2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识1

2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识1

1.1 　集合的概念与表示 第 1 课时　集合的概念 激趣诱思 知识点拨 图书馆对大学生来说是非常重要的场所 , 它拥有浩如烟海的文献 , 蕴藏了各种有价值的知识、信息 . 图书馆是一所大学的 “ 心脏 ”, 作为大学生专业教育的 “ 第二课堂 ”, 它是高校课堂教学必不可缺的补充 . 如何在几百万的书籍中快速找到自己需要的书呢 ? 其实这些书籍并不是随意摆放的 , 而是按照中国图书馆分类法 , 将所有图书分成了 22 个基本大类 , 每一大类又细分为若干个小类 , 哪本书属于哪一类是明确的 , 按照这一原则 , 很快就能找到所需要的书了 . 激趣诱思 知识点拨 一、集合的概念 一般地 , 我们把指定的某些对象的 　　　　 称为集合 . 通常用大写英文字母 A , B , C , … 表示 .   集合中的 　　　　　　 叫作这个集合的元素 , 通常用小写英文字母 a , b , c , … 表示 .   名师点析 1 . 集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似 , 只是描述性的说明 . 2 . 集合是一个整体 , 暗含 “ 所有 ”“ 全部 ”“ 全体 ” 的含义 . 一些对象一旦组成了集合 , 这个集合就是这些对象的总体 . 3 . 组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等 , 也可以是人或物等 . 全体 每个对象 激趣诱思 知识点拨 微思考 是否可以借助袋子、抽屉 等 实物 来直观 地 理解集合 含义 ? 提示 : 可以 . 比如把初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中 , 可以认为袋子或抽屉是 由 该学生在 初三 用过的所有课本组成的集合 , 袋子或抽屉里的书是集合的元素 . 激趣诱思 知识点拨 二、元素与集合的 关系 名师点析 1 .a ∈ A 与 a ∉ A 取决于元素 a 是否在集合 A 中 , 这两种情况中必有且只有一种成立 . 2 . 符号 “ ∈ ”“ ∉ ” 只能用在元素与集合之间 , 表示元素与集合之间的从属关系 . 具有方向性 . a ∈ A a ∉ A 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知集合 A 中的元素 x 满足 x- 1 < , 则下列各式正确的是 ( 　　 ) A.3 ∈ A , 且 - 3 ∉ A B.3 ∈ A , 且 - 3 ∈ A C.3 ∉ A , 且 - 3 ∉ A D.3 ∉ A , 且 - 3 ∈ A 答案 : D 　 激趣诱思 知识点拨 　 三、集合中元素的三个 特性 确定性 互异性 无序性 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 确定性的作用是判断一组对象能否组成集合 . 2 . 互异性 的作用 是警示我们做题后要检验 . 特别是题中含有参数 ( 字母 ) 时 , 一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性 . 3 . 无序性的作用是方便定义集合相等 , 当两个集合相等时 , 其元素一定相同 , 但不一定依次对应相等 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 1 已知集合 S 中的三个元素 a , b , c 分别是 △ ABC 的三条边长 , 则 △ ABC 一定不是 ( 　　 ) A. 锐角三角形 B . 钝角三角形 C. 直角三角形 D . 等腰三角形 微练习 2 已知 a ∈ R , a- 1 和 1 两个元素组成了一个集合 , 则 a 应满足的条件是 　　　　　 . 答案 : D 　 解析 : 由集合中元素的互异性知 , a , b , c 两两不相等 , 故 △ ABC 一定不是等腰三角形 . a ≠ 2 解析 : 根据集合中元素的互异性可知 a- 1≠1, 即 a ≠2 . 激趣诱思 知识点拨 　 四、几种常用的数集及其记 法 激趣诱思 知识点拨 名师点析 常用数集之间的 关系 实数集 R 激趣诱思 知识点拨 微练习 用符号 “ ∈ ” 或 “ ∉ ” 填空 : (1)1 　　　　　 N + ;   (2) - 3 　　　　　 N ;   ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ ∈ 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 集合的概念 例 1 给出下列各组对象 : ① 我们班比较高的同学 ; ② 无限接近于 0 的数的全体 ; ③ 比较小的正整数的全体 ; ④ 平面上到点 O 的距离等于 1 的点的全体 ; ⑤ 正三角形的全体 ; ⑥ 的 近似值的全体 . 其中能够组成集合的有 ( 　　 ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 分析 判断一组对象能否组成集合 , 就看判断标准是否明确 . 答案 : B 　 解析 : ①②③⑥ 不能组成集合 , 因为没有明确的判断标准 ; ④⑤ 可以组成集合 ,“ 平面上到点 O 的距离等于 1 的点 ” 和 “ 正三角形 ” 都有明确的判断标准 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 一般地 , 确认一组对象 a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ( a 1 , a 2 , … , a n 均不相同 ) 能否构成集合的过程为 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 ( 多选题 ) 下列各组对象能组成集合的是 ( 　　 ) A. 大于 6 的所有整数 B. 高中数学的所有难题 C. 被 3 除余 2 的所有整数 答案 : AC D 　 解析 : 选项 A,C,D 中的元素符合集合中元素的确定性 ; 而选项 B 中 ,“ 难题 ” 没有明确标准 , 不符合集合中元素的确定性 , 不能构成集合 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 元素与集合的关系 例 2 (1) 下列所给关系正确的个数是 ( 　　 ) ① π ∈ R ; ② ∉ Q ; ③ 0 ∈ Z ; ④ |- 1 | ∉ N * . A.1 B.2 C.3 D.4 (2) 我们在初中学习过一元二次方程及其解法 . 设 A 是方程 x 2 -ax- 5 = 0 的解组成的集合 . ① 0 是不是集合 A 中的元素 ? ② 若 - 5 ∈ A , 求实数 a 的值 . ③ 若 1 ∉ A , 求实数 a 的取值范围 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分析 (1) 首先判断给出的数的属性 , 然后根据常用数集的符号判断两者的关系 . (2) ① 将 0 代入 , 验证方程是否成立 , 若方程成立 , 则 0 就是集合 A 中的元素 ; 若方程不成立 , 则 0 就不是集合 A 中的元素 ; ② - 5 是集合 A 中的元素 , 代入方程即可得到关于 a 的方程并求解 ; ③ 1 不是集合 A 中的元素 , 则代入后方程不成立 , 得到关于 a 的 不等式 . (3) 观察元素的特征 , 验证所求式子是否满足特征 , 若满足就是集合 A 中的元素 , 若不满足就不是集合 A 中的元素 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1) 答案 : C 　 解析 : 根据各个数集的含义可知 , ①②③ 正确 , ④ 不正确 . 故选 C . (2) 解 : ① 将 x= 0 代入方程 , 得 0 2 -a× 0 - 5 =- 5≠0, 所以 0 不是集合 A 中的元素 ; ② 若 - 5 ∈ A , 则有 ( - 5) 2 - ( - 5) a- 5 = 0, 解得 a=- 4 . ③ 若 1 ∉ A , 则 1 2 -a× 1 - 5≠0, 解得 a ≠ - 4 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断元素与集合的关系的两种方法 (1) 直接法 : 如果元素是直接给出的 , 那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可 . 此时应明确集合是由哪些元素组成的 . (2) 推理法 : 对于一些元素没有直接给出的集合 , 只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可 . 此时应明确已知集合中的元素具有什么特征 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 (1) 下列关系正确的是 ( 　　 ) (1) 答案 D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 集合中元素的特性及其应用 例 3 已知集合 A 含有三个元素 a- 2,2 a 2 + 5 a ,12, 且 - 3 ∈ A , 求 a 的值 . 分析 由 - 3 ∈ A , 分两种情况进行讨论 , 注意根据集合中元素的互异性进行检验 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值 , 再根据集合中元素的互异性进行检验 . 互异性是元素的三个特性中最常用的一个 , 解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时 , 要具有分类讨论的意识 . 如本例中得到 a=- 1 或 a =- , 需分类讨论检验是否满足集合中元素的互异性 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 (1) 本例中集合 A 中含有三个元素 , 实数 a 的取值是否有限制 ? (2) 本例中集合 A 中能否只有一个元素呢 ? (2) 若该集合中只有一个元素 , 则有 a- 2 = 2 a 2 + 5 a= 12 . 由 a- 2 = 12, 解得 a= 14, 此时 2 a 2 + 5 a= 2 × 14 2 + 5 × 14 = 462≠12 . 所以该集合中不可能只含有一个元素 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分类整合思想、函数方程思想 —— 由集合相等求参数 典例 已知集合 A= { a , a+b , a+ 2 b }, B= { a , ac , ac 2 }, 若 A=B , 求 c 的值 . 分析 要解决 c 的求值问题 , 关键是要有方程的数学思想 , 此题应根据相等的各个集合的元素完全相同 , 及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式 . 解 : 根据题意 , 分两种情况进行讨论 : 当 a= 0 时 , 集合 B 中的三个元素均为零 , 与元素的互异性相矛盾 , 故 a ≠0 . ∴ c 2 - 2 c+ 1 = 0, 即 c= 1, 此时 B 中的三个元素均为 a , ∴ c ≠1, ∴ 此时无解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 ① 解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的情况 , 所以解题后需要进行检验和修正 . ② 有些数学问题需要根据题目的要求和特点分成若干类 , 转化成若干个小问题来解决 , 这种按不同情况分类 , 然后再逐一研究解决问题的数学方法就是分类讨论的方法 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 下列给出的对象 , 能组成集合的是 ( 　　 ) A . 很大 的数 B. 无限接近零的数 C. 聪明的人 D. 方程 x 2 = 2 的实数根 答案 : D 　 解析 : 选项 A,B,C 中给出的对象都是不确定的 , 所以不能组成集合 ; 选项 D 中方程 x 2 = 2 的实数根为 x =- 或 x = , 具有确定性 , 所以能组成集合 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 A. a ∈ A , 且 b ∉ A B. a ∉ A , 且 b ∈ A C. a ∈ A , 且 b ∈ A D. a ∉ A , 且 b ∉ A 答案 : B 　 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 已知集合 S 中的元素 a , b 是一个四边形的两条对角线的长 , 那么这个四边形一定不是 ( 　　 ) A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 答案 : C 　 解析 : 因为集合中的元素具有互异性 , 所以 a ≠ b , 即四边形对角线不相等 , 故选 C . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 用符号 “ ∈ ” 或 “ ∉ ” 填空 : (1)1 　　　 A ,2 　　　 A ,3 　　　 A ( 其中 A 表示由所有质数组成的集合 );   ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ ∈ 解析 : (1) 由 2,3 为质数 ,1 不是质数 , 得 1 ∉ A ,2 ∈ A ,3 ∈ A. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 已知集合 M 中含有 3 个元素 0, x 2 , -x , 求实数 x 满足的条件 .