 总计 ‎（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．‎ 方案一：每满800元可立减100元； ‎ 方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．‎ 若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．‎ 附：‎ P（）‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎.‎ ‎21．（本题12分）‎ 已知函数. ‎ ‎（1）若对恒成立，求实数a的值；‎ ‎（2）若存在不相等的实数，，满足，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）‎ ‎·11·‎ 在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为.‎ ‎ （1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与轴交于点，与相交于、两点，求的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）‎ ‎ （1）已知，若存在实数，使成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，，且，求证：．‎ ‎·11·‎ 武昌区2020届高三年级元月调研考试 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题： ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A B D D D A C B C A A 二、填空题： ‎ ‎13. 240 14.，3，17 15. 16.或 三、解答题： ‎ ‎17．（本题12分）‎ 在中，已知，，是边上的一点，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的面积.‎ 解：（1）在中，由余弦定理，得，‎ 所以，从而.‎ 在中，由正弦定理，得，所以. ……………（4分）‎A B C D ‎（2）由（1）知，且.‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以. ……………（12分）‎ A1‎ C B A B1‎ D C1‎ E F G H ‎18．（本题12分）‎ 解：（1）因为，，所以.‎ 因为平面，平面，所以.‎ 因为，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ ‎·11·‎ 易证，因为，‎ 所以平面.‎ 因为平面，‎ 所以平面平面. ……………（4分）‎ ‎（2）方法一：过作，垂足为，过作于，连结，‎ 则可证为二面角的平面角.‎ 在中，求得；在中，求得.‎ 所以. ……………………………（12分）‎ 方法二：建系，设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦.‎ ‎19．（本题12分）‎ 解：（1）由及，得，.‎ 所以，椭圆的方程为. ……………………………（4分）‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，整理，得 ‎.‎ 由，得.‎ 设，，则，.‎ 于是.‎ 又，坐标原点到直线的距离为.‎ 所以，的面积.‎ 因为，‎ 所以，.‎ 当直线的斜率不存在时，设其方程为，同理可求得 ‎·11·‎ ‎.‎ 所以，面积的最大值为. ……………………………（12分）‎ ‎20．（本题12分）‎ 解：（1）因为 （元），‎ 所以，预估2020年7、8两月份人均健身消费为620元． ……………（2分）‎ ‎（2）列联表如下：‎ 健身达人 非健身达人 总计 男 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 女 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎…‎ 因为，因此有95%的把握认为“健身达人”与性别有关系． ……………………………………（6分）‎ ‎（3）若选择方案一：则需付款900元； ‎ 若选择方案二：设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000． ‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以（元）‎ 因为，所以选择方案二更划算． ……………………………（12分）‎ ‎21．（本题12分）‎ 解：（1）令，则.‎ 由题意，知对恒成立，等价.‎ 当时，由知在上单调递增. ‎ 因为，所以不合题意；‎ 当时，若，则，若，则，‎ 所以，在单调递减，在上单调递增.‎ 所以.‎ 记，则.‎ 易知在单调递增，在单调递减，‎ 所以，即.‎ 而，‎ 所以，解得. ……………………………（6分）‎ ‎（2）因为，所以.‎ 因为，，所以.‎ ‎·11·‎ 令，则.‎ 记，则，所以在上单调递增.‎ 又，由，得，‎ 所以，即. ……………………………………（12分）‎ 另证：不妨设，因为，所以为增函数.‎ 要证，即要证，即要证.‎ 因为，即要证.‎ 记，则.‎ 所以，从而，得证.‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）‎ 解：（1）方程可化为.‎ 方程可化为. ……………………（5分）‎ ‎（2）将代入，得.‎ 设方程的两根分别为，，则 ‎. ………………………………（10分）‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（本题10分） ‎ 解：（1）方法一：因为，‎ 因为存在实数，使成立，所以，解得.‎ 方法二：当时，符合题意.‎ ‎·11·‎ 当时，因为所以.‎ 因为存在实数，使成立，所以.‎ 当时，同理可得.‎ 综上，实数的取值范围为. ……………………………（5分）‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号. ……………………………（10分）‎ ‎·11·‎