2021届高考数学一轮复习新人教A版教学案：第四章三角函数解三角形第1节任意角和蝗制及任意角的三角函数
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第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
知 识 梳 理
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.
[常用结论与微点提醒]
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.若α∈，则tan α>α>sin α.
3.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
4.区分两个概念
(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角.
(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( )
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( )
解析 (1)锐角的取值范围是.
(2)第一象限角不一定是锐角.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(新教材必修第一册P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12，m)，cos θ＝－，则m的值为( )
A.－5 B.5 C.±5 D.±8
解析 由三角函数的定义可知cos θ＝＝－，解得m＝±5.
答案 C
3.(老教材必修4P4例1改编)在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.
解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).
解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.
答案 {－675°，－315°}
4.(2020·唐山模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )
A. B.－ C. D.－
解析 由三角函数定义得tan α＝，即＝，得3cos α＝2sin2α＝2(1－cos2α)，解得cos α＝或cos α＝－2(舍去).故选A.
答案 A
5.(2020·九江一模)若sin α<0，且sin(cos α)>0，则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析 ∵－1≤cos α≤1，且sin(cos α)>0，∴0
0且a≠1)的图象过定点P，且角α的终边过点P，则sin α＋cos α的值为( )
A. B. C. D.
解析 因为函数y＝loga(x－3)＋2的图象过定点P(4，2)，且角α的终边过点P，设P(x，y)，所以x＝4，y＝2，r＝2，所以sin α＝，cos α＝，所以sin α＋cos α＝＋＝.故选D.
答案 D
角度2 由三角函数值求角或参数
【例3－2】 (1)(2019·北师大附中期中考试)在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角α的终边经过点M，且0<α<2π，则α＝( )
A. B. C. D.
(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
A.－ B.－ C. D.
解析 (1)因为角α的终边经过点M，且0<α
<2π，所以根据三角函数的定义，可知cos α＝－cos ＝cos＝cos ，则α＝.故选D.
(2)由题意得点P(－8m，－3)，r＝，
所以cos α＝＝－，
所以m>0，解得m＝.
答案 (1)D (2)C
角度3 三角函数值的符号
【例3－3】 (1)使lg(sin θ·cos θ)＋有意义的θ为( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
(2)若角α的终边落在直线y＝－x上，则＋________0(填“>”“<”或“＝”).
解析 (1)由题意知sin θ·cos θ>0且－cos θ≥0，由sin θ·cos θ>0，知θ为第一、三象限角，又由－cos θ≥0，即cos θ≤0知θ为第二、三象限角或θ在x轴的负半轴上，所以可知θ为第三象限角.故选C.
(2)因为角α的终边落在直线y＝－x上，所以角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时，＋＝＋＝0；当角α的终边位于第四象限时，＋＝＋＝0.所以＋＝0.
答案 (1)C (2)＝
规律方法 1.三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
【训练3】 (1)(角度1)(2020·荆门龙泉中学月考)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边上有一点(3a，4a)(a≠0)，则sin 2α＝( )
A. B. C. D.－
(2)(角度2)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于( )
A.－3 B.3 C. D.±3
(3)(角度3)若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析 (1)点(3a，4a)(a≠0)到原点的距离r＝＝5|a|，
当a>0时，sin α＝＝，cos α＝＝，
则sin 2α＝2sin αcos α＝；
当a<0时，sin α＝＝－，cos α＝＝－，
则sin 2α＝2sin αcos α＝.
综上，sin 2α＝.故选A.
(2)sin θ＝＝，且m>0，解得m＝3.
(3)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.
答案 (1)A (2)B (3)C
A级 基础巩固
一、选择题
1.给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.
其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 －是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而
是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确.
答案 C
2.若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合.由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限.
答案 D
3.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝|α|r2＝×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.
答案 C
4.若角α与β的终边关于x轴对称，则有( )
A.α＋β＝90° B.α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C.α＋β＝2k·180°，k∈Z D.α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
解析 因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.
答案 C
5.已知角α的终边经过点(，)，若α＝，则m的值为( )
A.27 B. C.9 D.
解析 ∵tan ＝＝m－＝，∴m－1＝33＝27，
∴m＝，故选B.
答案 B
6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )
A.－ B.－ C. D.
解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ.
将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，
故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－.
答案 B
7.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时角α的终边在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时角α的终边在第三象限，结合图象知选C.
答案 C
8.已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )
A. B. C. D.
解析 因为点P在第四象限，
根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，
又θ∈[0，2π)，可得θ＝.
答案 C
二、填空题
9.若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.
解析 因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.
答案 120°或－240°
10.已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________.
解析 设扇形半径为r，弧长为l，
则解得
答案
11.在直角坐标系xOy中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为________.
解析 依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，
设点B坐标为(x，y)，
所以x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝，即B(－1，).
答案 (－1，)
12.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是________.
解析 ∵cos α≤0，sin α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴∴－2
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