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文档介绍
2020-2021学年北师大版数学必修2习题:第二章 解析几何初步 阶段性评估2
阶段性评估(二) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.两圆 x2+y2-1=0 和 x2+y2-4x+2y-4=0 的位置关系是 ( B ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 解析:由已知可得两圆的圆心与半径分别为 C1(0,0),R1=1,C2(2, -1),R2=3,则|C1C2|= 5∈(R2-R1,R2+R1)=(2,4),所以两圆相交, 故应选 B. 2.经过 A(-1,1),B(2,2),C(3,-1)三点的圆的标准方程是( D ) A.(x+1)2+y2=4 B.(x+1)2+y2=5 C.(x-1)2+y2=4 D.(x-1)2+y2=5 解析:由已知条件可得,线段 AC 的垂直平分线方程为 y-0=2(x -1),即 y=2x-2,线段 AB 的垂直平分线方程为 y-3 2 =-3 x-1 2 , 即 y=-3x+3,这两条直线的交点坐标为 M(1,0),又由|MA|= 5,可 得过三点 A,B,C 的圆的标准方程为(x-1)2+y2=5,故应选 D. 3.已知直线 l 经过点 P(-4,2),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25 截 得的弦长为 8,则直线 l 的方程是( D ) A.7x+24y-20=0 B.4x+3y+25=0 C.4x+3y+25=0 或 x=-4 D.7x+24y-20=0 或 x=-4 解析:当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y-2=k(x+4), 即 kx-y+4k+2=0.由圆的方程可知圆心为(-1,-2),半径 r=5, 所以 |-k+2+4k+2| k2+1 2+42=25,解得 k=- 7 24 ,直线方程为 7x+24y -20=0;当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=-4,满足 截得的弦长为 8.所以直线 l 的方程为 7x+24y-20=0 或 x=-4. 4.若方程 a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0 表示圆,则 a 的值为 ( A ) A.a=-1 B.a=2 C.a=-1 或 a=2 D.a=1 或 a=-2 解析:本题考查二元二次方程表示圆的条件.若方程表示圆,则 二次项系数相等,故 a2=a+2,解得 a=2 或-1,当 a=-1 时方程 为 x2+y2-2x-1=(x-1)2+y2-2=0,即(x-1)2+y2=2,方程表示圆; 当 a=2 时,4x2+4y2+4x+2=0⇔x2+y2+x+1 2 =0,由于 12+02- 4×1 2<0,故方程 x2+y2+x+1 2 =0 不表示任何图形,因此 a=-1. 5.过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦 长为( D ) A. 3 B.2 C. 6 D.2 3 解析:本题考查直线与圆的位置关系的应用.由题意得直线方程 为 y= 3x,则圆心到直线的距离 d=|2| 2 =1,故弦长|AB|=2 22-12= 2 3. 6.已知 Rt△ABC 的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,则直 线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( B ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 解析:本题考查直线与圆的位置关系.由直角三角形勾股定理得 a2+b2=c2,所以圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离 d= |c| a2+b2 = 1=r,所以直线与圆相切. 7.点 A 为圆(x-1)2+y2=1 上的动点,PA 是圆的切线,|PA|=1, 则点 P 的轨迹方程是( B ) A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2 C.y2=2x D.y2=-2x 解析:因为|PA|=1,所以点 P 和圆心的距离恒为 2.设 P(x,y), 圆心(1,0),由两点间的距离公式,有(x-1)2+y2=2. 8.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程是( B ) A.(x-3)2+ y-7 3 2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D. x-3 2 2+(y-1)2=1 解析:解法 1:由题意知圆心坐标为(x0,1),∴排除 A,C.选项 B 中圆心(2,1)到直线 4x-3y=0 的距离 d=|4×2-3| 42+32 =1,即 d=r 成立, 故选 B. 解法 2:由题意设圆心为(x0,1),∵d=r,∴|4x0-3| 42+32 =1⇒x0=2 或 x0=-1 2(舍去).故选 B. 9.垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1 相切于第一象限的直线 方程是( A ) A.x+y- 2=0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+ 2=0 解析:由题意知直线方程可设为 x+y-c=0(c>0),则圆心到直 线的距离等于半径 1,即|0+0-c| 12+12 =1,c= 2,故所求方程为 x+y- 2=0. 10.若直线 l1:y=x,l2:y=x+2 与圆 C:x2+y2-2mx-2ny=0 的四个交点把圆 C 分成的四条弧长相等,则 m=( A ) A.0 或-1 B.0 或 1 C.1 或-1 D.0 或 1 或-1 解析:由题意知,四条弧长相等,故圆心到直线的距离 d= 2 2 r. 圆心为(m,n),半径为 m2+n2,两平行线的距离为 2 2 = 2r,解得 r =1= m2+n2,m2+n2=1.依题意 d=|m-n| 2 = 2 2 ,两边平方得 2mn =0.当 m=0 时,n=±1,当 n=0 时,m=±1,但圆心(1,0),(0,-1) 不在这两平行线间,不符合题意,故 m=0 或-1. 11.台风中心从 A 地以每小时 20 km 的速度向东北方向移动,离 台风中心 30 km 内的地区为危险地区,城市 B 在 A 地正东 40 km 外, B 城市处于危险地区内的时间为( B ) A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 解析: 如图建立直角坐标系,过点 B 作 BC⊥AF,交 AF 于点 C.以点 B 为圆心,30 为半径的圆交 AF 于点 E,F,连接 BE,BF.在 Rt△OBC 中,|BC|=40× 2 2 =20 2,|BE|=30, ∴|EC|= 302-20 22=10,∴|EF|=20. ∴B 城市处于危险地区的时间为20 20 =1(h). 12.已知圆 C:x2+y2=3,从点 A(-2,0)观察点 B(2,a),要使 视线不被圆 C 挡住,则 a 的取值范围是( D ) A. -∞,-4 3 3 ∪ 4 3 3,+∞ B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-2 3)∪(2 3,+∞) D.(-∞,-4 3)∪(4 3,+∞) 解析: 设过点 A(-2,0)与圆 C:x2+y2=3 相切的直线为 y=k(x+2),则 |2k| 1+k2 = 3,解得 k=± 3,∴切线方程为 y=± 3(x+2).由 A 点向 圆 C 引 2 条切线,只要点 B 在切线之外,那么就不会被圆 C 遮挡.在 y=± 3(x+2)中,取 x=2,得 y=±4 3.从 A 点观察 B 点,要使视线 不被圆 C 挡住,需 a>4 3,或 a<-4 3.∴a 的取值范围是(-∞,- 4 3)∪(4 3,+∞).故选 D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案 填写在题中横线上) 13.经过原点,圆心在 x 轴的负半轴上,半径为 2 的圆的方程是 (x+2)2+y2=4. 解析:圆心是(-2,0),半径是 2,所以圆的方程是(x+2)2+y2= 4. 14.经过点 A(3,1),且被圆 x2+y2=16 所截得的弦长最短的直线 方程为 3x+y-10=0. 解析:设圆心为 O,当弦与 OA 垂直时弦最短. 15.与直线 3x-4y+5=0 平行且与圆 x2+y2=4 相切的直线的方 程是 3x-4y±10=0. 解析:设与直线 3x-4y+5=0 平行的直线方程为 3x-4y+a=0, 由圆 x2+y2=4 的圆心(0,0)到 3x-4y+a=0 的距离等于圆的半径可得 d=|a| 5 =2,解得 a=±10,由此可得圆的切线方程为 3x-4y±10=0. 16.已知点(x0,y0)是直线 x+y=2k-1 与圆 x2+y2=k2+2k-3 的公共点,则 x0y0 的取值范围是 11-6 2 4 ,11+6 2 4 . 解析:∵点(x0,y0)是直线 x+y=2k-1 与圆 x2+y2=k2+2k-3 的 公 共 点 , ∴ 圆 心 (0,0) 到 直 线 x + y = 2k - 1 的 距 离 d = |1-2k| 2 ≤ k2+2k-3,解得4- 2 2 ≤k≤4+ 2 2 .又∵圆 x2+y2=k2+2k -3,∴k2 +2k-3>0,解得 k<-3 或 k>1,∴k 的取值范围为 4- 2 2 ≤k≤4+ 2 2 .∵点(x0,y0)是直线 x+y=2k-1 与圆 x2+y2=k2+ 2k-3 的公共点, ∴ x0+y0=2k-1, x20+y20=k2+2k-3, 得 2x0y0 = 3k2 - 6k + 4. 当 4- 2 2 ≤k≤4+ 2 2 时,2x0y0=3k2-6k+4 是关于 k 的增函数,代入可 得 x0y0 的取值范围为 11-6 2 4 ,11+6 2 4 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知直线 l 与圆 C 相交于点 P(1,0)和点 Q(0,1). (1)求圆心所在的直线方程; (2)若圆 C 的半径为 1,求圆 C 的方程. 解:(1)∵PQ 中点为 1 2 ,1 2 ,且 kPQ=-1, ∴圆心所在的直线方程为 y-1 2 =x-1 2 ,即 x-y=0. (2)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=1, 则 1-a2+b2=1, a2+b-12=1, 解得 a=0, b=0 或 a=1, b=1. ∴圆 C 的方程为 x2+y2=1 或(x-1)2+(y-1)2=1. 18.(12 分)已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a= 0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有|4+2a| a2+1 =2. 解得 a=-3 4. (2)过圆心 C 作 CD⊥AB 交 AB 于点 D,则根据题意和圆的性质, 得 |CD|=|4+2a| a2+1 , |CD|2+|DA|2=22, |DA|=1 2|AB|= 2, 解得 a=-7 或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 19.(12 分)已知一圆经过点 A(3,1),B(-1,3),且它的圆心在直 线 3x-y-2=0 上. (1)求此圆的方程; (2)若点 D 为所求圆上任意一点,且点 C(3,0),求线段 CD 的中点 M 的轨迹方程. 解:(1)方法一:由已知可设圆心 N(a,3a-2).又由已知得|NA|= |NB|,即 a-32+3a-2-12= a+12+3a-2-32,解得 a=2. 于是圆 N 的圆心为 N(2,4), 半径 r= a-32+3a-2-12= 10. ∴圆 N 的方程为(x-2)2+(y-4)2=10. 方法二:∵A(3,1),B(-1,3),∴kAB= 3-1 -1-3 =-1 2 ,线段 AB 的 中点坐标为(1,2),∴线段 AB 的垂直平分线的斜率为 2,方程为 y-2 =2(x-1),即 2x-y=0. 由方程组 2x-y=0, 3x-y-2=0, 解得 x=2, y=4, ∴圆心 N(2,4),半径 r=|NA|= 2-32+4-12= 10.故所求圆 N 的方程为(x-2)2+(y-4)2=10. (2)设 M(x,y),D(x1,y1),则由 C(3,0)及 M 为线段 CD 的中点得 x=x1+3 2 , y=y1+0 2 , 解得 x1=2x-3, y1=2y. 又∵点 D 在圆 N:(x-2)2+(y-4)2=10 上,∴(2x-3-2)2+(2y -4)2=10,化简得 x-5 2 2+(y-2)2=5 2. 故所求的轨迹方程为 x-5 2 2+(y-2)2=5 2. 20.(12 分)装修房间时,准备在如图 1 所示的过道顶部设计如图 2 所示的圆弧造型. (1)请你建立适当的平面直角坐标系,求出圆弧所在圆的方程; (2)现有一个长方体形的冰箱,其长、宽、高分别为 100 cm,80 cm,180 cm,用坐标法判断该冰箱能否直立通过此过道? 解: (1)如图,以 AD 所在直线为 x 轴,以 AD 的中垂线为 y 轴建立平 面直角坐标系,则点 F(60,160). 设圆的方程为 x2+[y-(200-r)]2=r2(r>0), ∵点 F 在圆上, ∴602+[160-(200-r)]2=r2(r>0),解得 r=65, 故圆的方程为 x2+(y-135)2=4 225. (2)当 y=180 时,x2+(180-135)2=652, 解得 x2=2 200>402, 故冰箱可以直立通过此过道. 21.(12 分)已知定圆 C:x2+(y-3)2=4,定直线 m:x+3y+6= 0,过 A(-1,0)的一条动直线 l 与直线 m 相交于 N,与圆 C 相交于 P, Q 两点, (1)当 l 与 m 垂直时,求出 N 点的坐标,并证明 l 过圆心 C; (2)当|PQ|=2 3时,求直线 l 的方程. 解:(1)直线 l 的方程为 y=3(x+1). 联立 x+3y+6=0, y=3x+1, 解得 x=-3 2 , y=-3 2 , 所以 N -3 2 ,-3 2 . 证明:将圆心 C(0,3)代入方程易知 l 过圆心 C. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-1 符合题意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1). 因为|PQ|=2 3,所以圆心 C 到直线 l 的距离为 1,即|-k+3| k2+1 =1, 解得 k=4 3. 所以直线 l 的方程为 4x-3y+4=0. 综上,直线 l 的方程为 x=-1 或 4x-3y+4=0. 22.(12 分)已知圆 P:(x-a)2+(y-b)2=r2(r≠0),满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1. (1)求在满足条件①②的所有圆中,使代数式 a2-b2-2b+4 取得 最小值时圆的方程; (2)在(1)中,点 M(x,y)(y≥2 且 x≤0)是圆上的一点,求y-6 x+4 的取 值范围. 解: (1)如图所示,圆心坐标为 P(a,b),半径为 r,则点 P 到 x 轴,y 轴的距离分别为|b|,|a|. ∵圆 P 被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1,∴∠APB=90°. 取 AB 的中点 D,连接 PD,则有|PB|= 2|PD|,即 r= 2|b|. 取圆 P 截 y 轴的弦的中点 C,连接 PC,PE.∵圆截 y 轴所得弦长 为 2, ∴|EC|=1,∴1+a2=r2,即 2b2-a2=1. ∴a2-b2-2b+4=b2-2b+3=(b-1)2+2. ∴当 b=1 时,a2-b2-2b+4 取得最小值 2,此时 a=1,或 a= -1,r2=2. 对应的圆为(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y-1)2=2. (2)∵点 M(x,y)(y≥2 且 x≤0),∴由(1)知,点 M(x,y)在圆(x+ 1)2+(y-1)2=2 的一段圆弧上,该圆弧端点坐标为 G(0,2)和 H(- 2,2).y-6 x+4 表示 M(x,y)与 N(-4,6)连线的斜率,其范围是[kNH,kNG], 即为[-2,-1].查看更多