【数学】2020届一轮复习人教A版第52课直线与圆锥曲线的位置关系作业（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第52课直线与圆锥曲线的位置关系作业（江苏专用）

随堂巩固训练(52)‎ ‎ 1. 若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是　2　.‎ 解析：由题意知>2，即<2，即m2＋n2<4，所以点P(m，n)是以原点为圆心，2为半径的圆内的点.因为椭圆的长半轴为3，短半轴为2，所以圆m2＋n2＝4内切于椭圆，所以点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.‎ ‎ 2. 已知直线l过椭圆＋＝1内的一点M(1，1)，与椭圆交于A，B两点，且M是AB的中点，则弦AB所在直线的方程为　x＋4y－5＝0　.‎ 解析：显然，斜率不存在的直线x＝1不满足条件；设所求的直线为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k，代入＋＝1并整理得(4k2＋1)x2＋8k(1－k)x＋4(1－k)2－16＝0，此方程有两个根且两根之和等于2，即＝2，解得k＝－，所以y－1＝－(x－1)，即x＋4y－5＝0.‎ ‎ 3. 已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，若直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为　2　.‎ 解析：设椭圆的右焦点F(c，0)，c＝.由题意可得，直线y＝x与椭圆的一个交点M，所以＋＝1.因为c2＝16－m2，解得m2＝8或m2＝－16(舍去).因为m>0，所以m＝2.‎ ‎ 4. 直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积是　48　.‎ 解析：联立消去x得y2－4y－12＝0，解得yA＝－2，yB＝6，所以点A(1，－2)，B(9，6)，抛物线准线方程为x＝－1，所以梯形ABQP的面积为S＝×(2＋10)×8＝48.‎ ‎ 5. 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为　x＝－1　.‎ 解析：由题意可设直线方程y＝x－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p，故y1＋y2＝x1＋x2－p＝2p，故＝p＝2，故抛物线准线方程为x＝－1.‎ ‎ 6. 设F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，直线l为右准线.‎ 若在椭圆上存在点M，使得MF1、MF2、点M到直线l的距离d成等比数列，则此椭圆的离心率e的取值范围是　[－1，1)　.‎ 解析：设点M(x，y)，l为右准线，所以MF2＝a－ex，MF1＝2a－(a－ex)＝a＋ex.因为MF1，MF2，d成等比数列，所以MF＝d·MF1，即(a－ex)2＝(a＋ex)·，化简得e(a－ex)＝a＋ex，所以＝.因为点M在椭圆上，所以－a≤x≤a，所以－1≤≤1，－1≤≤1.因为e－1<0，所以只需考虑不等式的左边，即－1≤，所以e2＋2e－1≥0，解得e≥－1，即e的取值范围是[－1，1).‎ ‎ 7. 若过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线交椭圆于A，B两点，则△OAB的面积为　　.‎ 解析：根据题意知直线的方程为y＝2(x－1)，联立解方程组得交点A(0，－2)，B，所以S△OAB＝·|yA|·|xB|＝×2×＝.‎ ‎ 8. 已知P(x，y)为椭圆＋＝1上一点，则2x＋y的最大值为　　.‎ 解析：设x＝2sinθ，y＝cosθ，则2x＋y＝4sinθ＋cosθ＝sin(θ＋φ)，所以2x＋y的最大值为.‎ ‎ 9. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则＝　　.‎ 解析：由题意得点A(－a，0)，B(a，0).设点P(x，y)，则tanα＝，tanβ＝，所以tanαtanβ＝·＝.因为椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，所以＝，所以a2＝b2，所以＋＝1，所以y2＝b2－，所以＝－，即tanαtanβ＝－.＝＝＝＝.‎ ‎10. 双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过点F1作倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于点M，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝　　.‎ 解析：由题意易知MF2＝，MF1＝2a＋，由倾角为30°可得2·＝2a＋，整理得，2a2＝‎ b2＝c2－a2，所以e＝＝.‎ ‎11. 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：‎ ‎(1) 有两个不重合的公共点；‎ ‎(2) 有且只有一个公共点；‎ ‎(3) 没有公共点.‎ 解析：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，‎ 得方程组整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，①‎ 方程①根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.‎ ‎(1) 当Δ>0，即－33时，方程①没有实数根，即直线l与椭圆C没有公共点.‎ ‎12. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左焦点F的坐标为(－2，0).‎ ‎(1) 求椭圆C的方程；‎ ‎(2) 若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M关于直线y＝x＋1的对称点N在圆x2＋y2＝1上，求实数m的值.‎ 解析：(1) 由题意得解得a＝2，b＝2，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4).‎ 由消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，‎ 所以Δ＝96－8m2>0，解得－2b>0).‎ 由题意得b＝2，e＝＝，‎ 所以解得 所以椭圆P的方程为＋＝1.‎ ‎(2) 假设存在满足题意的直线l.易知当直线的斜率不存在时，·<0不满足题意，故设直线l的斜率为k，R(x1，y1)，T(x2，y2)，则直线l：y＝kx－4.‎ 因为·＝，‎ 所以x1x2＋y1y2＝.‎ 由得(3＋4k2)x2－32kx＋16＝0，‎ 由Δ>0得，(－32k)2－4(3＋4k2)×16>0，‎ 解得k2>.‎ 因为x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以y1y2＝(kx1－4)(kx2－4)＝k2x1x2－4k(x1＋x2)＋16，‎ 故x1x2＋y1y2＝＋－＋16＝，解得k2＝1，即k＝±1，‎ 故存在直线l：x＋y＋4＝0或x－y－4＝0满足题意.‎