2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数 学（文史类）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知，则双曲线：与：的 A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 ‎3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A．∨ B．∨ C．∧ D．∨‎ ‎4．四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分 别得到以下四个结论：‎ ‎① y与x负相关且； ② y与x负相关且； ‎ ‎③ y与x正相关且； ④ y与x正相关且.‎ 其中一定不正确的结论的序号是 A．①② B．②③ C．③④ D． ①④‎ ‎5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 距学校的距离 ‎ 距学校的距离 ‎ 距学校的距离 ‎ A B C D 时间 时间 时间 时间 O O O O 距学校的距离 ‎ ‎6．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 A． B． C． D．‎ 9‎ ‎7．已知点、、、，则向量在方向上的投影为 A． B． C． D． ‎ ‎8．x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为 A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数 ‎9．某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行，、两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且型车不多于型车7辆．则租金最少为 A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元 ‎10．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. ‎ ‎11．为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 .‎ ‎12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4‎ 则（Ⅰ）平均命中环数为 ； （Ⅱ）命中环数的标准差为 .‎ ‎13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入的值为2， 则输出的结果 . ‎ 否 输入 开始 结束 是 输出 第13题图 ‎14．已知圆：，直线：（）.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .‎ ‎15．在区间上随机地取一个数x，若x满足的概率为，则 . ‎ 9‎ ‎16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸. ‎ ‎（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）‎ ‎17．在平面直角坐标系中，若点的坐标，均为整数，则称点为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为. 例如图中△是格点三角形，对应的，，.‎ ‎（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的分别是 ；‎ ‎（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为，其中a，b，c为常数. 若某格点多边形对应的，， 则 （用数值作答）.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在△中，角，，对应的边分别是，，. 已知.‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若△的面积，，求的值.‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2‎ 9‎ 处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为．同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，，且. 过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面，其面积记为．‎ ‎（Ⅰ）证明：中截面是梯形；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，记，BC边上的高为，面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量（即多面体的体积）时，可用近似公式来估算. 已知，试判断与V的大小关系，并加以证明. ‎ 第20题图 ‎21．（本小题满分13分）‎ 设，，已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，称为、关于的加权平均数.‎ ‎（i）判断, ,是否成等比数列，并证明；‎ ‎（ii）、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数，记为H. 若，求的取值范围. ‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 如图，已知椭圆与的中心在坐标原点，长轴均为且在轴上，短轴长分别 9‎ 为，，过原点且不与轴重合的直线与，的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A，B，C，D．记，△和△的面积分别为和.‎ ‎（Ⅰ）当直线与轴重合时，若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得？并说明理由．‎ 第22题图 9‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数学（文史类）试题参考答案 一、选择题：‎ ‎1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．B 二、填空题：‎ ‎11． 12．（Ⅰ）7 （Ⅱ）2 13．4‎ ‎14．4 15．3 16．3 17．（Ⅰ）3, 1, 6 （Ⅱ）79‎ 三、解答题：‎ ‎18．（Ⅰ）由，得, ‎ ‎ 即，解得 或（舍去）.‎ ‎ 因为，所以. ‎ ‎（Ⅱ）由得. 又，知. ‎ 由余弦定理得故. ‎ 又由正弦定理得. ‎ ‎19． （Ⅰ）设数列的公比为，则，. 由题意得 ‎ 即 　 ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ 故数列的通项公式为.　　 ‎ 9‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）有 . ‎ 若存在，使得，则，即 ‎ 当为偶数时，， 上式不成立；‎ 当为奇数时，，即，则.‎ 综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为. ‎ ‎20． （Ⅰ）依题意平面，平面，平面，‎ 所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又，，，且 .‎ 因此四边形、均是梯形.‎ 由∥平面，平面，且平面平面，‎ 可得AA2∥ME，即A1A2∥DE. 同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG. ‎ 又、分别为、的中点，‎ 则、、、分别为、、、 的中点，‎ 即、分别为梯形、的中位线. ‎ 因此 ，，‎ 而，故，所以中截面是梯形. ‎ ‎（Ⅱ）. 证明如下：‎ 由平面，平面，可得.‎ 而EM∥A1A2，所以，同理可得. ‎ 由是△的中位线，可得即为梯形的高， ‎ 因此，‎ 即. ‎ 又，所以.‎ 于是.‎ 由，得，，故. ‎ 9‎ ‎21． （Ⅰ）的定义域为，‎ ‎. ‎ 当时，，函数在，上单调递增；‎ 当时，，函数在，上单调递减. ‎ ‎（Ⅱ）（i）计算得，，.‎ ‎ 故, 即 ‎ ‎ . ①‎ 所以成等比数列.‎ 因，即. 由①得. ‎ ‎（ii）由（i）知，.故由，得 ‎ . ②‎ ‎ 当时，.‎ ‎ 这时，的取值范围为；‎ ‎ 当时，，从而，由在上单调递增与②式，‎ ‎ 得，即的取值范围为；‎ 当时，，从而，由在上单调递减与②式，‎ ‎ 得，即的取值范围为. ‎ ‎22． 依题意可设椭圆和的方程分别为 ‎：，：. 其中，‎ ‎（Ⅰ）解法1：如图1，若直线与轴重合，即直线的方程为，则 ‎，，所以. ‎ 在C1和C2的方程中分别令，可得，，，‎ 于是.‎ 若，则，化简得. 由，可解得.‎ 故当直线与轴重合时，若，则. ‎ 9‎ 解法2：如图1，若直线与轴重合，则 ‎，；‎ ‎，.‎ 所以. ‎ 若，则，化简得. 由，可解得.‎ 故当直线与轴重合时，若，则. ‎ 第22题解答图1‎ 第22题解答图2‎ ‎（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，‎ 不妨设直线：，‎ 点，到直线的距离分别为，，则 因为，，所以. ‎ 又，，所以，即. ‎ 由对称性可知，所以，‎ ‎，于是 ‎. ①‎ 将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得 ‎，.‎ 根据对称性可知，，于是 ‎. ② ‎ 从而由①和②式可得 ‎. ③‎ 令，则由，可得，于是由③可解得.‎ 因为，所以. 于是③式关于有解，当且仅当，‎ 9‎ 等价于. 由，可解得，‎ 即，由，解得，所以 当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；‎ 当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得. ‎ 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得. 根据对称性，‎ 不妨设直线：，‎ 点，到直线的距离分别为，，则 因为，，所以. ‎ 又，，所以.‎ 因为，所以.‎ 由点，分别在C1，C2上，可得 ‎，，两式相减可得，‎ 依题意，所以. 所以由上式解得. ‎ 因为，所以由，可解得.‎ 从而，解得，所以 当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得；‎ 当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得 。 ‎ ‎ ‎ 9‎