【数学】2020届一轮复习(理)通用版考点测试27平面向量基本定理及坐标表示作业

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【数学】2020届一轮复习(理)通用版考点测试27平面向量基本定理及坐标表示作业

考点测试27 平面向量基本定理及坐标表示 ‎                  ‎ 高考概览 考纲研读 ‎1.了解平面向量基本定理及其意义 ‎2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 ‎3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 ‎4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件 一、基础小题 ‎1.已知向量a=(2,1),b=(-4,m),若a=-b,则m=(  )‎ A.-2 B.‎2 C.- D. 答案 A 解析 由向量的坐标运算可得1=-m,解得m=-2.故选A.‎ ‎2.设向量e1,e2为平面内所有向量的一组基底,且向量a=3e1-4e2与b=6e1+ke2不能作为一组基底,则实数k的值为(  )‎ A.8 B.-‎8 C.4 D.-4‎ 答案 B 解析 由a与b不能作为一组基底,则a与b必共线,故=,即k=-8.故选B.‎ ‎3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为(  )‎ A.,- B.,- C.-, D.-, 答案 A 解析 因为=(3,-4),所以与其同方向的单位向量e==(3,-4)=,-.故选A.‎ ‎4.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=0,,则c可用向量a,b表示为(  )‎ A.a+b B.-a-b C.a+b D.a-b 答案 A 解析 设c=xa+yb,则0,=(2x-y,x+2y),所以解得则c=a+b.故选A.‎ ‎5.已知平行四边形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则的坐标为(  )‎ A.-,5 B.,5‎ C.,-5 D.-,-5‎ 答案 D 解析 =+=(-2,3)+(3,7)=(1,10).‎ ‎∴==,5.∴=-,-5.故选D.‎ ‎6.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量‎4a,4b-‎2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d=(  )‎ A.(2,6) B.(-2,6)‎ C.(2,-6) D.(-2,-6)‎ 答案 D 解析 设d=(x,y),由题意知‎4a=(4,-12),4b-‎2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),又‎4a+4b-‎2c+2(a-c)+d=0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6).故选D.‎ ‎7.已知点A(1,-2),若向量与向量a=(2,3)同向,且||=,则点B的坐标为(  )‎ A.(2,3) B.(-2,3)‎ C.(3,1) D.(3,-1)‎ 答案 C 解析 设=(x,y),则=ka(k>0),即由||=得k=1,故=+=(1,-2)+(2,3)=(3,1).故选C.‎ ‎8.已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当A,B,C三点共线时,实数k的值为(  )‎ A.3 B.11‎ C.-2 D.-2或11‎ 答案 D 解析 因为=-=(4-k,-7),=-=(6,k-5),且∥,所以(4-k)(k-5)-6×(-7)=0,解得k=-2或11.故选D.‎ ‎9.已知向量,和在正方形网格中的位置如图所示,若=λ+μ,则λμ=(  )‎ A.-3 B.‎3 C.-4 D.4‎ 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系xAy,则=(2,-2),=(1,2),=(1,0),由题意可知(2,-2)=λ(1,2)+μ(1,0),即解得所以λμ=-3.故选A.‎ ‎10.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,=,=,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.‎ 答案  解析 ∵=+=+=+(-)=-+,∴λ1=-,λ2=,∴λ1+λ2=.‎ ‎11.如图,已知平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为________.‎ 答案 6‎ 解析 以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(1,0),B,C(3,).‎ 由=λ+μ,‎ 得解得 所以λ+μ=6.‎ 二、高考小题 ‎12.(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=(  )‎ A.-8 B.-‎6 C.6 D.8‎ 答案 D 解析 由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,‎ ‎∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故选D.‎ ‎13.(2015·湖南高考)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为(  )‎ A.6 B.‎7 C.8 D.9‎ 答案 B 解析 解法一:由圆周角定理及AB⊥BC,知AC为圆的直径,故+=2=(-4,0)(O为坐标原点).‎ 设B(cosα,sinα),∴=(cosα-2,sinα),‎ ‎∴++=(cosα-6,sinα),|++|==≤=7,当且仅当cosα=-1时取等号,此时B(-1,0),故|+ ‎+|的最大值为7.故选B.‎ 解法二:同解法一得+=2(O为坐标原点),又=+,∴|++|=|3+|≤‎ ‎3||+||=3×2+1=7,当且仅当与同向时取等号,此时B点坐标为(-1,0),故|++|max=7.故选B.‎ ‎14.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(‎2a+b),则λ=________.‎ 答案  解析 由题可得‎2a+b=(4,2),∵c∥(‎2a+b),c=(1,λ),∴4λ-2=0,即λ=.‎ ‎15.(2015·全国卷Ⅱ)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.‎ 答案  解析 由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于=,即λ=.‎ ‎16.(2015·江苏高考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为________.‎ 答案 -3‎ 解析 由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(‎2m,m)+(n,-2n)=(‎2m+n,m-2n),‎ 由已知可得解得 故m-n=-3.‎ ‎17.(2017·江苏高考)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1‎ ‎,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=________.‎ 答案 3‎ 解析 解法一:∵tanα=7,α∈[0,π],‎ ‎∴cosα=,sinα=.‎ ‎∵与的夹角为α,∴=.‎ ‎∵=m+n,||=||=1,||=,‎ ‎∴=. ①‎ 又∵与的夹角为45°,‎ ‎∴==. ②‎ 又cos∠AOB=cos(45°+α)=cosαcos45°-sinαsin45°=×-×=-,‎ ‎∴·=||||cos∠AOB=-,‎ 将其代入①②得m-n=,-m+n=1,‎ 两式相加得m+n=,所以m+n=3.‎ 解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N,‎ 则=m,=n,由正弦定理得 ==,∵||=,‎ 由解法一,知sinα=,cosα=,‎ ‎∴||===,‎ ‎||===.‎ 又=m+n=+,||=|O|=1,‎ ‎∴m=,n=,∴m+n=3.‎ 解法三:如图,设O=m,D=n,则在△ODC中有OD=m,DC=n,OC=,∠OCD=45°,‎ 由tanα=7,得cosα=,又由余弦定理知 即 ‎①+②得4-2n-m=0,即m=10-5n,代入①得12n2-49n+49=0,解得n=或n=,当n=时,m=10-5×=-<0(不符合题意,舍去),当n=时,m=10-5×=,故m+n=+=3.‎ 三、模拟小题 ‎18.(2018·长春质检二)已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则|a+2b|=(  )‎ A.3 B.‎3 C.2 D.5‎ 答案 A 解析 a+2b=(1,-3)+2·(-2,0)=(-3,-3),所以|a+2b|==3,故选A.‎ ‎19.(2018·吉林白城模拟)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则=(  )‎ A. B.‎2 C.- D.-2‎ 答案 C 解析 由向量a=(2,3),b=(-1,2),得ma+nb=(‎2m-n,‎3m+2n),a-2b=(4,-1).由ma+nb与a-2b共线,得=,所以=-,故选C.‎ ‎20.(2018·山东潍坊一模)若M是△ABC内一点,且满足+=4,则△ABM与△ACM的面积之比为(  )‎ A. B. C. D.2‎ 答案 A 解析 设AC的中点为D,则+=2,于是2=4,从而=2,即M为BD的中点,于是===.‎ ‎21.(2018·河北衡水中学2月调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB,AD分别交于点E,F,且交其对角线AC于点M,若=2,=3,=λ-μ(λ,μ∈R),则μ-λ=(  )‎ A.- B.‎1 C. D.-3‎ 答案 A 解析 =λ-μ=λ-μ(+)=(λ-μ)-μ=2(λ-μ)-3μ,因为E,M,F三点共线,所以2(λ-μ)+(-3μ)=1,即2λ-5μ=1,∴μ-λ=-,故选A.‎ ‎22.(2018·湖南四大名校联考)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=(  )‎ A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 答案 C 解析 解法一:如题图,根据题意,得=+=(a-b),=+=(a+b).‎ ‎∵E是线段OD的中点,DF∥AB,‎ ‎∴==,‎ ‎∴D=A=(a-b),‎ ‎∴A=A+D=(a+b)+(a-b)=a+b.故选C.‎ 解法二:如题图,根据题意,得=+=(a-b),=+=(a+b).令=t,则=t(+)=t+=a+b.由=+,令=s,又=(a+b),‎ eq o(DF,sup6(→))=a-b,所以=a+b,所以解方程组得把s代入即可得到=a+b,故选C.‎ ‎23.(2018·湖北黄石质检)已知点G是△ABC的重心,过G作一条直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x,=y,则的值为(  )‎ A. B. C.2 D.3‎ 答案 B 解析 由已知得M,G,N三点共线,∴=λ+(1-λ)=λx+(1-λ)y.∵点G是△ABC的重心,∴=×(+)=(+),‎ ‎∴即得+=1,即+=3,通分变形得,=3,∴=.故选B.‎ ‎24.(2018·合肥质检三)已知向量=(2,0),=(0,2),=t,t∈R,则当||最小时,t=________.‎ 答案  解析 由=t知A,B,C三点共线,即动点C在直线AB上.从而当OC⊥AB时,||最小,易得|O|=|O|,此时|A|=|A|,则t=.‎ ‎25.(2018·太原3月模拟)在正方形ABCD中,已知M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则实数λ+μ=________.‎ 答案  解析 解法一:如图,因为M,N分别是BC,CD的中点,所以=+,=+,所以+=(+)+=+=,‎ 所以=+,而=λ+μ,‎ 所以λ=,μ=,λ+μ=.‎ 解法二:如图,以A为原点,分别以AB,AD所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系.设正方形ABCD边长为1,则A(0,0),C(1,1),M1,,N,1.所以=(1,1),AM=1,,=,1,所以λ+μ=λ+μ,λ+μ=,所以所以λ+μ=.‎ 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型.‎ 二、模拟大题 ‎1.(2018·皖南八校模拟)如图,∠AOB=,动点A1,A2与B1,B2分别在射线OA,OB上,且线段A‎1A2的长为1,线段B1B2的长为2,点M,N分别是线段A1B1,A2B2的中点.‎ ‎(1)用向量与表示向量;‎ ‎(2)求向量的模.‎ 解 (1)=++,=++,两式相加,并注意到点M,N分别是线段A1B1,A2B2的中点,得=(+).‎ ‎(2)由已知可得向量与的模分别为1与2,夹角为,所以·=1,‎ 由=(+)‎ 得||= ‎= =.‎ ‎2.(2018·湖北荆门调研)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),||=1,且∠AOC=x,其中O为坐标原点.‎ ‎(1)若x=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值;‎ ‎(2)若x∈,向量m=,n=(1-cosx,sinx-2cosx),求m·n的最小值及对应的x值.‎ 解 (1)设D(t,0)(0≤t≤1),由题易知C,‎ 所以+=,所以|+|2=-t+t2+=t2-t+1=2+(0≤t≤1),‎ 所以当t=时,|+|2的最小值为,则|+|的最小值为.‎ ‎(2)由题意得C(cosx,sinx),m==(cosx+1,sinx),‎ 则m·n=1-cos2x+sin2x-2sinxcosx ‎=1-cos2x-sin2x=1-sin.‎ 因为x∈,所以≤2x+≤,‎ 所以当2x+=,即x=时,‎ sin取得最大值1,‎ 所以m·n的最小值为1-,此时x=.‎
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