2021届高考数学一轮总复习课时作业48直线的倾斜角与斜率直线方程含解析苏教版
课时作业48 直线的倾斜角与斜率、直线方程
一、选择题
1．直线x＝的倾斜角等于( C )
A．0 B．
C． D．π
解析：由直线x＝，知倾斜角为.
2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( D )
A．k1
α3，所以00，b>0)，则可得＋＝1且ab＝12，解得a＝2，b＝6，则直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0，故选A．
7．(2020·郑州模拟)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( A )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
解析：∵直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A．
8．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( B )
A． B．－
C．－ D．
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解析：依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得从而可知直线l的斜率为＝－.
9．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是( A )
A．8 B．2
C． D．16
解析：∵点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，∴y＝4－x，∴x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8.
10．(2020·焦作模拟)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( B )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时，
设该直线的方程为x＋y＝a，
把(3，－1)代入所设的方程得a＝2，
则所求直线的方程为x＋y＝2，即x＋y－2＝0；
②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，
设该直线的方程为y＝kx，
把(3，－1)代入所设的方程得k＝－，
则所求直线的方程为y＝－x，即x＋3y＝0.
综上，所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋3y＝0，
故选B．
11．已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( C )
A． B．
C． D．
解析：由f＝f知函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－，所以直线的倾斜角为，故选C．
二、填空题
12．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为x＋13y＋5＝0.
解析：BC的中点坐标为，∴BC边上的中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
13．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为3x＋2y＝0或x－y
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－5＝0.
解析：若直线过原点，则直线方程为3x＋2y＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y＋3＝x－2，即为x－y－5＝0，故所求直线方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.
14．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是[－2,2]．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．
15．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为∪.
解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y′＝3x2－1≥－1，所以tanθ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为∪.
16．已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为3.
解析：
以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)，则A(0,4)，B(3,0)，直线AB的方程为＋＝1.
设P(x，y)(0≤x≤3)，所以P到AC，BC的距离的乘积为xy，因为＋≥2，当且仅当＝＝时取等号，所以xy≤3，所以xy的最大值为3.
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17．(2020·武汉市调研测试)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(8,0)，以OA为直径的圆与直线y＝2x在第一象限的交点为B，则直线AB的方程为( A )
A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0
C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0
解析：如图，由题意知OB⊥AB，因为直线OB的方程为y＝2x，所以直线AB的斜率为－，因为A(8,0)，所以直线AB的方程为y－0＝－(x－8)，即x＋2y－8＝0，
故选A．
18．(2020·河南郑州模拟)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1,0)，C(0,2)，AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为( D )
A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y＋3＝0
C．4x－2y－3＝0 D．2x＋4y－3＝0
解析：∵B(－1,0)，C(0,2)，∴线段BC中点的坐标为，线段BC所在直线的斜率kBC＝2，则线段BC的垂直平分线的方程为y－1＝－×，即2x＋4y－3＝0.∵AB＝AC，∴△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，∴△ABC的欧拉线方程为2x＋4y－3＝0.故选D．
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