2016-2017学年湖北省黄冈市高二（下）期末数学试卷（文科）
2016-2017学年湖北省黄冈市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知复数z=a2−a+ai，若z是纯虚数，则实数a等于（ ）
A.2 B.1 C.0或1 D.−1
2. 已知集合A={−1, 12}，B={x|mx−1=0}，若A∩B=B，则所有实数m组成的集合是（ ）
A.{0, −1, 2} B.{−12, 0, 1} C.{−1, 2} D.{−1, 0, 12}
3. 用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A.假设a、b、c都是偶数 B.假设a、b、c都不是偶数
C.假设a、b、c至多有一个偶数 D.假设a、b、c至多有两个偶数
4. 设a=log213，b=(12)3，c=312，则（ ）
A.c
0在(1, +∞)上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.[0, 4] B.[4, +∞) C.(−∞, 4) D.(−∞, 4]
12. 函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)＝f(x)．当x∈[0, 1]时，f(x)＝2x．若在区间[−2, 3]上方程ax+2a−f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A.(25, 23) B.(23, 45) C.(23, 2) D.(1, 2)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
若a10=12，am=22，则m=________．
某单位为了了解用电量y（度）与气温x(∘C)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温（如下表），并求得线性回归方程为y=−2x+60．
x
c
13
10
−1
y
24
34
38
d
但后来不小心丢失了表中数据c，d，那么由现有数据知2c+d=________．
若函数f(x)=x3+x2−ax−4在区间(−1, 1)恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
已知函数f(x)=2x−2−1，x≥0x+2,x<0，g(x)=x2−2x，x≥01x，x<0.则函数f[g(x)]的所有零点之和是________．
三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
命题p：关于x的不等式x2+(a−1)x+a2≤0的解集为⌀；命题q：函数f(x)=(4a2+7a−1)x是增函数，若￢p∧q为真，求实数a的取值范围．
已知函数h(x)＝(m2−5m+1)xm+1为幂函数，且为奇函数．
（1）求m的值；
（2）求函数g(x)＝h(x)+1−2h(x)在x∈[0, 12]的值域．
某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311．
优秀
非优秀
合计
甲班
10
乙班
30
合计
110
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人；把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．
某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：
y=−18t3−34t2+36t−6294，6≤t≤918t+594，9≤t≤10−3t2+66t−345，101．
∴ c>b>a．
故选：B．
5.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：模拟程序的运行，可得
k=0，S=100
满足条件S>0，执行循环体，S=99，k=1
满足条件S>0，执行循环体，S=97，k=2
满足条件S>0，执行循环体，S=93，k=3
满足条件S>0，执行循环体，S=85，k=4
满足条件S>0，执行循环体，S=69，k=5
满足条件S>0，执行循环体，S=37，k=6
满足条件S>0，执行循环体，S=−27，k=7
不满足条件S>0，退出循环，输出k的值为7．
故选：C．
6.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出原函数的导函数，由导函数大于0求得x的范围得答案．
【解答】
解：由y=272x2+1x，得y′=27x−1x2=27x3−1x2，
由y′>0，得27x3−1>0，解得x>13．
∴
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函数y=272x2+1x单调递增区间是(13, +∞)．
故选：C．
7.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
函数f(x)=ln(x+1)−2x的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．
【解答】
解：∵ f(1)=ln(1+1)−2=ln2−2<0，
而f(2)=ln3−1>lne−1=0，
∴ 函数f(x)=ln(x+1)−2x的零点所在区间是 (1, 2).
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
归纳推理
【解析】
根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知，C正确；
故选C．
9.
【答案】
D
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．
【解答】
解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，
故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；
对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误；
对于选项C，甲车以80千米/小时的速度燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，
故消耗8升汽油，故C错误；
对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
对数函数的图象与性质
【解析】
由已知中函数的解析式f(x)=lnx−12x2，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案．
【解答】
解：∵ f(x)=lnx−12x2(x>0)
∴ f′(x)=1x−x(x>0)
则当x∈(0, 1)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；
当x∈(1, +∞)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数；
当x=1时，f(x)取最大值，f(1)=−12；
故选B
11.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
【解析】
将不等式x2−ax+a>0在(1, +∞)上恒成立转化为a<x2x−1在(1, +∞)上恒成立，运用基本不等式求出x2x−1的最小值即可．
【解答】
解：∵ 不等式x2−ax+a>0在(1, +∞)上恒成立，
∴ a<x2x−1在(1, +∞)上恒成立，即a<(x2x−1)min，
∵ x2x−1=(x−1+1)2x−1=(x−1)2+2(x−1)+1x−1=(x−1)+1x−1+2≥2+2=4，
当且仅当x=2时，取得最小值4．
∴ a<(x2x−1)min=4．
故选：C．
12.
【答案】
A
【考点】
抽象函数及其应用
【解析】
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由f(x+2)＝f(x)，得到函数的周期是2，利用函数的周期性和奇偶性作出函数f(x)的图象，由ax+2a−f(x)＝0等价为f(x)＝a(x+2)，利用数形结合即可得到结论．
【解答】
若在区间[−2, 3]上方程ax+2a−f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，等价为f(x)＝a(x+2)有四个不相等的实数根，
即函数y＝f(x)和g(x)＝a(x+2)，有四个不相同的交点，
∵ f(x+2)＝f(x)，∴ 函数的周期是2，
当−1≤x≤0时，0≤−x≤1，此时f(−x)＝−2x，
∵ f(x)是定义在R上的偶函数，
∴ f(−x)＝−2x＝f(x)，
即f(x)＝−2x，−1≤x≤0，
作出函数f(x)和g(x)的图象，
当g(x)经过A(1, 2)时，两个图象有3个交点，此时g(1)＝3a＝2，解得a=23
当g(x)经过B(3, 2)时，两个图象有5个交点，此时g(3)＝5a＝2，解得a=25，
要使在区间[−2, 3]上方程ax+2a−f(x)＝0恰有四个不相等的实数根，
则2513；…，
q:a<−2或a>14，…
若¬p∧q为真，则¬p真且q真，
∴ a∈(14，13]…
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
根据条件取出命题p和q为真命题的等价条件，结合复合命题￢p∧q为真命题，得到p假q真，然后进行求解即可．
【解答】
解：p：关于x的不等式x2+(a−1)x+a2≤0的解集为⌀；
则△=(a−1)2−4a2<0，
即⇒a<−1或a>13；…，
q:a<−2或a>14，…
若¬p∧q为真，则¬p真且q真，
∴ a∈(14，13]…
【答案】
∵ 函数h(x)＝(m2−5m+1)xm+1为幂函数，
∴ m2−5m+1＝1，
∴ m＝5或m＝0，
当m＝5时，h(x)＝x6是偶函数，不满足题意，
当m＝0时，h(x)＝x是奇函数，满足题意；
∴ m＝0，
∵ g(x)＝x+1−2x，
∴ g′(x)＝1−11−2x，
令g′(x)＝0，解得x＝0，
当g′(x)<0时，即x>0时，函数为减函数，
∴ 函数g(x)在[0, 12]为减函数，
∴ g(12)≤g(x)≤g(0)
即12≤g(x)≤1
故函数g(x)的值域为[12, 1]
【考点】
幂函数的性质
【解析】
（1）首先根据函数是幂函数，可知m2−5m+1＝1，再验证相应函数的奇偶性，即可求得实数m的值，
（2）化简g(x)，再求导，根据导数判断g(x)在∈[0, 12]的为减函数，故求出值域
【解答】
∵ 函数h(x)＝(m2−5m+1)xm+1为幂函数，
∴ m2−5m+1＝1，
∴ m＝5或m＝0，
当m＝5时，h(x)＝x6是偶函数，不满足题意，
当m＝0时，h(x)＝x是奇函数，满足题意；
∴ m＝0，
∵ g(x)＝x+1−2x，
∴ g′(x)＝1−11−2x，
令g′(x)＝0，解得x＝0，
当g′(x)<0时，即x>0时，函数为减函数，
∴ 函数g(x)在[0, 12]为减函数，
∴ g(12)≤g(x)≤g(0)
即12≤g(x)≤1
故函数g(x)的值域为[12, 1]
【答案】
解：（1）根据题意，填写列联表如下；
优秀
非优秀
合计
甲班
10
50
60
乙班
20
30
50
合计
30
80
110
…
（2）根据列联表中的数据，计算
K2=110×(10×30−20×50)260×50×30×80≈7.487<10.828，…
因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”；…
（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x, y)，
所有的基本事件有(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，…，(6, 6)共36个；…
事件A包含的基本事件有(3, 6)，(4, 5)，(5, 4)，(6, 3)，(5, 5)，(4, 6)，(6, 4)共
第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页
7个；…
∴ P(A)=736，即抽到9号或10号的概率为736．…
【考点】
独立性检验
【解析】
（1）根据题意填写列联表即可；
（2）根据列联表中的数据计算K2，对照临界值得出结论；
（3）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．
【解答】
解：（1）根据题意，填写列联表如下；
优秀
非优秀
合计
甲班
10
50
60
乙班
20
30
50
合计
30
80
110
…
（2）根据列联表中的数据，计算
K2=110×(10×30−20×50)260×50×30×80≈7.487<10.828，…
因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”；…
（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x, y)，
所有的基本事件有(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，…，(6, 6)共36个；…
事件A包含的基本事件有(3, 6)，(4, 5)，(5, 4)，(6, 3)，(5, 5)，(4, 6)，(6, 4)共7个；…
∴ P(A)=736，即抽到9号或10号的概率为736．…
【答案】
解：①当6≤t<9时，
y′=−38t2−32t+36=−38(t+12)(t−8)…
令y′=0，得t=−12（舍去）或t=8．
当6≤t<8时，y′>0，当80，当80)，定义域为(0, 1)∪(1, +∞)，
函数g′(x)=lnx−1(lnx)2，
当g′(x)>0时，x>e，当g′(x)<0时，00时，x>e，当g′(x)<0时，00)，定义域为(0, 1)∪(1, +∞)，
函数g′(x)=lnx−1(lnx)2，
当g′(x)>0时，x>e，当g′(x)<0时，0
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