高考数学倒计时20天正能量第1辑金题强化卷04文解析版

高考数学倒计时20天正能量第1辑金题强化卷04文解析版

普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷 数学文（4） 第 I 卷 一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 【江西省重点中学协作体 2012 届高三第二次联考】 若 Ri im  2)3( ，则实数 m 的值为（ ） A. 32 B. 2 3 C. 3 D. 3 3 2. 【湖北省黄冈中学 2012 届高三五月模拟考试】设集合 }1,0,1{M ， },{ 2aaN  则使 M∩N＝N 成立的 a 的值是 A．1 B．0 C．－1 D．1 或－1 3. 【湖北八校 2013 届高三第一次联考】已知函数 4 1 3 | log 1| 2,| | 1 1( ) ,| | 1 1 x x f x x x         ，则 ( (27))f f =（ ） A.0 B. 1 4 C.4 D.－4 4. 【山 西 省 2012— 度高三第二次诊断考试】 1tan12 tan12   等于 A．4 B．—4 C． 2 3 D．— 2 3 5. 【江西省八所重点高中 2012 届高三 4 月高考模拟联考】设 Sn 是等差数列 na 的前 n 项 和，若 4 5 710, 15, 21S S S   ,则 7a 的取值区间为（ ） A. ,7] （ B. [3,4] C. [4,7] D. [3,7] 6. 【原创题】一组数据 3，4，5， ,s t 的平均数是 4，这组数据的中位数是 m,则过点 P （ ,4 2 s t s t      ）和 Q（m,m）的直线与直线 4y x   的位置关系是（ ） A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合 7. 【河南省郑州市 2013 届高三第一次质量预测】 —个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主)视图是直角 三角形,侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的 体积是(单位 cm3) A. 2  B. 3  C. 4  D.  【答案】A 【解析】依题意得知，该几何体是一个圆锥的一半（沿圆锥的轴剖开），其中该圆锥的底面 半径等于 1、高等于 3，因此该几何体的体积等于 21 1 1 32 3 2         ，选 A. 8. 【山东省济南市 2012 届高三二模】过双曲线 2 2 2 2 x y a b  =1(a>0,b>0)的左焦点 F，作圆 2 2 2 4 ax y  的切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 E 为 PF 的中点，则双 曲线的离心率为（ ） A. 7 2 B. 10 4 C. 10 2 D. 7 4 9. 【河南省郑州市 2012 届高三第二次质量预测】 已知函数   3 1 log5 x f x x     ，若 0x 是函数 = ( )y f x 的零点，且 1 00 x x  ，则 1( )f x A.恒为正值 B.等于 0 C.恒为负值 D.不大于 0 10. 【 浙江省高考测试卷】设数列{ }na （ ） A．若 2 *4 ,n na n N  ，则{ }na 为等比数列 B．若 2 * 2 1,n n na a a n N    ，则{ }na 为等比数列 C．若 *2 , ,m n m na a m n N   ，则{ }na 为等比数列 D．若 * 3 1 2 ,n n n na a a a n N      ，则{ }na 为等比数列 【答案】C 【解析】本题利用特例法，举出反例很快就能排除解出 A．若 2 *4 ,n na n N  ，我们可以假设数列{ }na 前几项分别为：2，-4，-8，……，则{ }na 不为等比数列； B．若 2 * 2 1,n n na a a n N    ，我们可以假设数列{ }na 的通项为： 0na  ，则{ }na 不为等 比数列； D．若 * 3 1 2 ,n n n na a a a n N      ，我们可以假设数列{ }na 的通项为： 0na  ，则{ }na 不 为等比数列； C．若 *2 , ,m n m na a m n N   ，则{ }na 为等比数列，我们可以如下给出证明：后一项与前 一项之比为： 1 1 2 22 m n m n m n m n a a a a      （常数）， *,m n N 第Ⅱ卷 二。填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25 分。 11. 【湖北省武汉外国语学校、钟祥一中 2012 届高三 4 月联考】已知向量 (1,2), ( 3,2)a b    ，若 ( ) //( 3 )ka b a b     ，则实数 k 的取值为 . 12. 【北京东城区普通校 2012—2013 学年高三第一学期联考】 若 0, 0, 2a b a b    ， 则 下 列 不 等 式 对 一 切 满 足 条 件 的 ,a b 恒 成 立 的 是 ． （写出所有正确命题的编号）． ① 1ab  ； ② 2a b  ； ③ 2 2 2a b  ； ④ 3 3 3a b  ； ⑤ 1 1 2a b   13．【内江市 2013 届高中三年级第一次模拟考试试题】右面茎 叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，其中一个 数字被污损。则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＿＿ ＿ 【答案】 4 5 【解析】 88 89 90 91 92 905x     甲 ；当甲的平均成绩等于乙的平均成绩时，被污数 字 a=8，即 98 分，所以只有被污的分数是 99 分时，乙的平均成绩才大于甲的平均成绩， ∴当甲的平均成绩超过乙的平均成绩时概率为 8 4 10 5P   14. 【湖北省黄冈中学 2012 届高三 5 月模拟考试数学】试题直线 4 4 0kx y k   （ k R ） 与抛物线 2y x 交于 A 、 B 两点，若| | 4AB  ，则弦 AB 的中点到直线 1 02x   的距离 等于 . 15. 【原创题】执行右面的程序框图，如果输入的 x 是 7，那么输出的 y 为 【答案】-2 【解析】依题意得知，当输入的 x 是 7 时，注意到 7 2 5 3   ，且 7 2 2 3   不大于3， 因此执行完题中的程序框图后，输出的  7 2 22cos 2cos 23y       . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16【江西省 2012 届高三高考压轴数学】（12 分） 已知函数 2 1( ) 3sin cos cos 2f x x x x   ， .x R （1）求函数 ( )f x 的最大值和最小正周期； （2）设 ABC 的内角 , ,A B C 的对边分别 , , ,a b c 且 3c  , ( ) 0f C  ，若 sin( ) 2sinA C A  ，求 ,a b 的值． 【思路分析】本题考查三角函数的性质和解三角形问题，考查学生的转化能力和整体思想的 解题能力.（1）利用二倍角公式和降幂公式将函数的解析式化简为“三个一”的结构形式， 然后求解函数的性质；（2）利用第一问的结论和已知条件求解角 C，然后借助正弦定理求 解三角形的边. 17. 【云南玉溪一中 2013 届第四次月考试卷】（本题 12 分）在等差数列 na 中， 31 a ， 其前 n 项和为 nS ，等比数列 nb 的各项均为正数， 11 b ，公比为 q ，且 1222  Sb ， 2 2 b Sq  . （1）求 na 与 nb ； （2）设数列 nc 满足 1 n n c S  ，求 nc 的前 n 项和 nT . （2）由（1）可知，  3 3 2n n nS  ， 所以   1 2 2 1 1 3 3 3 1n n c S n n n n         . 故   2 1 1 1 1 1 2 1 21 13 2 2 3 1 3 1 3 1n nT n n n n                                     … . 18. 【山东省济南市 2012 届第二次模拟考试】(本小题 满分 12 分) 山东省《体育高考方案》于 2012 年2 月份公布，方 案要求以学校为单位进行体育测试，某校对高三 1 班同 学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对 50 分以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示， 若 90～100 分数段的人数为 2 人. (Ⅰ) 请估计一下这组数据的平均数 M； (Ⅱ) 现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、 第五组)中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于 20，则称这两人为“帮扶 组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率. 解：（Ⅰ） 由频率分布直方图可知：50～60 分的频率为 0.1，60～70 分的频率为 0.25， 70～80 分的频率为 0.45，80～90 分的频率为 0.15，90～100 分的频率为 0.05；…………………………………………………………………… 2 分 ∴这组数据的平均数 M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73 （分） …………………………………………………………………………………4 分 （Ⅱ） ∵90～100 分数段的人数为 2 人，频率为 0.05； ∴参加测试的总人数为 2 0.05 =40 人，………………………………… 5 分 ∴50～60 分数段的人数为 40×0.1=4 人，………………………………… 6 分 设第一组 50～60 分数段的同学为 A1,A2,A3,A4；第五组 90～100 分数段的同 学为 B1,B2…………………………………………………………………… 7 分 则从中选出两人的选法有： (A1，A2)，(A1，A3),(A1，A4),(A1，B1),(A1，B2),(A2，A3),(A2，A4),(A2，B1),(A2， B2),(A3，A4),(A3，B1),(A3，B2),(A4，B1),(A4，B2),(B1，B2)，共 15 种；…… …………………………………………………………………………………9 分 其中两人成绩差大于 20 的选法有：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1),(A2,B2), (A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)共8 种……………………………………… 11 分 则选出的两人为“帮扶组”的概率为 P= 8 15 ……………………………… 12 分 19. 【 长春市高中毕业班第一次调研测试】（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧面 1 1AAC C  底面 ABC ， 1 1 2AA AC AC   ， AB BC ， AB BC ，O 为 AC 中点. ⑴ 证明: 1AO  平面 ABC ； ⑵ 若 E 是线段 1A B 上一点，且满足 1 1 1 1 1 12E BCC ABC A B CV V  ，求 1A E 的长度. 【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考 查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一 条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本 架构.本题通过分层设计，考查了空间直线垂直， 以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1)  1 1 2AA AC AC   ，且 O 为 AC 中点， 1AO AC  ，又侧面 1 1AAC C  底面 ABC ，交线为 AC ， 1 1AO A AC 面 ，  1AO  平面 ABC . (6 分) 20. 【2012 届郑州市第二次质量预测】已知圆 C 的圆心为 C(m,0),m<3, 半径为 5 ，圆 C 与离心率 1> 2e 的椭圆 2 2 2 2+ =1( > >0)x y a ba b 的其中一个公共点为 A(3 ，1) ,F 1 ,F2 分别是 椭圆的左、右焦点. (I)求圆 C 的标准方程； (II)若点 P 的坐标为（4，4），试探究直线 PF 1 与圆 C 能否相切，若能，求出椭圆 E 和直 线 PF1 的方程；若不能，请说明理由. 【思路分析】本题考查椭圆的方程，直线和椭圆的相交问题等综合问题. 考查学生利用待定 系数法和解析法的解题能力.本题第一问利用椭圆的离心率和点在直线上得到两个等式求解 a b、 的值；本题的第二问利用直线和椭圆联立，借助韦达定理和椭圆的定义进行转换建立 等量关系，进而求解直线 l 的方程和圆 P 的方程. （Ⅱ）直线 1PF 能与圆 C 相切， 依题意设直线 1PF 的方程为 4)4(  xky ，即 044  kykx ， 若直线 1PF 与圆 C 相切，则 5 1 440 2    k kk . ∴ 011244 2  kk ，解得 2 1 2 11  kk ，或 . ……………………7 分 当 2 11k 时，直线 1PF 与 x 轴的交点横坐标为 11 36 ，不合题意，舍去. 当 2 1k 时，直线 1PF 与 x 轴的交点横坐标为 4 ， ∴ )0,4()0,4(4 21 FFc ，，  . ∴由椭圆的定义得： 262251)43(1)43(2 2222 21  AFAFa ， ∴ 23a ， ∴ 4 2 2 1 3 23 2 e    ，故直线 1PF 能与圆C 相切.……10 分 直线 1PF 的方程为 042  yx ，椭圆E 的方程为 1218 22  yx . ………14 分 21. 【原创题】 已知函数 2( ) ( 2 2)xf x e ax x   ， aR 且 0a  . ⑴ 若曲线 ( )y f x 在点 (2, (2))P f 处的切线垂直于 y 轴，求实数 a 的值； ⑵ 当 0a  时，求函数 (| sin |)f x 的最小值. 解：由题意得： 2 2( ) ( ) ( 2 2) ( 2 2)x xf x e ax x e ax x          2 2( 2 2) (2 2) ( )( 2)x x xe ax x e ax ae x xa         ； (3 分) (2) 设| sin | (0 1)x t t ≤ ≤ ，则只需求当 0a  时，函数 ( )(0 1)y f t t ≤ ≤ 的最小值. 令 ( ) 0f x  ，解得 2x a  或 2x   ，而 0a  ，即 2 2a   . 从而函数 ( )f x 在 ( , 2)  和 2( , )a  上单调递增，在 2( 2, )a  上单调递减. 当 2 1a ≥ 时，即 0 2a ≤ 时，函数 ( )f x 在[0,1] 上为减函数， min (1) ( 4)y f a e   ； 当 20 1a   ，即 2a  时，函数 ( )f x 的极小值即为其在区间[0,1] 上的最小值， 2 min 2( ) 2 ay f ea    . 综上可知，当 0 2a ≤ 时，函数 (| sin |)f x 的最小值 为 ( 4)a e ；当 2a  时，函数 (| sin |)f x 的最小值为 2 2 ae . (12 分)