2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北卷)

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数 学(文史类)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集,集合,,则 A. B. C. D.‎ ‎2.已知,则双曲线:与:的 A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 ‎3.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A.∨ B.∨ C.∧ D.∨‎ ‎4.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系,并求得回归直线方程,分 别得到以下四个结论:‎ ‎① y与x负相关且; ② y与x负相关且; ‎ ‎③ y与x正相关且; ④ y与x正相关且.‎ 其中一定不正确的结论的序号是 A.①② B.②③ C.③④ D. ①④‎ ‎5.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 距学校的距离 ‎ 距学校的距离 ‎ 距学校的距离 ‎ A B C D 时间 时间 时间 时间 O O O O 距学校的距离 ‎ ‎6.将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是 A. B. C. D.‎ 9‎ ‎7.已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A. B. C. D. ‎ ‎8.x为实数,表示不超过的最大整数,则函数在上为 A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D. 周期函数 ‎9.某旅行社租用、两种型号的客车安排900名客人旅行,、两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且型车不多于型车7辆.则租金最少为 A.31200元 B.36000元 C.36800元 D.38400元 ‎10.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ‎ ‎11.为虚数单位,设复数,在复平面内对应的点关于原点对称,若,则 .‎ ‎12.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4‎ 则(Ⅰ)平均命中环数为 ; (Ⅱ)命中环数的标准差为 .‎ ‎13.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序. 若输入的值为2, 则输出的结果 . ‎ 否 输入 开始 结束 是 输出 第13题图 ‎14.已知圆:,直线:().设圆上到直线的距离等于1的点的个数为,则 .‎ ‎15.在区间上随机地取一个数x,若x满足的概率为,则 . ‎ 9‎ ‎16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 寸. ‎ ‎(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)‎ ‎17.在平面直角坐标系中,若点的坐标,均为整数,则称点为格点. 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为,其内部的格点数记为,边界上的格点数记为. 例如图中△是格点三角形,对应的,,.‎ ‎(Ⅰ)图中格点四边形DEFG对应的分别是 ;‎ ‎(Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为,其中a,b,c为常数. 若某格点多边形对应的,, 则 (用数值作答).‎ 三、解答题:本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 在△中,角,,对应的边分别是,,. 已知.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若△的面积,,求的值.‎ ‎19.(本小题满分13分)‎ 已知是等比数列的前项和,,,成等差数列,且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)是否存在正整数,使得?若存在,求出符合条件的所有的集合;若不存在,说明理由.‎ ‎20.(本小题满分13分)‎ 如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2‎ 9‎ 处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为,,且. 过,的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面,其面积记为.‎ ‎(Ⅰ)证明:中截面是梯形;‎ ‎(Ⅱ)在△ABC中,记,BC边上的高为,面积为. 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时,可用近似公式来估算. 已知,试判断与V的大小关系,并加以证明. ‎ 第20题图 ‎21.(本小题满分13分)‎ 设,,已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,称为、关于的加权平均数.‎ ‎(i)判断, ,是否成等比数列,并证明;‎ ‎(ii)、的几何平均数记为G. 称为、的调和平均数,记为H. 若,求的取值范围. ‎ ‎22.(本小题满分14分)‎ 如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别 9‎ 为,,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A,B,C,D.记,△和△的面积分别为和.‎ ‎(Ⅰ)当直线与轴重合时,若,求的值;‎ ‎(Ⅱ)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由.‎ 第22题图 9‎ ‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)‎ 数学(文史类)试题参考答案 一、选择题:‎ ‎1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.D 9.C 10.B 二、填空题:‎ ‎11. 12.(Ⅰ)7 (Ⅱ)2 13.4‎ ‎14.4 15.3 16.3 17.(Ⅰ)3, 1, 6 (Ⅱ)79‎ 三、解答题:‎ ‎18.(Ⅰ)由,得, ‎ ‎ 即,解得 或(舍去).‎ ‎ 因为,所以. ‎ ‎(Ⅱ)由得. 又,知. ‎ 由余弦定理得故. ‎ 又由正弦定理得. ‎ ‎19. (Ⅰ)设数列的公比为,则,. 由题意得 ‎ 即   ‎ ‎ 解得 ‎ ‎ 故数列的通项公式为.   ‎ 9‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)有 . ‎ 若存在,使得,则,即 ‎ 当为偶数时,, 上式不成立;‎ 当为奇数时,,即,则.‎ 综上,存在符合条件的正整数,且所有这样的n的集合为. ‎ ‎20. (Ⅰ)依题意平面,平面,平面,‎ 所以A1A2∥B1B2∥C1C2. 又,,,且 .‎ 因此四边形、均是梯形.‎ 由∥平面,平面,且平面平面,‎ 可得AA2∥ME,即A1A2∥DE. 同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG. ‎ 又、分别为、的中点,‎ 则、、、分别为、、、 的中点,‎ 即、分别为梯形、的中位线. ‎ 因此 ,,‎ 而,故,所以中截面是梯形. ‎ ‎(Ⅱ). 证明如下:‎ 由平面,平面,可得.‎ 而EM∥A1A2,所以,同理可得. ‎ 由是△的中位线,可得即为梯形的高, ‎ 因此,‎ 即. ‎ 又,所以.‎ 于是.‎ 由,得,,故. ‎ 9‎ ‎21. (Ⅰ)的定义域为,‎ ‎. ‎ 当时,,函数在,上单调递增;‎ 当时,,函数在,上单调递减. ‎ ‎(Ⅱ)(i)计算得,,.‎ ‎ 故, 即 ‎ ‎ . ①‎ 所以成等比数列.‎ 因,即. 由①得. ‎ ‎(ii)由(i)知,.故由,得 ‎ . ②‎ ‎ 当时,.‎ ‎ 这时,的取值范围为;‎ ‎ 当时,,从而,由在上单调递增与②式,‎ ‎ 得,即的取值范围为;‎ 当时,,从而,由在上单调递减与②式,‎ ‎ 得,即的取值范围为. ‎ ‎22. 依题意可设椭圆和的方程分别为 ‎:,:. 其中,‎ ‎(Ⅰ)解法1:如图1,若直线与轴重合,即直线的方程为,则 ‎,,所以. ‎ 在C1和C2的方程中分别令,可得,,,‎ 于是.‎ 若,则,化简得. 由,可解得.‎ 故当直线与轴重合时,若,则. ‎ 9‎ 解法2:如图1,若直线与轴重合,则 ‎,;‎ ‎,.‎ 所以. ‎ 若,则,化简得. 由,可解得.‎ 故当直线与轴重合时,若,则. ‎ 第22题解答图1‎ 第22题解答图2‎ ‎(Ⅱ)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性,‎ 不妨设直线:,‎ 点,到直线的距离分别为,,则 因为,,所以. ‎ 又,,所以,即. ‎ 由对称性可知,所以,‎ ‎,于是 ‎. ①‎ 将的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得 ‎,.‎ 根据对称性可知,,于是 ‎. ② ‎ 从而由①和②式可得 ‎. ③‎ 令,则由,可得,于是由③可解得.‎ 因为,所以. 于是③式关于有解,当且仅当,‎ 9‎ 等价于. 由,可解得,‎ 即,由,解得,所以 当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;‎ 当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得. ‎ 解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得. 根据对称性,‎ 不妨设直线:,‎ 点,到直线的距离分别为,,则 因为,,所以. ‎ 又,,所以.‎ 因为,所以.‎ 由点,分别在C1,C2上,可得 ‎,,两式相减可得,‎ 依题意,所以. 所以由上式解得. ‎ 因为,所以由,可解得.‎ 从而,解得,所以 当时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得;‎ 当时,存在与坐标轴不重合的直线l使得 。 ‎ ‎ ‎ 9‎
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