【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第23讲　解三角形应用举例学案

【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第23讲　解三角形应用举例学案

第23讲　解三角形应用举例 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.‎ ‎2015·湖北卷，13‎ ‎2014·四川卷，13‎ ‎　　解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式、向量等综合考查.‎ 分值：5分 ‎1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线！！！　上方　###的角叫仰角，在水平线！！！　下方　###的角叫俯角(如图①).‎ ‎2．方位角 从指北方向！！！　顺时针　###转到目标方向线的水平角叫方位角，如B点的方位角为α(如图②).‎ ‎3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③)‎ ‎(1)北偏东α，即由指北方向！！！　顺时针　###旋转α到达目标方向.‎ ‎(2)北偏西α，即由指北方向！！！　逆时针　###旋转α到达目标方向.‎ ‎(3)南偏西等其他方向角类似.‎ ‎4．坡度(比)‎ 坡角：坡面与水平面所成的！！！　二面角　###的度数(如图④，角θ为坡角).‎ 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度(比)).‎ ‎5．解三角形应用题的一般步骤 ‎(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.‎ ‎(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.‎ ‎(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.‎ ‎(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”).‎ ‎(1)公式S＝bcsin A＝acsin B＝absin C适用于任意三角形.(　√　)‎ ‎(2)东北方向就是北偏东45°的方向.(　√　)‎ ‎(3)俯角是铅垂线与视线所成的角.(　×　)‎ ‎(4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　√　)‎ 解析　(1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立.‎ ‎(2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向.‎ ‎(3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.‎ ‎(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为［0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为.‎ ‎2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　B　)‎ A．北偏东15°　　　　 B．北偏西15°‎ C．北偏东10°　　　　 D．北偏西10°‎ 解析　如图所示，∠ACB＝90°.又AC＝BC，‎ ‎∴∠CBA＝45°，而β＝30°，‎ ‎∴α＝90°－45°－30°＝15°.‎ ‎∴点A在点B的北偏西15°.‎ ‎3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的 距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　A　)‎ A．‎50 m　　　 B．‎50 m C．‎25 m　　　 D． m 解析　由正弦定理得 AB＝＝＝50(m).‎ ‎4．在相距‎2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为！！！　　###千米.‎ 解析　如图所示，由题意知∠C＝45°，‎ 由正弦定理得＝，‎ ‎∴AC＝×＝.‎ ‎5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行！！！　8　###海里.‎ 解析　如图，由题意知在△ABC中，‎ ‎∠ACB＝75°－60°＝15°，‎ ‎∠B＝15°，∴AC＝AB＝8.‎ 在Rt△AOC中，OC＝AC·sin 30°＝4.‎ ‎∴这艘船每小时航行＝8(海里).‎ 一　距离问题 求解距离问题的一般步骤 ‎(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题.‎ ‎(2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素.‎ ‎(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.‎ ‎【例1】 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的点C，点D，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则点A，B之间的距离为！！！　　###km.‎ 解析　如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，‎ ‎∴AC＝CD＝(km).‎ 在△BCD中，∠BCD＝45°，‎ ‎∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.‎ ‎∴BC＝＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝()2＋2－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，∴AB＝(km)，即A，B之间的距离为 km.‎ 二　高度问题 高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.‎ ‎【例2】 要测量电视塔AB的高度，在点C测得塔顶A 的仰角是45°，在点D测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝‎40 m，则电视塔的高度为！！！　40　###m.‎ 解析　设电视塔AB高为x m，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，由∠ADB＝30°，得BD＝x.‎ 在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos 120°，即(x)2＝x2＋402－‎ ‎2·x·40·cos 120°，解得x＝40，所以电视塔高为‎40 m.‎ 三　角度问题 解决角度问题的注意点 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义.‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用.‎ ‎【例3】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.‎ 解析　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，‎ 则AC＝14x，‎ BC＝10x，∠ABC＝120°.‎ 根据余弦定理得 ‎(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，‎ 解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.‎ 根据正弦定理得＝，‎ 解得sin α＝＝.‎ 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.‎ ‎1．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ＝(　B　)‎ A．　　　 B．　　　　‎ C．　　　 D． 解析　如题图所示，在△ABC中，AB＝‎40海里，AC＝‎20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，故BC＝20(海里).‎ 由正弦定理，得sin ∠ACB＝·sin ∠BAC＝，由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos ∠ACB＝.故cos θ＝cos (∠ACB＋30°)＝cos ∠ACBcos 30°－sin ∠ACBsin 30°＝.‎ 第1题图 ‎　　第2题图 ‎2．如图，两座相距‎60 m的建筑物AB，CD的高度分别为‎20 m，‎50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝(　B　)‎ A．30°　　　 B．45°‎ C．60°　　　 D．75°‎ 解析　依题意可得AD＝‎20 m，AC＝‎30 m，又CD＝‎50 m，所以在△ACD中，‎ 由余弦定理得cos ∠CAD＝ ‎＝＝＝，‎ 又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，‎ 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.‎ ‎3．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为‎25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进‎50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝！！！　－1　###.‎ 解析　由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin 15°＝100×sin (45°－30°)＝25(－1)，又＝，‎ 即＝，得到cos θ＝－1．‎ ‎4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶‎600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝！！！　100　###m.‎ 解析　依题意有AB＝600，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB.∴∠ACB＝45°，‎ 在△ABC中，由＝，得＝，‎ 有CB＝300，在Rt△BCD中，CD＝CB·tan 30°＝100，则此山的高度CD＝‎100 m.‎ 易错点　不注意实际问题中变量的取值范围 错因分析：三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题.求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.‎ ‎【例1】 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距‎20海里的A处，并正以‎30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度 的大小应为多少？‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到‎30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.‎ 解析　(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则 S＝ ‎＝ ‎＝.‎ 故当t＝时，Smin＝10，v＝＝30.‎ 即小艇以‎30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇.‎ 则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，‎ 故v2＝900－＋.‎ ‎∵0

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