北师大版高三数学复习专题-导数及其应用基础达标-第3章第2节
第三章 第二节
一、选择题
1．(原创题)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f ′(x)在(a，b)内的图像如图所示，
则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] A
[解析] 从 f ′(x)的图像可知 f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，
∴在(a，b)内只有一个极小值点．
2．已知曲线 y＝x4＋ax2＋1 在点(－1，a＋2)处切线的斜率为 8，则 a＝( )
A．9 B．6
C．－9 D．－6
[答案] D
[解析] y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8
∴a＝－6.
3．设 f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在 x＝1 和 x＝－1 处均有极值，则下列点中一定在 x 轴
上的是( )
A．(a，b) B．(a，c)
C．(b，c) D．(a＋b，c)
[答案] A
[解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知 1、－1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根，∴1
－1＝－2b
3a
，b＝0，故选 A．
4．在 R 上可导的函数 f(x)的图像如图所示，则关于 x 的不等式 x·f′(x)<0 的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[答案] A
[解析] 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上 f(x)递增，所以 f′(x)>0，使 xf′(x)<0 的范围为(－
∞，－1)；
在(－1,1)上 f(x)递减，所以 f′(x)<0，使 xf′(x)<0 的范围为(0,1)．
5．(文)(2014·新课标Ⅱ)若函数 f(x)＝kx－lnx 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 k 的取值
范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
[答案] D
[解析] 由条件知 f′(x)＝k－1
x
≥0 在(1，＋∞)上恒成立，∴k≥1.
把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．
(理)已知 f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a
0； ②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0； ④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案] C
[解析] ∵f ′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由 f ′(x)<0，得 10，
得 x<1 或 x>3，
∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．
又 a0，
y 极小值＝f(3)＝－abc<0.
∴00.
又 x＝1，x＝3 为函数 f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．
∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.
∴正确结论的序号是②③.
6．已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值
B．当 k＝1 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值
C．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极小值
D．当 k＝2 时，f(x)在 x＝1 处取到极大值
[答案] C
[解析] 本题考查函数零点的判断及函数的极值．
①当 k＝1 时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，此时 f ′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝ex·x－1，∴A、B 项
均错．
②当 k＝2 时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2
此时 f ′(x)＝ex(x－1)2＋(2x－2)(ex－1)
＝ex·x2－2x－ex＋2＝ex(x＋1)(x－1)－2(x－1)
＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，
易知 g(x)＝ex(x＋1)－2 的零点介于 0,1 之间，不妨设为 x0，则有
x (－∞，x0) x0 (x0,1) 1 (1，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
故 f(x)在 x＝1 处取得极小值．
二、填空题
7．(文)函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是________．
[答案] (2，＋∞)
[解析] f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，
由 f ′(x)>0 得 x>2.
(理)已知函数 f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数 f ′(x)的图像如图所示，则函数 f(x)的极小值
是________．
[答案] c
[解析] 由 f ′(x)的图像知，x＝0 是 f(x)的极小值点，
∴f(x)极小值＝f(0)＝C．
8．已知函数 f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m 是偶函数，函数 g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5 在(－
∞，＋∞)内单调递减，则实数 m 的值为________．
[答案] －2
[解析] ∵f(x)＝(m－2)x2＋(m2－4)x＋m 是偶函数，
∴m2－4＝0，∴m＝±2.
∵g(x)在(－∞，＋∞)内单调递减，
∴g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0 恒成立，
则 16＋12m≤0，解得 m≤－4
3
，∴m＝－2.
9．已知函数 f(x)＝ax－lnx，若 f(x)＞1 在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数 a 的取值范围
为________．
[答案] a≥1
[解析] 由已知得 a＞1＋lnx
x
在区间(1，＋∞)内恒成立．
设 g(x)＝1＋lnx
x
，则 g′(x)＝－lnx
x2
＜0 (x＞1)，
∴g(x)＝1＋lnx
x
在区间(1，＋∞)内单调递减，
∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，
∴1＋lnx
x
＜1 在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.
三、解答题
10．已知 f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在 x＝±1 时取得极值，且 f(1)＝－1.
(1)试求常数 a、b、c 的值；
(2)试判断 x＝±1 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．
[解析] (1)f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∵x＝±1 是函数 f(x)的极值点，且 f(x)在定义域内任意一点处可导．
∴x＝±1 使方程 f ′(x)＝0，
即为 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根，
由根与系数的关系得
－2b
3a
＝0
c
3a
＝－1
①
②
又 f(1)＝－1，
∴a＋b＋c＝－1③
由①②③解得 a＝1
2
，b＝0，c＝－3
2.
(2)由(1)知 f(x)＝1
2x3－3
2x，
∴f ′(x)＝3
2x2－3
2
＝3
2(x－1)(x＋1)，
当 x>1 或 x<－1 时，f ′(x)>0，
当－1－1
C．a≥－1
e D．a<－1
e
[答案] A
[解析] y′＝ex＋a，由条件知， ex＋a＝0
x>0
有解，
∴a＝－ex<－1.
(理)若函数 f(x)＝x2＋ax＋1
x
在(1
2
，＋∞)是增函数，则 a 的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[－1，＋∞)
C．[0,3] D．[3，＋∞)
[答案] D
[解析] 本题考查导数在函数单调性中的应用
f(x)＝x2＋ax＋1
x
在(1
2
，＋∞)是增函数．
∴f ′(x)＝2x＋a－1
x2>0 在(1
2
，＋∞)上恒成立
即 a>1
x2
－2x.
函数 y＝x－2 与函数 y＝－2x 在(1
2
，＋∞)上为减函数
∴a≥4－2×1
2
＝3.
2．已知向量 a，b 满足|a|＝2|b|≠0，且关于 x 的函数 f(x)＝1
3x3＋1
2|a|x2＋a·bx 在 R 上单
调递增，则 a，b 的夹角的取值范围是( )
A．[0，π
3) B．[0，π
3]
C．(π
3
，π] D．(π
3
，2π
3 ]
[答案] B
[解析] 易得 f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，函数 f(x)＝1
3x3＋1
2|a|x2＋a·bx 在 R 上单调递增时，
方程 x2＋|a|x＋a·b＝0 的判别式Δ＝|a|2－4a·b≤0，
设 a，b 的夹角为θ，
则|a|2－4|a||b|cosθ≤0，
将|a|＝2|b|≠0 代入上式得 1－2cosθ≤0，
即 cosθ≥1
2
，又 0≤θ≤π，故 0≤θ≤π
3.
二、填空题
3．f(x)＝x(x－c)2 在 x＝2 处有极大值，则常数 c 的值为________ .
[答案] 6
[解析] f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f ′(x)＝3x2－4cx＋c2，
f ′(2)＝0⇒c＝2 或 c＝6.若 c＝2，f ′(x)＝3x2－8x＋4，
令 f ′(x)>0⇒x<2
3
或 x>2，f ′(x)<0⇒2
30 恒成立，所以 f(x)＝xex 不是凸函数．
三、解答题
5．(2014·保定调研)已知函数 f(x)＝lnx＋ax－a2x2(a≥0)．
(1)若 x＝1 是函数 y＝f(x)的极值点，求 a 的值；
(2)若 f(x)<0 在定义域内恒成立，求实数 a 的取值范围．
[解析] (1)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－2a2x2＋ax＋1
x
.
因为 x＝1 是函数 y＝f(x)的极值点，
所以 f′(1)＝1＋a－2a2＝0，
解得 a＝－1
2
或 a＝1.因为 a≥0，所以 a＝1.
(2)当 a＝0 时，f(x)＝lnx，显然在定义域内不满足 f(x)<0；
当 a>0 时，令 f′(x)＝2ax＋1－ax＋1
x
＝0，
得 x1＝－ 1
2a
，x2＝1
a.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，1
a) 1
a
(1
a
，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
所以 f(x)max＝f(1
a)＝ln1
a<0，所以 a>1.
综上可得 a>1.
6．(文)(2015·北京东城区统一检测)已知函数 f(x)＝1
3x3＋mx2－3m2x＋1，m∈R.
(1)当 m＝1 时，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)若 f(x)在区间(－2,3)上是减函数，求 m 的取值范围．
[解析] (1)当 m＝1 时，f(x)＝1
3x3＋x2－3x＋1，
又 f ′(x)＝x2＋2x－3，所以 f ′(2)＝5.
又 f(2)＝5
3
，
所以所求切线方程为 y－5
3
＝5(x－2)，即 15x－3y－25＝0.
所以曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 15x－3y－25＝0.
(2)因为 f ′(x)＝x2＋2mx－3m2，
令 f ′(x)＝0，得 x＝－3m 或 x＝m.
当 m＝0 时，f ′(x)＝x2≥0 恒成立，不符合题意．
当 m>0 时，f(x)的单调递减区间是(－3m，m)，
若 f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则
－3m≤－2
m≥3
，解得 m≥3.
当 m<0 时，f(x)的单调递减区间是(m，－3m)，
若 f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则 m≤－2
－3m≥3
，解得 m≤－2.
综上所述，实数 m 的取值范围是 m≥3 或 m≤－2.
(理)(2014·江西理，18)已知函数 f(x)＝(x2＋bx＋b) 1－2x(b∈R)．
(1)当 b＝4 时，求 f(x)的极值；
(2)若 f(x)在区间(0，1
3)上单调递增，求 b 的取值范围．
[解析] (1)当 b＝4 时，f(x)＝(x＋2)2 1－2x的定义域为(－∞，1
2)，f ′(x)＝－5xx＋2
1－2x
，
由 f ′(x)＝0 得 x＝－2 或 x＝0.
当 x∈(－∞，－2)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；
当 x∈(－2,0)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；
当 x∈(0，1
2)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，
故 f(x)在 x＝－2 取极小值 f(－2)＝0，
在 x＝0 取极大值 f(0)＝4.
(2)f ′(x)＝－x[5x＋3b－2]
1－2x
，
因为当 x∈(0，1
3)时， －x
1－2x
<0，
依题意当 x∈(0，1
3)时，有 5x＋(3b－2)≤0，
从而5
3
＋(3b－2)≤0.
所以 b 的取值范围为(－∞，1
9]．
