【数学】2020届一轮复习人教B版柱坐标系与球坐标系简介作业

【数学】2020届一轮复习人教B版柱坐标系与球坐标系简介作业

一、选择题 ‎1．把点M的直角坐标(－1,1,1)化为柱坐标是 (　A　)‎ A．(，，1)　　　　　 B．(，，1)‎ C．(，，1) D．(－，，1)‎ ‎【解析】　点M的直角坐标(－1,1,1)化为柱坐标，解得 ，r＝，φ＝，z＝1.‎ ‎∴点M的柱坐标为(，，1)．故选A．‎ ‎2．点M的直角坐标为(1，－，4)，则它的柱坐标为 (　B　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　ρ＝＝2，‎ tanθ＝＝－，θ＝2π－＝，‎ ‎∴柱坐标为.‎ ‎3．点的球坐标为(r，φ，θ)＝，则它的直角坐标为 (　A　)‎ A．(－1,1，－) B．(1，－1，)‎ C．(－1,1,2) D．(1,1，)‎ ‎【解析】　，‎ ‎∴点的直角坐标为(－1,1，－)．‎ ‎4．已知一个点的球坐标为，则它的高低角为 (　D　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　根据高低角的概念：－＝.‎ ‎5．已知一个点的球坐标为，则它的方位角为 (　A　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　根据方位角的概念可知选A．‎ ‎6．在球坐标系中，方程r＝3表示空间中 (　D　)‎ A．以x轴为中心轴，底半径为3的圆柱面 B．以y轴为中心轴，底半径为3的圆柱面 C．以z轴为中心轴，底半径为3的圆柱面 D．以原点为心，半径为3的球面 二、填空题 ‎7．点M的柱坐标为，则它的直角坐标为　(，1,7)　. ‎【解析】　，∴点M的直角坐标为(，1,7)．‎ ‎8．在柱坐标系中，方程ρ＝10表示空间中的__以z轴为中心轴底半径为10的圆柱__曲面. ‎9．已知柱坐标系Oxyz中，点M的柱坐标为(2，，)，则|OM|＝__3__. ‎【解析】　∵(ρ，θ，z)＝(2，，)，‎ 设M的直角坐标为(x，y，z)，‎ ‎ x2＋y2＝ρ2＝4，‎ ‎∴|OM|＝＝＝3.‎ ‎10．若点M的柱坐标为(4，，1)，则它的直角坐标为　(－2，－2,1)　. ‎【解析】　设点M的直角坐标为(x，y，z)，‎ ‎∵ρ＝4，θ＝，z＝1，‎ ‎∴x＝ρcosθ＝4cos＝－2，‎ y＝ρsinθ＝4sin＝－2.‎ ‎∴点M的直角坐标是(－2，－2,1)．‎ 三、解答题 ‎11．建立适当的球坐标系，求棱长为1的正方体各个顶点的球坐标. ‎【解析】　以正方体的顶点O为极点，以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴，建立如图所示的球坐标系．‎ 则有O(0,0,0)，A(1，，0)，B(，，)，C(1，，)，D(1,0,0)，E(，，0)，F(，φ，)(φ∈[0，]，且cosφ＝)，G(，，)．‎ ‎12．根据下列点的球坐标，分别求直角坐标： ‎(1)(2，，)；　(2)(2，，)．‎ ‎【解析】　设点的直角坐标为(x，y，z)．‎ ‎(1)∵(r，φ，θ)＝(2，，)，‎ ‎∴ ‎∴(，，)为所求．‎ ‎(2)∵(r，φ，θ)＝(2，，)，‎ ‎∴ ‎∴(1，－1，)为所求．‎ B级　素养提升 一、选择题 ‎1．已知点M的球坐标为(1，，)，则它的直角坐标为 (　B　)‎ A．(1，，) B．(，，)‎ C．(，，) D．(，，)‎ ‎【解析】　设点M的直角坐标为(x，y，z)，‎ ‎∵点M的球坐标为(1，，)，‎ ‎∴x＝sincos＝，y＝sinsin＝，z＝cos＝ ‎∴M的直角坐标为(，，)．‎ 故选B．‎ ‎2．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是 (　A　)‎ A．(1,0,0) B．(0,1,0)‎ C．(0,0,1) D．(1，π，0)‎ ‎3．已知点M的球坐标为(4，，)，则点M到Oz轴的距离为 (　A　)‎ A．2 B． C．2 D．4‎ ‎【解析】　解法1：M点到z轴的距离为rsinφ＝4sin＝2.‎ 解法2：设点M的直角坐标为(x，y，z)，‎ ‎∵(r，φ，θ)＝(4，，)，‎ ‎∴ ‎∴M(－2,2,2)，‎ 到Oz轴的距离为＝2.‎ ‎4．在直角坐标系中(2,2,2)关于z轴对称点的柱坐标为 (　C　)‎ A． B． C． D． ‎【解析】　(2,2,2)关于z轴对称点为(－2，－2,2)，其柱坐标为ρ＝＝2，‎ tanθ＝＝＝1，θ＝(在第三象限内)，‎ ‎∴柱坐标为.‎ ‎5．在空间坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为(3，，3)，则它的球坐标为 (　D　)‎ A．(3，，) B．(3，，)‎ C．(3，，) D．(3，，)‎ ‎【解析】　∵M点的柱面坐标为M(3，，3)，设点M的直角坐标为(x，y，z)，‎ ‎∴x＝3cos＝，y＝3sin＝，z＝3.‎ ‎∴M点的直角坐标为：M(，，3)．‎ 设点M的球面坐标系的形式为(r，φ，θ)，r是球面半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x轴正方向夹角，φ为向量OM与z轴正方向夹角，‎ ‎∴r＝＝3，容易知道θ＝60°＝，同时结合点M的直角坐标为(，，3)．‎ 可知cosφ＝＝＝，‎ ‎∴φ＝，∴球面坐标为(3，，)．‎ 故选D．‎ 二、填空题 ‎6．已知点M的直角坐标为(5,5,5)，则它的柱坐标为　　. ‎【解析】　ρ＝＝5，tanθ＝＝1.‎ θ＝(θ在第一象限内)，∴柱坐标为.‎ ‎7．点M的柱坐标为，则它的直角坐标为　(2,2，2)　. ‎【解析】　，∴直角坐标为(2,2，2)．‎ ‎8．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为　(R，，)　. 三、解答题 ‎9．已知点P的球坐标为，求它的直角坐标. ‎【解析】　根据坐标变换公式得 ‎∴点P的直角坐标为(－，－，－2)．‎ ‎10．如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4，0,5)，C1(6，，5)，求该长方体外接球的体积. ‎【解析】　由长方体的两个顶点坐标为A1(4,0,5)，C1(6，，5)，可知OA＝4，OC＝6，OO1＝5，则长方体的对角线长为＝，那么长方体外接球的半径R＝，故外接球的体积为πR3＝π×()3＝.‎