广东省茂名市五校联盟2021届高三第一次联考试题 数学 Word版含答案
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茂名市 2021 届五校联盟高三级第一次联考
数学试题
本试卷共 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡对应位置上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.复数 2i
1 i
，的虚部为
A.－1 B.1 C.i D.－i
2.已知集合 A＝{x| x 1
x 1
≤0}，B＝{x∈Z|y＝ln(6＋x－x2)}，则 A∩B＝
A.{0，1} B.{－1，0，1} C.(－1，1] D.[－1，1]
3.己知向量| a
|＝4，|b
|＝8， a
与b
的夹角为 60°，则|2 a
＋b
|＝
A.5 3 B.8 3 C.8 2 D.6 3
4.电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体
育改革 40 年的力作，该影片于 2020 年 09 月 25 日正式上映。在《夺冠》，上映当天，一对夫
妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的 4 张电影票恰好在同一排且连在一起。为
安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是
A.8 B.12 C.16 D.20
5..若 a＝( 2
3 )－1，b＝log23，c＝( 1
2 )0.3，则
A.a
0)
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个单位得到函数 g(x)＝sin(2x＋
6
)＋1 的图像，则下列结论正确的是
A.直线 x＝
4
是 y＝f(x)的一条对称轴 B.函数 y＝f(x)的最小正周期是π
C.函数 y＝f(x)的值域是[0，2] D.φ的最小值是
6
11.双曲线 C：
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的焦点在圆 O：x2＋y2＝13 上，圆 O 与双曲线 C 的渐
近线在第一、二象限分别交于 M、N 两点，点 E(0，a)满足 EO EM EN 0
(其中 O 为坐
标原点)，则正确说法是
A.双曲线 C 的一条渐近线方程为 3x－2y＝0 B.| OE
|＝1
C.双曲线 C 的离心率为 13
2 D.△OMN 的面积为 6
12.如图所示，正方体 ABCD－A'B'C'D'的棱长为 1，E，F 分别是棱 AA'，CC'的中点，过直线
EF 的平面分别与棱 BB'，DD'交于 M，N，设 BM＝x，x∈(0，1)，则正确的说法是
A.四边形 MENF 为平行四边形
B.若四边形 MENF 面积 S＝f(x)，x∈(0，1)，则 f(x)有最小值
C.若四棱锥 A－MENF 的体积 V＝p(x)，x∈(0，1)，则 p(x)是常函数
D.若多面体 ABCD－MENF 的体积 V＝h(x)，x∈( 1
2
，1)，则 h(x)为单调函数
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 an＝2n－1，则数列{ nS
n }的前 20 项和为 。
14.已知直线 y＝x＋1 是曲线 f(x)＝ln(x＋a)的切线，则 a＝ 。
15.设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F(1，0)，准线为 l，过焦点的直线交抛物线于 A，B 两点，
分别过 A，B 作 l 的垂线，垂足为 C，D，若|AF|＝4|BF|，则|AB|＝ 。△CDF 的面积
为 。(本题第一个空 2 分，第二个空 3 分)
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16.如图，已知正方体的 ABCD－A1B1C1D1 棱长为 2，点 M，N 分别是棱 BC，C1D1 的中点，
点 P 在平面 A1B1C1D1 内，点 Q 在线段 A1N 上，若 PM＝ 5 ，则 PQ 长度的最小值为 。
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。
17.(满分 10 分)
如图，在平面四边形 ABCD 中，∠B＝120°，BC＝2，△ABC 的面积为 2 3 。
(1)求 AC；
(2)若∠ADC＝60°，求四边形 ABCD 周长的最大值。
18.(满分 12 分)
在①a2，a3，a4－4 成等差数列；②S1，S2＋2，S3 成等差数列；⑧an＋1＝Sn＋2 中任选一个，补
充在下列问题中，并解答。
在各项均为正数等比数列{an}中，前 n 项和为 Sn，已知 a1＝2，且 。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 bn＝(n＋1)log2an，记数列 2
n
4n 2
b
的前 n 项和为 Tn，证明 Tn<2。
19.(满分 12 分)
已知四棱锥 P－ABCD，底面 ABCD 为菱形，PD＝PB，H 为 PC 上的点，过 AH 的平面分别
交 PB，PD 于点 M，N，且 BD//平面 AMHN。
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(1)证明：MN⊥AH；
(2)当 H 为 PC 的中点，PA＝PC＝ 3 AB，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°，求平面 ABCD
与平面 AMHN 所成锐二面角的大小。
20.(满分 12 分)
受新冠肺炎疫情影响，上学期同课时间长达三个多月，电脑与手机屏幕代替了黑板，对同学
们的视力造成了非常大的损害。我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年
级 2000 名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了 100 名学生的体检表，绘制了频率分
布直方图如下左图：
(1)求 a 的值，并估计这 2000 名学生视力的平均值(精确到 0.1)；
(2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前 50 名与后 50 名的学生进行
了调查，得到的数据如右上列联表，根据表中数据，能否有 95%把握认为视力与学习成绩有
关?
(3)自从“十八大”以来，国家郑重提出了人才强军战略，充分体现了国家对军事人才培养的
高度重视。近年来我市空军飞行员录取情况喜人，继 2019 年我市有 6 人被空军航空大学录取
之后，今年又有 3 位同学顺利拿到了空军航空大学通知书，彰显了我市爱国主义教育，落实
立德树人根本任务已初见成效。2020 年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于 5.0，若以
该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在 4.8 以上的同学中随机抽取 3 名同学，
这 3 名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望。
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附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n＝a＋b＋c＋d。
21.(满分 12 分)
已知椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点是 F(c，0)，P 椭圆上的一动点，且|PF|的最小值
是 1，当 PF 垂直长轴时，|PF|＝ 3
2
。
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)设直线 l 与椭圆 C 相切，且交圆 O：x2＋y2＝4 于 M，N 两点，求△MON 面积的最大值，
并求此时直线 l 方程。
22.(满分 12 分)
已知函数。f(x)＝x2－m，g(x)＝x＋lnx。
(1)若函数 F(x)＝f(x)－g(x)，求函数 F(x)的极值；
(2)若 f(x)＋g(x)＋xex
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