四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题

四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题

‎2020年春四川省双流棠湖中学高二第四学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.命题“，使”的否定为 ‎ A. B.‎ C.， D.，‎ ‎2.复数，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知平面，的法向量分别为和（其中），若，则的值为 ‎ A. B.-5 C. D.5‎ ‎4.已知方程表示双曲线，则的取值范围是 ‎ A. B.‎ C.或 D.‎ ‎5.若双曲线的离心率，则其渐近线方程为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 A. B. C. D.‎ ‎7.函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8.将二颗骰子各掷一次，设事件A=“二个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于 ‎ A. ‎10‎‎11‎ B. ‎5‎‎11‎ C. ‎5‎‎18‎ D. ‎‎5‎‎36‎ ‎9.设随机变量的分布列为，则等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎11.用数学归纳法证明时，由“”等式两边需同乘一个代数式，它是 A. B. C. D.‎ ‎12.函数在上有两个零点，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知y=kx+b是函数f(x)=lnx+x的切线，则‎2k+b的最小值为______．‎ ‎14.已知抛物线y2＝4x，过点Q(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值是 ‎________.‎ ‎15.已知，且，则的最小值为________.‎ ‎16.已知能够被15整除，则________.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.（12分）2017年10月18日上午9:00，中国共产党第十九次全国代表大会在人民大会堂开幕.习近平代表第十八届中央委员会向大会作了题为《决胜全面建成小康社会 夺取新时代中国特色社会主义伟大胜利》的报告. 人们通过手机、电视等方式关注十九大盛况. 某调查网站从观看十九大的观众中随机选出200人，经统计这200人中通过传统的传媒方式电视端口观看的人数与通过新型的传媒方式PC端口观看的人数之比为4∶1.将这200人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，其中统计通过传统的传媒方式电视端口观看的观众得到的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（Ⅰ）求a的值及通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄；‎ ‎(II)把年龄在第1，2，3组的观众称为青少年组，年龄在第4，5组的观众称为中老年组，若选出的200人中通过新型的传媒方式PC端口观看的中老年人有12人，请完成下面列联表，则能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关？‎ 通过PC端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 中老年 合计 附：（其中样本容量）.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎18.（12分）已知函数是的导函数， 且.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)求函数在区间上的最值.‎ ‎19.（12分）如图，四边形为正方形，平面，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（12分）已知函数， ．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（II）当时， 恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎21.（12分）已知椭圆过点，且其离心率为，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（II）是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（II）若与交于两点，设，求.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数fx=‎x-2‎ ‎（Ⅰ）解不等式fx+f‎2x+1‎≥6‎；‎ ‎（Ⅱ）对a+b=1‎a,b>0‎及‎∀x∈R，不等式fx-m-f‎-x≤‎4‎a+‎‎1‎b恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎2020年春四川省双流棠湖中学高二第四学月考试 理科数学答案 ‎1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A 9.D 10.A 11.D 12.B ‎13.‎2+ln2‎ 14.32 15.9 16.14‎ ‎17.（1）由频率分布直方图可得：，解得，所以通过传统的传媒方式电视端口观看的观众的平均年龄为：‎ ‎.‎ ‎（2）由题意得列联表：‎ 通过PC端口观看十九大 通过电视端口观看十九大 合计 青少年 ‎28‎ ‎96‎ ‎124‎ 中老年 ‎12‎ ‎64‎ ‎76‎ 合计 ‎40‎ ‎160‎ ‎200‎ 计算得的观测值为，‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为观看十九大的方式与年龄有关.‎ ‎18.解: (I) ，‎ ‎, ‎ ‎(II) 由(I)可得:，‎ 令，解得，列出表格如下:‎ 极大值 极小值 又 所以函数在区间上的最大值为，最小值为 ‎19.‎ 以为坐标原点，线段的长为单位长，射线为轴的正半轴建立空间直角坐标系.‎ ‎（1）证明：依题意有，，，‎ 则，，.‎ 所以，.‎ 即，.‎ 故平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）依题意有，，.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即.因此可取.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，可取，所以.‎ 故二面角的余弦值为.‎ ‎20.（1）的定义域为， ， 对实数分情况讨论，得出单调性；（2） ，令，所以 令， ，再分情况讨论，求出实数的取值范围。‎ 试题解析：（1）的定义域为， ， ‎ 若，则恒成立，∴在上单调递增； ‎ 若，则由，‎ 当时， ；当时， ，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减．‎ 综上可知：若， 在上单调递增；‎ 若， 在上单调递增，在上单调递减． ‎ ‎（2），‎ 令， ，‎ ‎，令， ‎ ‎①若， ， 在上单调递增，‎ ‎，‎ ‎∴在上单调递增, ，‎ 从而不符合题意． ‎ ‎②若，当， ，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 从而，‎ ‎∴在上单调递增, ，‎ 从而不符合题意．……………………10分 ‎③若， 在上恒成立，‎ ‎∴在上单调递减， ，‎ ‎∴在上单调递减, ，‎ 综上所述，a的取值范围是．‎ ‎21.解：（1）椭圆经过点，∴，又∵，解之得，.‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.‎ ‎∵，在椭圆上，∴，∴.‎ ‎∴到直线的距离为，所以.‎ 当直线的斜率存在时，设的方程为，‎ 由得.‎ 设，，则，.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎∴，即.‎ ‎∴到直线的距离为，‎ 故存在定圆与直线总相切.‎ ‎22.由,得,‎ 化为直角坐标方程得,‎ 即曲线的直角坐标方程为.‎ 在直线的参数方程中,由,得,‎ 代入,可得,‎ 即直线的普通方程为.‎ 把代入曲线的直角坐标方程，‎ 得,‎ 整理得.‎ 设对应的参数分别为,则, ,显然.‎ 设,,‎ 则，‎ 所以.‎ ‎23.（Ⅰ）‎fx+f‎2x+1‎=x-2‎+‎2x-1‎=‎‎3-3x,x<‎1‎‎2‎,‎x+1,‎1‎‎2‎≤x≤2,‎‎3x-3,x>2.‎ 当x<‎‎1‎‎2‎时，由‎3-3x≥6‎，解得x≤-1‎；‎ 当‎1‎‎2‎‎≤x≤2‎时，x+1≥6‎不成立；‎ 当x>2‎时，由‎3x-3≥6‎，解得x≥3‎.‎ 所以不等式fx≥6‎的解集为‎-∞,-1‎‎∪‎‎3,+∞‎.‎ ‎（Ⅱ）因为a+b=1‎a,b>0‎，‎ 所以‎4‎a‎+‎1‎b=a+b‎4‎a‎+‎‎1‎b=5+‎4ba+ab≥5+2‎4ba‎⋅‎ab=9‎.‎ 由题意知对‎∀x∈R，x-2-m‎-‎-x-2‎≤9‎，‎ 即x-2-m‎-‎‎-x-2‎max‎≤9‎，‎ 因为x-2-m‎-‎-x-2‎≤x-2-m‎-‎x+2‎=‎‎-4-m，‎ 所以‎-9≤m+4≤9‎，解得‎-13≤m≤5‎.‎