2020-2021学年北师大版数学必修2习题：第二章 解析几何初步 阶段性评估2

2020-2021学年北师大版数学必修2习题：第二章 解析几何初步 阶段性评估2

阶段性评估(二) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．两圆 x2＋y2－1＝0 和 x2＋y2－4x＋2y－4＝0 的位置关系是 ( B ) A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 解析：由已知可得两圆的圆心与半径分别为 C1(0,0)，R1＝1，C2(2， －1)，R2＝3，则|C1C2|＝ 5∈(R2－R1，R2＋R1)＝(2,4)，所以两圆相交， 故应选 B. 2．经过 A(－1,1)，B(2,2)，C(3，－1)三点的圆的标准方程是( D ) A．(x＋1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝5 C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝5 解析：由已知条件可得，线段 AC 的垂直平分线方程为 y－0＝2(x －1)，即 y＝2x－2，线段 AB 的垂直平分线方程为 y－3 2 ＝－3 x－1 2 ， 即 y＝－3x＋3，这两条直线的交点坐标为 M(1,0)，又由|MA|＝ 5，可 得过三点 A，B，C 的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5，故应选 D. 3．已知直线 l 经过点 P(－4,2)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 截 得的弦长为 8，则直线 l 的方程是( D ) A．7x＋24y－20＝0 B．4x＋3y＋25＝0 C．4x＋3y＋25＝0 或 x＝－4 D．7x＋24y－20＝0 或 x＝－4 解析：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y－2＝k(x＋4)， 即 kx－y＋4k＋2＝0.由圆的方程可知圆心为(－1，－2)，半径 r＝5， 所以 |－k＋2＋4k＋2| k2＋1 2＋42＝25，解得 k＝－ 7 24 ，直线方程为 7x＋24y －20＝0；当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝－4，满足 截得的弦长为 8.所以直线 l 的方程为 7x＋24y－20＝0 或 x＝－4. 4．若方程 a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0 表示圆，则 a 的值为 ( A ) A．a＝－1 B．a＝2 C．a＝－1 或 a＝2 D．a＝1 或 a＝－2 解析：本题考查二元二次方程表示圆的条件．若方程表示圆，则 二次项系数相等，故 a2＝a＋2，解得 a＝2 或－1，当 a＝－1 时方程 为 x2＋y2－2x－1＝(x－1)2＋y2－2＝0，即(x－1)2＋y2＝2，方程表示圆； 当 a＝2 时，4x2＋4y2＋4x＋2＝0⇔x2＋y2＋x＋1 2 ＝0，由于 12＋02－ 4×1 2<0，故方程 x2＋y2＋x＋1 2 ＝0 不表示任何图形，因此 a＝－1. 5．过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x2＋y2－4y＝0 所截得的弦 长为( D ) A. 3 B．2 C. 6 D．2 3 解析：本题考查直线与圆的位置关系的应用．由题意得直线方程 为 y＝ 3x，则圆心到直线的距离 d＝|2| 2 ＝1，故弦长|AB|＝2 22－12＝ 2 3. 6．已知 Rt△ABC 的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，则直 线 ax＋by＋c＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是( B ) A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 解析：本题考查直线与圆的位置关系．由直角三角形勾股定理得 a2＋b2＝c2，所以圆心(0,0)到直线 ax＋by＋c＝0 的距离 d＝ |c| a2＋b2 ＝ 1＝r，所以直线与圆相切． 7．点 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上的动点，PA 是圆的切线，|PA|＝1， 则点 P 的轨迹方程是( B ) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2 C．y2＝2x D．y2＝－2x 解析：因为|PA|＝1，所以点 P 和圆心的距离恒为 2.设 P(x，y)， 圆心(1,0)，由两点间的距离公式，有(x－1)2＋y2＝2. 8．若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是( B ) A．(x－3)2＋ y－7 3 2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D. x－3 2 2＋(y－1)2＝1 解析：解法 1：由题意知圆心坐标为(x0,1)，∴排除 A，C.选项 B 中圆心(2,1)到直线 4x－3y＝0 的距离 d＝|4×2－3| 42＋32 ＝1，即 d＝r 成立， 故选 B. 解法 2：由题意设圆心为(x0,1)，∵d＝r，∴|4x0－3| 42＋32 ＝1⇒x0＝2 或 x0＝－1 2(舍去)．故选 B. 9．垂直于直线 y＝x＋1 且与圆 x2＋y2＝1 相切于第一象限的直线 方程是( A ) A．x＋y－ 2＝0 B．x＋y＋1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋ 2＝0 解析：由题意知直线方程可设为 x＋y－c＝0(c>0)，则圆心到直 线的距离等于半径 1，即|0＋0－c| 12＋12 ＝1，c＝ 2，故所求方程为 x＋y－ 2＝0. 10．若直线 l1：y＝x，l2：y＝x＋2 与圆 C：x2＋y2－2mx－2ny＝0 的四个交点把圆 C 分成的四条弧长相等，则 m＝( A ) A．0 或－1 B．0 或 1 C．1 或－1 D．0 或 1 或－1 解析：由题意知，四条弧长相等，故圆心到直线的距离 d＝ 2 2 r. 圆心为(m，n)，半径为 m2＋n2，两平行线的距离为 2 2 ＝ 2r，解得 r ＝1＝ m2＋n2，m2＋n2＝1.依题意 d＝|m－n| 2 ＝ 2 2 ，两边平方得 2mn ＝0.当 m＝0 时，n＝±1，当 n＝0 时，m＝±1，但圆心(1,0)，(0，－1) 不在这两平行线间，不符合题意，故 m＝0 或－1. 11．台风中心从 A 地以每小时 20 km 的速度向东北方向移动，离 台风中心 30 km 内的地区为危险地区，城市 B 在 A 地正东 40 km 外， B 城市处于危险地区内的时间为( B ) A．0.5 h B．1 h C．1.5 h D．2 h 解析： 如图建立直角坐标系，过点 B 作 BC⊥AF，交 AF 于点 C.以点 B 为圆心，30 为半径的圆交 AF 于点 E，F，连接 BE，BF.在 Rt△OBC 中，|BC|＝40× 2 2 ＝20 2，|BE|＝30， ∴|EC|＝ 302－20 22＝10，∴|EF|＝20. ∴B 城市处于危险地区的时间为20 20 ＝1(h)． 12．已知圆 C：x2＋y2＝3，从点 A(－2,0)观察点 B(2，a)，要使 视线不被圆 C 挡住，则 a 的取值范围是( D ) A. －∞，－4 3 3 ∪ 4 3 3，＋∞ B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－2 3)∪(2 3，＋∞) D．(－∞，－4 3)∪(4 3，＋∞) 解析： 设过点 A(－2,0)与圆 C：x2＋y2＝3 相切的直线为 y＝k(x＋2)，则 |2k| 1＋k2 ＝ 3，解得 k＝± 3，∴切线方程为 y＝± 3(x＋2)．由 A 点向 圆 C 引 2 条切线，只要点 B 在切线之外，那么就不会被圆 C 遮挡．在 y＝± 3(x＋2)中，取 x＝2，得 y＝±4 3.从 A 点观察 B 点，要使视线 不被圆 C 挡住，需 a>4 3，或 a<－4 3.∴a 的取值范围是(－∞，－ 4 3)∪(4 3，＋∞)．故选 D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案 填写在题中横线上) 13．经过原点，圆心在 x 轴的负半轴上，半径为 2 的圆的方程是 (x＋2)2＋y2＝4. 解析：圆心是(－2,0)，半径是 2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝ 4. 14．经过点 A(3,1)，且被圆 x2＋y2＝16 所截得的弦长最短的直线 方程为 3x＋y－10＝0. 解析：设圆心为 O，当弦与 OA 垂直时弦最短． 15．与直线 3x－4y＋5＝0 平行且与圆 x2＋y2＝4 相切的直线的方 程是 3x－4y±10＝0. 解析：设与直线 3x－4y＋5＝0 平行的直线方程为 3x－4y＋a＝0， 由圆 x2＋y2＝4 的圆心(0,0)到 3x－4y＋a＝0 的距离等于圆的半径可得 d＝|a| 5 ＝2，解得 a＝±10，由此可得圆的切线方程为 3x－4y±10＝0. 16．已知点(x0，y0)是直线 x＋y＝2k－1 与圆 x2＋y2＝k2＋2k－3 的公共点，则 x0y0 的取值范围是 11－6 2 4 ，11＋6 2 4 . 解析：∵点(x0，y0)是直线 x＋y＝2k－1 与圆 x2＋y2＝k2＋2k－3 的 公 共 点 ， ∴ 圆 心 (0,0) 到 直 线 x ＋ y ＝ 2k － 1 的 距 离 d ＝ |1－2k| 2 ≤ k2＋2k－3，解得4－ 2 2 ≤k≤4＋ 2 2 .又∵圆 x2＋y2＝k2＋2k －3，∴k2 ＋2k－3>0，解得 k<－3 或 k>1，∴k 的取值范围为 4－ 2 2 ≤k≤4＋ 2 2 .∵点(x0，y0)是直线 x＋y＝2k－1 与圆 x2＋y2＝k2＋ 2k－3 的公共点， ∴ x0＋y0＝2k－1， x20＋y20＝k2＋2k－3， 得 2x0y0 ＝ 3k2 － 6k ＋ 4. 当 4－ 2 2 ≤k≤4＋ 2 2 时，2x0y0＝3k2－6k＋4 是关于 k 的增函数，代入可 得 x0y0 的取值范围为 11－6 2 4 ，11＋6 2 4 . 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 17．(10 分)已知直线 l 与圆 C 相交于点 P(1,0)和点 Q(0,1)． (1)求圆心所在的直线方程； (2)若圆 C 的半径为 1，求圆 C 的方程． 解：(1)∵PQ 中点为 1 2 ，1 2 ，且 kPQ＝－1， ∴圆心所在的直线方程为 y－1 2 ＝x－1 2 ，即 x－y＝0. (2)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1， 则 1－a2＋b2＝1， a2＋b－12＝1， 解得 a＝0， b＝0 或 a＝1， b＝1. ∴圆 C 的方程为 x2＋y2＝1 或(x－1)2＋(y－1)2＝1. 18．(12 分)已知圆 C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线 l：ax＋y＋2a＝ 0. (1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切； (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝2 2时，求直线 l 的方程． 解：将圆 C 的方程 x2＋y2－8y＋12＝0 配方得标准方程为 x2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切，则有|4＋2a| a2＋1 ＝2. 解得 a＝－3 4. (2)过圆心 C 作 CD⊥AB 交 AB 于点 D，则根据题意和圆的性质， 得 |CD|＝|4＋2a| a2＋1 ， |CD|2＋|DA|2＝22， |DA|＝1 2|AB|＝ 2， 解得 a＝－7 或 a＝－1. 故所求直线方程为 7x－y＋14＝0 或 x－y＋2＝0. 19．(12 分)已知一圆经过点 A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直 线 3x－y－2＝0 上． (1)求此圆的方程； (2)若点 D 为所求圆上任意一点，且点 C(3,0)，求线段 CD 的中点 M 的轨迹方程． 解：(1)方法一：由已知可设圆心 N(a,3a－2)．又由已知得|NA|＝ |NB|，即 a－32＋3a－2－12＝ a＋12＋3a－2－32，解得 a＝2. 于是圆 N 的圆心为 N(2,4)， 半径 r＝ a－32＋3a－2－12＝ 10. ∴圆 N 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. 方法二：∵A(3,1)，B(－1,3)，∴kAB＝ 3－1 －1－3 ＝－1 2 ，线段 AB 的 中点坐标为(1,2)，∴线段 AB 的垂直平分线的斜率为 2，方程为 y－2 ＝2(x－1)，即 2x－y＝0. 由方程组 2x－y＝0， 3x－y－2＝0， 解得 x＝2， y＝4， ∴圆心 N(2,4)，半径 r＝|NA|＝ 2－32＋4－12＝ 10.故所求圆 N 的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. (2)设 M(x，y)，D(x1，y1)，则由 C(3,0)及 M 为线段 CD 的中点得 x＝x1＋3 2 ， y＝y1＋0 2 ， 解得 x1＝2x－3， y1＝2y. 又∵点 D 在圆 N：(x－2)2＋(y－4)2＝10 上，∴(2x－3－2)2＋(2y －4)2＝10，化简得 x－5 2 2＋(y－2)2＝5 2. 故所求的轨迹方程为 x－5 2 2＋(y－2)2＝5 2. 20．(12 分)装修房间时，准备在如图 1 所示的过道顶部设计如图 2 所示的圆弧造型． (1)请你建立适当的平面直角坐标系，求出圆弧所在圆的方程； (2)现有一个长方体形的冰箱，其长、宽、高分别为 100 cm,80 cm,180 cm，用坐标法判断该冰箱能否直立通过此过道？ 解： (1)如图，以 AD 所在直线为 x 轴，以 AD 的中垂线为 y 轴建立平 面直角坐标系，则点 F(60,160)． 设圆的方程为 x2＋[y－(200－r)]2＝r2(r>0)， ∵点 F 在圆上， ∴602＋[160－(200－r)]2＝r2(r>0)，解得 r＝65， 故圆的方程为 x2＋(y－135)2＝4 225. (2)当 y＝180 时，x2＋(180－135)2＝652， 解得 x2＝2 200>402， 故冰箱可以直立通过此过道． 21．(12 分)已知定圆 C：x2＋(y－3)2＝4，定直线 m：x＋3y＋6＝ 0，过 A(－1,0)的一条动直线 l 与直线 m 相交于 N，与圆 C 相交于 P， Q 两点， (1)当 l 与 m 垂直时，求出 N 点的坐标，并证明 l 过圆心 C； (2)当|PQ|＝2 3时，求直线 l 的方程． 解：(1)直线 l 的方程为 y＝3(x＋1)． 联立 x＋3y＋6＝0， y＝3x＋1， 解得 x＝－3 2 ， y＝－3 2 ， 所以 N －3 2 ，－3 2 . 证明：将圆心 C(0,3)代入方程易知 l 过圆心 C. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x＝－1 符合题意． 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)． 因为|PQ|＝2 3，所以圆心 C 到直线 l 的距离为 1，即|－k＋3| k2＋1 ＝1， 解得 k＝4 3. 所以直线 l 的方程为 4x－3y＋4＝0. 综上，直线 l 的方程为 x＝－1 或 4x－3y＋4＝0. 22．(12 分)已知圆 P：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)，满足：①截 y 轴所得弦长为 2；②被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3∶1. (1)求在满足条件①②的所有圆中，使代数式 a2－b2－2b＋4 取得 最小值时圆的方程； (2)在(1)中，点 M(x，y)(y≥2 且 x≤0)是圆上的一点，求y－6 x＋4 的取 值范围． 解： (1)如图所示，圆心坐标为 P(a，b)，半径为 r，则点 P 到 x 轴，y 轴的距离分别为|b|，|a|. ∵圆 P 被 x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3∶1，∴∠APB＝90°. 取 AB 的中点 D，连接 PD，则有|PB|＝ 2|PD|，即 r＝ 2|b|. 取圆 P 截 y 轴的弦的中点 C，连接 PC，PE.∵圆截 y 轴所得弦长 为 2， ∴|EC|＝1，∴1＋a2＝r2，即 2b2－a2＝1. ∴a2－b2－2b＋4＝b2－2b＋3＝(b－1)2＋2. ∴当 b＝1 时，a2－b2－2b＋4 取得最小值 2，此时 a＝1，或 a＝ －1，r2＝2. 对应的圆为(x－1)2＋(y－1)2＝2，或(x＋1)2＋(y－1)2＝2. (2)∵点 M(x，y)(y≥2 且 x≤0)，∴由(1)知，点 M(x，y)在圆(x＋ 1)2＋(y－1)2＝2 的一段圆弧上，该圆弧端点坐标为 G(0,2)和 H(－ 2,2).y－6 x＋4 表示 M(x，y)与 N(－4,6)连线的斜率，其范围是[kNH，kNG]， 即为[－2，－1]．