【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版9-5-1椭 圆学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版9-5-1椭 圆学案

‎§9.5 椭 圆 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.‎ 椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查,直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.题型主要以选择、填空题为主,一般为中档题,椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.‎ ‎1.椭圆的概念 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.‎ 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:‎ ‎(1)若a>c,则集合P为椭圆;‎ ‎(2)若a=c,则集合P为线段;‎ ‎(3)若ab>0) ‎ +=1(a>b>0)‎ 图形 性质 范围 ‎-a≤x≤a ‎-b≤y≤b ‎-b≤x≤b ‎-a≤y≤a 对称性 对称轴:坐标轴  对称中心:原点 顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0)‎ B1(0,-b),B2(0,b)‎ A1(0,-a),A2(0,a)‎ B1(-b,0),B2(b,0)‎ 轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距 ‎|F1F2|=2c 离心率 e=∈(0,1)‎ a,b,c的关系 a2=b2+c2‎ 概念方法微思考 ‎1.在椭圆的定义中,若2a=|F1F2|或2a<|F1F2|,动点P的轨迹如何?‎ 提示 当2a=|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的.‎ ‎2.椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系?‎ 提示 由e==知,当a不变时,e越大,b越小,椭圆越扁;e越小,b越大,椭圆越圆.‎ ‎3.点和椭圆的位置关系有几种?如何判断.‎ 提示 点P(x0,y0)和椭圆的位置关系有3种 ‎(1)点P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1.‎ ‎(2)点P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1.‎ ‎(3)点P(x0,y0)在椭圆外⇔+>1.‎ ‎4.直线与椭圆的位置关系有几种?如何判断?‎ 提示 直线与椭圆的位置关系有三种的方程:相离、相切、相交.‎ 判断方法为联立直线与椭圆的方程,求联立后所得方程的判别式Δ.‎ ‎(1)直线与椭圆相离⇔Δ<0.‎ ‎(2)直线与椭圆相切⇔Δ=0.‎ ‎(3)直线与椭圆相交⇔Δ>0.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( √ )‎ ‎(2)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( √ )‎ ‎(3)+=1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.( × )‎ ‎(4)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相等.( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.椭圆+=1的焦距为4,则m等于(  )‎ A.4 B.8 C.4或8 D.12‎ 答案 C 解析 当焦点在x轴上时,10-m>m-2>0,‎ ‎10-m-(m-2)=4,∴m=4.‎ 当焦点在y轴上时,m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4,∴m=8.‎ ‎∴m=4或8.‎ ‎3.过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 答案 A 解析 由题意知c2=5,可设椭圆方程为+=1(λ>0),则+=1,解得λ=10或λ=-2(舍去),‎ ‎∴所求椭圆的方程为+=1.‎ ‎4.已知点P是椭圆+=1上y轴右侧的一点,且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为__________________.‎ 答案 或 解析 设P(x,y),由题意知c2=a2-b2=5-4=1,‎ 所以c=1,则F1(-1,0),F2(1,0).由题意可得点P到x轴的距离为1,所以y=±1,把y=±1代入+=1,得x=±,又x>0,所以x=,‎ 所以P点坐标为或.‎ 题组三 易错自纠 ‎5.若方程+=1表示椭圆,则m的取值范围是(  )‎ A.(-3,5) B.(-5,3)‎ C.(-3,1)∪(1,5) D.(-5,1)∪(1,3)‎ 答案 C 解析 由方程表示椭圆知 解得-3b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为(  )‎ A.+=1 B.+y2=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 答案 A 解析 ∵△AF1B的周长为4,∴4a=4,‎ ‎∴a=,∵离心率为,∴c=1,‎ ‎∴b==,∴椭圆C的方程为+=1.‎ 故选A.‎ 第1课时 椭圆及其性质 题型一 椭圆的定义及应用 ‎1.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是(  )‎ A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 答案 A 解析 由条件知|PM|=|PF|,‎ ‎∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|.‎ ‎∴P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.‎ ‎2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是(  )‎ A.2 B.6 C.4 D.12‎ 答案 C 解析 由椭圆的方程得a=.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a=4.‎ ‎3.椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|等于(  )‎ A. B. C. D.4‎ 答案 A 解析 F1(-,0),∵PF1⊥x轴,‎ ‎∴P,∴|PF1|=,‎ ‎∴|PF2|=4-=.‎ ‎4.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(1,1)是一定点,则|PA|+|PF|的最大值为________,最小值为________.‎ 答案 6+ 6- 解析 椭圆方程化为+=1,‎ 设F1是椭圆的右焦点,则F1(2,0),‎ ‎∴|AF1|=,∴|PA|+|PF|=|PA|-|PF1|+6,‎ 又-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1|(当P,A,F1共线时等号成立),‎ ‎∴|PA|+|PF|≤6+,|PA|+|PF|≥6-.‎ 思维升华 椭圆定义的应用技巧 ‎(1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.‎ ‎(2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.‎ 题型二 椭圆的标准方程 命题点1 定义法 例1 (1)已知A(-1,0),B是圆F:x2-2x+y2-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为(  )‎ A.+=1 B.-=1‎ C.-=1 D.+=1‎ 答案 D 解析 由题意得|PA|=|PB|,∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=2>|AF|=2,∴点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,且a=,c=1,∴b=,∴动点P的轨迹方程为+=1,故选D.‎ ‎(2)在△ABC中,A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是(  )‎ A.+=1(y≠0) B.+=1(y≠0)‎ C.+=1(y≠0) D.+=1(y≠0)‎ 答案 A 解析 由|AC|+|BC|=18-8=10>8知,顶点C的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(A,B,C不共线).设其方程为+=1(a>b>0),则a=5,c=4,从而b=3.由A,B,C不共线知y≠0.故顶点C的轨迹方程是+=1(y≠0).‎ 命题点2 待定系数法 例2 (1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,(,),则椭圆方程为__________.‎ 答案 +=1‎ 解析 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m,n>0,m≠n).‎ 由 解得m=,n=.‎ ‎∴椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)一个椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,焦点F1,F2在x轴上,P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆方程为________________.‎ 答案 +=1‎ 解析 ∵椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,∴可设椭圆方程为+=1(a>b>0),∵P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,‎ ‎∴又a2=b2+c2,‎ ‎∴a=2,b=,c=,‎ ‎∴椭圆方程为+=1.‎ 思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.‎ ‎(2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a>|F1F2|;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.‎ 跟踪训练1 (1)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 答案 A 解析 依题意设椭圆G的方程为+=1(a>b>0),∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12,∴2a=12,∴a=6,∵椭圆的离心率为,∴e===,即=,解得b2=9,∴椭圆G的方程为+=1,故选A.‎ ‎(2)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 方法一 如图,‎ 在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,|F1F2|=2c,‎ ‎∴|PF1|==,‎ ‎|PF2|=2c·tan 30°=.‎ ‎∵|PF1|+|PF2|=2a,‎ 即+=2a,可得c=a.‎ ‎∴e==.‎ 方法二 (特殊值法):‎ 在Rt△PF2F1中,令|PF2|=1,‎ ‎∵∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2,|F1F2|=.‎ ‎∴e===.‎ ‎(2)椭圆+=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P为椭圆上一点,|OP|=a,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 设P(x,y),则|OP|2=x2+y2=,‎ 由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a,‎ ‎∴|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2,‎ 又∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,‎ ‎∴|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2,‎ 则|PF1|2+|PF2|2+8c2=4a2,‎ ‎∴(x+c)2+y2+(x-c)2+y2+8c2=4a2,‎ 整理得x2+y2+5c2=2a2,‎ 即+5c2=2a2,整理得=,‎ ‎∴椭圆的离心率e==.‎ ‎(3)已知椭圆+=1(a>b>c>0,a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F1,F2,若以F2为圆心,b-c为半径作圆F2,过椭圆上一点P作此圆的切线,切点为T,且|PT|的最小值不小于(a-c),则椭圆的离心率e的取值范围是____.‎ 答案  解析 因为|PT|=(b>c),‎ 而|PF2|的最小值为a-c,‎ 所以|PT|的最小值为.‎ 依题意,有≥(a-c),‎ 所以(a-c)2≥4(b-c)2,所以a-c≥2(b-c),‎ 所以a+c≥2b,所以(a+c)2≥4(a2-c2),‎ 所以5c2+2ac-3a2≥0,所以5e2+2e-3≥0.①‎ 又b>c,所以b2>c2,所以a2-c2>c2,‎ 所以2e2<1.②‎ 联立①②,得≤e<.‎ 命题点2 求参数的值(或范围)‎ 例4 (2017·全国Ⅰ)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(  )‎ A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)‎ C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)‎ 答案 A 解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上,‎ 则03时,焦点在y轴上,‎ 要使C上存在点M满足∠AMB=120°,‎ 则≥tan 60°=,即≥,解得m≥9.‎ 故m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).‎ 故选A.‎ 思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),转化为e的关系式,常用方法如下:‎ ‎(1)直接求出a,c,利用离心率公式e=求解.‎ ‎(2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=求解.‎ ‎(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e.‎ 跟踪训练2 (1)已知椭圆+=1(0b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________.‎ 答案  解析 由已知条件易得B,C,F(c,0),所以=,= ‎,由∠BFC=90°,可得·=0,所以·+2=0,c2-a2+b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以=,则e==.‎ ‎(3)(2018·阜新模拟)已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右两个焦点,若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2,则该椭圆的离心率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 ∵F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右两个焦点,∴离心率0b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 依题意可知,c=b,又a==c,‎ ‎∴椭圆的离心率e==.‎ ‎3.(2018·重庆检测)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2的大小为(  )‎ A.60° B.120° C.150° D.30°‎ 答案 B 解析 ∵椭圆+=1中,a2=9,b2=2,‎ ‎∴a=3,b=,c==,‎ 可得F1(-,0),F2(,0).‎ 根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=6,‎ 结合|PF1|=4,得|PF2|=6-|PF1|=2.‎ 在△F1PF2中,根据余弦定理,‎ 得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,‎ ‎∴(2)2=42+22-2×4×2cos∠F1PF2,‎ 解得cos∠F1PF2=-.‎ 结合三角形的内角,可得∠F1PF2=120°.故选B.‎ ‎4.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,且|+|=2,则∠F1PF2等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 因为+=2,O为坐标原点,|+|=2,所以|PO|=,又|OF1|=|OF2|=,‎ 所以P,F1,F2在以点O为圆心的圆上,且F1F2为直径,所以∠F1PF2=.‎ ‎5.设椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,且满足·=9,则|PF1|·|PF2|的值为(  )‎ A.8 B.10 C.12 D.15‎ 答案 D 解析 由椭圆方程+=1,可得c2=4,所以|F1F2|=2c=4,而=-,所以||=| ‎-|,两边同时平方,得||2=||2-2·+||2,所以||2+||2=||2+2·=16+18=34,根据椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=8,(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=64,所以34+2|PF1|·|PF2|=64,‎ 所以|PF1|·|PF2|=15.故选D.‎ ‎6.(2018·营口调研)2016年1月14日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施.如图所示,假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长,给出下列式子:‎ ‎①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③<;④c1a2>a1c2.‎ 其中正确式子的序号是(  )‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ 答案 D 解析 观察图形可知a1+c1>a2+c2,即①式不正确;a1-c1=a2-c2=|PF|,即②式正确;由a1-c1=a2-c2>0,c1>c2>0知,<,即<,从而c1a2>a1c2,>,即④式正确,③式不正确.故选D.‎ ‎7.焦距是8,离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________________.‎ 答案 +=1或+=1‎ 解析 由题意知解得 又b2=a2-c2,∴b2=9,‎ 当焦点在x轴上时,椭圆方程为+=1,‎ 当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.‎ ‎8.设F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为__________.‎ 答案 +=1‎ 解析 ∵△F2AB是面积为4的等边三角形,∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可求得|F1A|=|F1B|=.‎ 又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30°,‎ ‎∴=×2c.①‎ 又=×2c×=4,②‎ a2=b2+c2,③‎ 由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.‎ ‎9.已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与椭圆C2:+=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点F(-,0),且四边形ABCD的面积为,则椭圆C1的离心率e为______.‎ 答案  解析 联立 两式相减得=,又a≠b,‎ 所以x2=y2=,‎ 故四边形ABCD为正方形,=,(*)‎ 又由题意知a2=b2+2,将其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,则a2=4,‎ 所以椭圆C的离心率e=.‎ ‎10.已知A,B,F分别是椭圆x2+=1(00,则椭圆的离心率的取值范围为______________.‎ 答案  解析 如图所示,‎ 线段FA的垂直平分线为x=,线段AB的中点为.‎ 因为kAB=-b,所以线段AB的垂直平分线的斜率k=,‎ 所以线段AB的垂直平分线方程为y-=.‎ 把x==p代入上述方程可得 y==q.‎ 因为p+q>0,所以+>0,‎ 化为b>.‎ 又0|F1F2|,‎ 所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,‎ 其中长轴长为4,焦距为2,则短半轴长为,‎ 所以点M的轨迹方程为+=1.‎ ‎12.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.‎ 解 椭圆方程可化为+=1,m>0.‎ ‎∵m-=>0,∴m>,‎ ‎∴a2=m,b2=,c== .‎ 由e=,得 =,∴m=1.‎ ‎∴椭圆的标准方程为x2+=1,∴a=1,b=,c=.‎ ‎∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,焦点坐标为F1,F2,四个顶点的坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1,B2.‎ ‎13.已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率为(  )‎ A.-1 B.2- C. D. 答案 A 解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线,‎ ‎∴∠F1MF2=90°,|MF2|=c,∵|F1F2|=2c,‎ ‎∴|MF1|=c,由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=c+c=2a,‎ ‎∴椭圆离心率e==-1.‎ ‎14.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率等于,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,=________.‎ 答案 3‎ 解析 在△ABC中,由正弦定理得=,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以===3.‎ ‎15.椭圆C1:+=1的离心率为e1,双曲线C2:-=1的离心率为e2,其中,a>b>0,=,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为(  )‎ A.+y2=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 答案 C 解析 椭圆C1:+=1的离心率e1==,双曲线C2:-=1的离心率e2==,‎ 由=,得=,‎ 则a=b,由 得3x2+12x+18-2b2=0,‎ 由Δ=122-4×3×(18-2b2)=0,解得b2=3,‎ 则a2=6,∴椭圆C1的方程为+=1,故选C.‎ ‎16.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,求该椭圆的离心率的取值范围.‎ 解 由=得=.又由正弦定理得=,所以=,即|PF1|=|PF2|.又由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=,|PF1|=,因为PF2是△PF1F2的一边,所以有2c-<<2c+,即c2+2ac-a2>0,所以e2+2e-1>0(0
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