【数学】2020届一轮复习人教A版几何概型作业
55 几何概型
1.(2019·上饶模拟)在[-π2 ,π2]上随机取一个数x,则cos x的值介于12与32之间的概率为 ( )
A.13 B.14 C.15 D. 16
【解析】选A.在-π2,π2上随机取一个数x,对应事件的集合长度为π,而满足cos x的值介于12与32之间的x∈-π3,-π6 ∪π6,π3,区间长度为π3,所以所求概率为π3π=13.
2.在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则△PBC 的面积不小于S3的概率是 ( )
A.23 B.13 C.34 D.14
【解析】选A.记事件A=“△PBC的面积大于等于S3”,基本事件空间是线段 AB 的长度.如图,取 AB 的三等分点 P,如果在线段 BP 上取点,那么△PBC 的面积小于S3;如果在线段AP上取点,那么△PBC的面积不小于S3.所以概率为P(A)=APAB=23.
【变式备选】向面积为 S 的△ABC 内任投一点 P,则△PBC 的面积小于S2的概率为_______.
【解析】取AB,AC的中点E,F,如图所示,如果点P在线段EF上,那么△PBC的面积等于S2;如果点P在线段EF上方(即△AEF内),那么△PBC的面积大于S2;如果点P在线段EF下方(即四边形EFCB内),那么△PBC的面积小于S2.所以概率=S四边形EFCBSΔABC=34.
答案:34
3.(2018·马鞍山模拟)《九章算术》是我国古代数学名著,也是古代东方数学的代表作.书中有如下问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步,问其内接正方形边长为多少步?”现若向此三角形内投豆子,则落在其内接正方形内的概率
是 ( )
A.60289 B.90289 C.120289 D.240289
【解析】选C.由题意,直角三角形两直角边长分别为5步和12步,面积为30,设内接正方形边长为x,则x12=5-x5,解得x=6017,所以正方形的面积为602172,
所以向此三角形内投豆子,则落在其内接正方形内的概率是60217230=120289.
【变式备选】
(2018·全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC,△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则 ( )
A.p1=p2 B.p1=p3
C.p2=p3 D.p1=p2+p3
【解析】选A.方法一:取AB=AC=2,则BC=22,
所以区域Ⅰ的面积为SⅠ=12×2×2=2,区域Ⅲ的面积为SⅢ=12·π(2)2-2=π-2,区域Ⅱ的面积为SⅡ=π·12-SⅢ=2,故p1=p2.
方法二:设AC=b,AB=c,BC=a,则有b2+c2=a2,
从而可以求得△ABC的面积为SⅠ=12bc,
黑色部分的面积为SⅡ=π2·c22+π2·b22-π2·a22-12bc=
π2c24+b24-a24+12bc
=π2·c2+b2-a24+12bc=12bc,
其余部分的面积为SⅢ=π2·a22-12bc=πa28-12bc,
所以有SⅠ=SⅡ,根据面积型几何概型的概率公式,可以得到p1=p2.
4.在区间[-3,5]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m(m>0)的概率为78,则m的值等于 ( )
A.72 B.3 C.4 D.-2
【解析】选C.区间[-3,5]的区间长度为5-(-3)=8,
当0
0)的解集的区间长度为2m,
又在区间[-3,5]上随机地取一个数x,
因为x满足|x|≤m(m>0)的概率为78,
所以2m8=78,得m=72(舍);
当30)的解集的区间长度为m+3,
又在区间[-3,5]上随机地取一个数x,
因为x满足|x|≤m(m>0)的概率为78,
所以m+38=78,得m=4.
所以m的值等于4.
5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为( )
A.16 B.13 C.12 D.23
答案C
解析如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.
6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出152 m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是( )
A.34 B.38 C.3π16 D.12+3π32
答案B
解析如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为60160=38.
7.若在区间[-1,1]上随机取一个数x,则sinπx4的值介于-12与22之间的概率为( )
A.14 B.13 C.23 D.56
答案D
解析∵-1≤x≤1,∴-π4≤πx4≤π4.
由-12≤sinπx4≤22,
得-π6≤πx4≤π4,
则-23≤x≤1.
故所求事件的概率为1--231-(-1)=56.
8.记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是 .
答案59
解析由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5].由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.
9.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为 .
答案12π
解析作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π,区域Ω2就是图中△AOB内部(含边界),其面积为2,
因此所求概率为24π=12π.
10.(2018江西教学质量监测)在圆C:(x-3)2+y2=3上任取一点P,则锐角∠COP<π6(O为坐标原点)的概率是 .
答案23
解析当∠COP=π6时,直线OP的方程为x±3y=0,圆心C到直线OP的距离d=32.
又圆C的半径为3,此时弦所对的圆心角为π3,
所以所求概率P=1-π3×22π=23.
11.在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交的概率为( )
A.34 B.23 C.12 D.13
答案C
解析要使直线y=kx+52与圆x2+y2=1相交,应满足52k2+1≥1,解得-12≤k≤12,所以在区间[-1,1]上随机取一个数k,使直线y=kx+52与圆x2+y2=1不相交的概率为P=12+121+1=12.
故选C.
12.
(2018山西太原二模)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形.若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形的概率为15,则图中直角三角形较大锐角的正弦值为( )
A.55 B.255 C.15 D.33
答案B
解析设小正方形的边长为1,直角三角形的直角边长分别为x,1+x,x2+(1+x)2.
由几何概型可得12x2+(1+x)2=15,
解得x=1(x=-2(舍)),
所以直角三角形的边长分别为1,2,5,直角三角形较大锐角的正弦值为25=255,故选B.
13.已知函数f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件f(2)≤12,f(-2)≤4为事件A,则事件A发生的概率为( )
A.14 B.58 C.12 D.38
答案C
解析由题意,得4+2b+c≤12,4-2b+c≤4,0≤b≤4,0≤c≤4,
即2b+c-8≤0,2b-c≥0,0≤b≤4,0≤c≤4,
表示的区域如图阴影部分所示,可知阴影部分的面积为8,
所以所求概率为12,故选C.
14.设点(a,b)是区域x+y-4≤0,x>0,y>0内的任意一点,则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+∞内是增函数的概率为 .
答案13
解析作出不等式组x+y-4≤0,x>0,y>0所对应的平面区域如图△AOB区域,
可知符合条件的点所构成的区域面积为
S△AOB=12×4×4=8.
若f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+∞内是增函数,
则a>0,--2b2a=ba≤12,
即a>0,a-2b≥0.则A(0,4),B(4,0),
由a+b-4=0,a-2b=0
得a=83,b=43.
即C83,43.
则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+∞内为增函数的点(a,b)所构成的区域为△OBC,其面积为12×4×43=83.
故所求的概率为838=13.
15.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在边BC上任取一点M,则∠AMB≥90°的概率为 .
答案14
解析如图,在Rt△ABC中,作AD⊥BC,D为垂足,由题意可得BD=12,且点M在BD上时,
满足∠AMB≥90°,
故所求概率为BDBC=122=14.
16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 .
答案78
解析以横坐标x表示报纸送到时间,纵坐标y表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系.
因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.
根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为1×1-12×12×121×1=78.
三、高考预测
17.若不等式x2+y2≤2所表示的平面区域为M,不等式组x-y≥0,x+y≥0,y≥2x-6表示的平面区域为N,现随机向区域N内抛一粒豆子,则豆子落在区域M内的概率为 .
答案π24
解析分别作出平面区域M和平面区域N如图所示,
可知平面区域M与平面区域N重叠部分的面积为14π(2)2=π2,平面区域N的面积为12×3×2+12×3×6=12,
故所求的概率为12π12=π24.