数学文卷·2018届陕西省西安市八校（西安中学、西工大附中等）高三第一次联考（2018

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2018 届高三年级数学（文科）试题 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合    x | 2 , |1 3A x B x x     ，则 A B 等于（ ） A． | 2 1x x   B． | 2 3x x   C． | 2 3x x  D． |1 2x x  2. 已知复数 1 22 , 2z i z i    ，则 1 2z z  （ ） A．4 B．0 C．2 D． 2 10 3.设数列 na 是等差数列，且 2 66, 6, na a S   是数列 na 的前 n 项和，则（ ） A． 4 3S S B． 4 3S S C． 4 1S S D． 4 1S S 4.若 A B、 为对立事件，其概率分别为    4 1,P A P Bx y   ，则 x y 的最小值为（ ） A．10 B．9 C. 8 D．6 5. P 是双曲线 2 2 2 19 x y a   上一点，双曲线的一条渐近线为 1 23 2 0,x y F F  、 分别是双曲 线的左、右焦点，若 1 6PF  ，则 2PF  （ ） A． 9 B． 2 C. 10 D．2 或 10 6. 已知实数 ,x y 满足 2 0 2 2 0 2 0 x y x y x y            ，则 3 2z x y   的最小值为（ ） A． -10 B． -4 C. 4 D．6 7. 在 ABC 中，已知 9 , 3, 3,2AB AC AC AB M N       、 分别是 BC 边上的三等分点， 则 AM AN    的值是（ ） A．11 2 B． 13 2 C. 6 D．7 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ） A． 4 3  B． 22 3  C. 5 3  D． 24 3  9.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善 的算法.所谓割术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方 法.按照这样的思路刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正 3072 边形，如图所示是利用 刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的 24n  ,则 p 的值可以是 （ ）（参考数据： 0 0 0sin15 0.2588,sin 7.5 0.1305,sin3.75 0.0654   ） A．2.6 B． 3 C. 3.1 D．3.14 10.如图，抛物线 2: 4W y x 与圆  2 2: 1 25C x y   交于 A B、 两点，点 P 为劣弧 AB 上 不同于 A B、 的一个动点，与 x 轴平行的直线 PQ 交抛物线W 于点Q ，则 PQC 的周长的 取值范围是（ ） A． 10,12 B． 12,14 C.  10,14 D． 9,11 11.曲线 2y x 上一点 B 处的切线 l 交 x 轴于点 ,A OAB （O 为原点）是以 A 为顶点的等 腰三角形，则切线l 的倾斜角为（ ） A． 30° B．45° C. 60° D．120° 12.在平行四边形 ABCD 中， 090ABD  ，且 1,BD 2AB   ，若将其沿 BD 折起使平 面 ABD  平面 BCD ，则三棱锥 A BDC 的外接球的表面积为（ ） A． 2 B．8 C. 16 D． 4 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.设公比为 q 的等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 2 4 43 2, 3 2S a S a    ，则 q  ． 14.从集合   2 2, | 4, ,x y x y x R y R    中任选一个元素 ,x y ，则满足 2x y  的概 率为 ． 15.函数  f x 在定义域 R 内可导，若    2f x f x  ，且   1 0x f x  ，若    10 ,b f , 32a f c f      ，则 , ,a b c 的大小关系是 ． 16.设函数   1, 0 2 , 0x x xf x x     ，则满足    1 1f x f x   的 x 的取值范围 是 ． 三、解答题 （本大题共 7 小题，共 70 分.其中 17-21 题必作；22、23 题选作. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数    22 3sin cos 2cos 1f x x x x x R    . （1）求函数  f x 的最小正周期及在区间 0, 2      上的最大值和最小值； （2）若  0 0 6 , ,5 4 2f x x        ，求 0cos2x 的值. 18. 在四棱锥 P ABCD 中， PA  平面 ABCD ， ABC 是正三角形， AC 与 BD 的交点 为 M ，又 04, , 120PA AB AD CD CDA     ，点 N 是CD 的中点． （1）求证：平面 PMN  平面 PAB ； （2）求点 M 到平面 PBC 的距离． 19.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同， 现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中 随机抽取 10 天的数据，制表如下： 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下： 甲公司规定每件 4.5 元；乙公司规定每天 35 件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7 元. （1）根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数； （2）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得 的劳务费记为 X （单位：元），求 182X  的概率； （3）根据表中数据估算公司的每位员工在该月所得的劳务费． 20. 已知直线 : 1l x my  过椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   的右焦点 F ，抛物线 2 4 3x y 的焦点 为椭圆C 的上顶点，且l 交椭圆C 于 A B、 两点，点 A F B、 、 在直线 : 4g x  上的射影依 次为 D K E、 、 . （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 交 y 轴于点 M ，且 1 2,MA AF MB BF      ，当 m 变化时，证明： 1 2  为定值； （3）当 m 变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证 明；否则，说明理由. 21. 设函数      1 xf x ax e a R   . （1）当 0a  时，求函数  f x 的单调递增区间； （2）对任意    0, , 1x f x x    恒成立，求实数 a 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系 的长度为长度单位建立极坐标系.已知直线 l 的参数方程为 2 3 1 2 x t y t       （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 4cos   . （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于 A B、 两点，求 AB . 23. 已知函数  f x 和  g x 的图象关于原点对称，且   2 2f x x x  . （1）解关于 x 的不等式     1g x f x x   ； （2）如果对 x R  ，不等式     1g x c f x x    成立，求实数 c 的取值范围. 试卷答案 一、选择题 1-5: DCBBD 6-10: ABCCA 11、12：CD 二、填空题 13. 3 2 或-1 14. 2 4    15. b a c  16.  0, 三、解答题 17.解：（1）∵      23 2sin cos 2cos 1 3sin 2 cos2 2sin 2 6f x x x x x x x           ， ∴函数  f x 的最小正周期为 ， 又∵ 0, 2x      ，∴ 72 ,6 6 6x         ， ∴ 1sin 2 ,16 2x             ， ∴函数  f x 在区间 0, 2      上的最大值为 2，最小值为-1. （2）∵  0 0 62sin 2 6 5f x x       ， ∴ 0 3sin 2 6 5x      ， 又∵ 0 ,4 2x       ， ∴ 0 2 72 ,6 3 6x         ， ∴ 2 0 0 4cos 2 1 sin 26 6 5x x                 ， ∴ 0 0 0 0 3 4 3cos2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin6 6 6 6 6 6 10x x x x                                . 18.解：（1）在正 ABC 中， AB BC ， 在 ACD 中，因为 AD CD ，易证 ADB CDB   ， 所以 M 为 AC 的中点，因为点 N 是CD 的中点，所以 / /MN AD ， 因为 PA  平面 ABCD ，所以 PA AD ，因为 0120CDA  ，所以 030DAC  ， 因为 060BAC  ，所以 090BAD  ，即 BA AD ， 因为 PA AB A ，所以 AD  平面 PAB ，所以 MN  平面 PAB ， 又 MN  平面 PMN ，所以平面 PMN  平面 PAB ； （2）设 M 到 PBC 的距离为 h ， 在 Rt PAB 中， 4PA AB  ，所以 4 2PB  ， 在 Rt PAC ， 4PA AC  ，所以 4 2PC  ， 在 Rt PBC 中， 4 2,PC 4 2, 4PB BC   ，所以 4 7PBCS  ， 由 M PBC P BMCV V  即 1 14 7 2 3 43 3h     ，解得 2 21 7h  . 19.解：（1）甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为 36，众数为 33； （2）设 a 为乙公司员工 B 投递件数，则 35a  时， 140X  元，当 35a  时，  35 44 35 7X a     元， 令  35 4 35 7 182X a      ，得 41a  ，则 a 取值为 44，42，42，42， 所以 182X  的概率为 4 2 10 5  ； （3）根据图中数据，可估算甲公司的员工该月收入为 4.5 36 30 4860   元，由（2）可 知劳务费 X 可能的取值为 136，147，154，189，203， ∴乙公司的员工该月收入为  1 136 1 147 3 154 2 189 3 203 1 30 165.5 30 496510              元. 20.解：（1）∵ : 1l x my  过椭圆C 的右焦点 F ， ∴右焦点  1,0F ，即 2 1c  ， 又∵ 2 4 3x y 的焦点 0, 3 为椭圆C 的上顶点， ∴ 3b  ，即 2 2 2 23 4b a b c   、 ， ∴椭圆C 的方程 2 2 14 3 x y  ； （2）由 2 2 1 3 4 12 0 x my x y       得， 2 23 4 6 9 0m y my    ， 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，则 1 2 1 22 2 6 9 3 4 3 4 my y y ym m       、 ， ∵ 1 2 1, , 0,MA AF MB BF M m             ， ∴    1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1, 1 , y , , 1 ,x y x x y x ym m                   ， ∴ 1 2 1 2 1 11 , 1my my        ， ∴ 1 2 1 2 2 2 1 2 6 9 82 2 /3 4 3 4 3 y y m m my y m m             ， 综上所述，当 m 变化时， 1 2  的值为定值 8 3  ； （3）当 0m  时，直线l x 轴，则 ABED 为矩形，易知 AE 与 BD 是相交于点 5 ,02N      ， 猜想 AE 与 BD 相交于点 5 ,02N      ，证明如下： ∵ 1 1 1 1 2 5 3 3, , ,2 2 2AN x y my y NE y                        ， ∵    1 2 1 1 2 1 2 2 2 3 3 3 3 6 9 02 2 2 2 3 4 3 4 mmy y y y y my y mm m                            ， ∴ / /AN NE   ，即 A N E、 、 三点共线. 同理可得 B N D、 、 三点共线， 则猜想成立，即当 m 变化时， AE 与 BD 相交于定点 5 ,02N      . 21.解：（1）     11x x af x a e ax e xa             ， 由 0, 0xe a   ，令   0f x  得： 1ax a  ， 所以当 0a  时，单调递增区间是 1, a a     ； （2）令    1 1xh x ax e x    ，则   1f x x  成立等价于   0h x  ， ①若 0a  ，当 0x  ，则  1 1,0 1 1xax e f x      ， 而 1 1x   ，即   1f x x  成立； ②若 0 2a  时，则    1 1xh x e a ax     ， 当 0x  ，由   1t x a ax   是减函数，   max 1 1t x a     ， 又 1xe  ，所以    0,h x h x  在 0, 上是减函数， 此时当 0x  ，    0 0h x h  ； ③当 2a  时，    00 1 0 1 2 0h e a a a        ，    1 11 1 1 1 0h e a a e          ， 所以   0h x  在 0,1 有零点， 在区间  0,1x ，设          1 2 1 0x xg x h x g x e ax a e a          ， 所以  h x 在  0,1x 上是减函数， 即   0h x  在 0,1 有唯一零点 0x ，且在 00, x 上，   0h x  ，  h x 在 00, x 为增函数，即  h x 在 00, x 上    0 0h x h  ， 所以   1f x x  ，不合题意， 综上可得，符合题意的 a 的取值范围是 ,2 . 22.（1）∵由 2sin 4cos   ，即 2 2sin 4 cos    ， ∴曲线C 的直角坐标方程为 2 4y x ； （2）∵l 的参数方程为代入 2 4y x ，整理得 24 8 7 0t t   ， ∴ 1 2 1 2 72, 4t t t t     ， ∴    2 22 1 2 1 2 1 23 2 13 4 13 4 7 143AB t t t t t t            . 23.解：（1）∵函数  f x 和  g x 的图象关于原点对称， ∴     2 2g x f x x x      ， ∴ 原不等式可化为 21 2x x  ，即 21 2x x  或 21 2x x   ， 解得不等式的解集为 11, 2     ； （2）不等式     1g x c f x x    可化为： 21 2x x c   ， 即 2 22 1 2x c x x c      ， 即     2 2 2 1 0 2 1 0 x x c x x c          ，则只需     1 8 1 0 1 8 1 0 c c       ， 解得， c 的取值范围是 9, 8      .