【数学】2019届一轮复习人教A版 圆锥曲线中的综合问题学案
突破点13 圆锥曲线中的综合问题(酌情自选)
[核心知识提炼]
提炼1 解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握
(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关．
(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值．
(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出 ，并令其系数为零，可以解出定点坐标.
提炼2 用代数法求最值与范围问题时从下面几个方面入手
(1)若直线和圆锥曲线有两个不同的交点，则可以利用判别式求范围．
(2)若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形，则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解．
(3)利用隐含或已知的不等关系式直接求范围．
(4)利用基本不等式求最值与范围．
(5)利用函数值域的方法求最值与范围.
提炼3 与圆锥曲线有关的探索性问题
(1)给出问题的一些特殊关系，要求探索出一些规律，并能论证所得规律的正确性．通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括出一般规律．
(2)对于只给出条件，探求“是否存在”类型问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，若推出相符的结论，则存在性得到论证；若推出矛盾，则假设不存在．
[高考真题回访]
回访1 圆锥曲线的定值、定点问题
1．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
[解] (1)由题意有＝，＋＝1， 2分
解得a2＝8，b2＝4. 3分
所以C的方程为＋＝1． 4分
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＋＝1，得
(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0． 6分
故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝． 8分
于是直线OM的斜率kOM＝＝－，
即kOM·k＝－. 11分
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． 12分
回访2 圆锥曲线中的最值与范围问题
2．(2016·全国卷Ⅱ)已知A是椭圆E：＋＝1的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，证明：
0.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.
又A(－2,0)，因此直线AM的方程为y＝x＋2.
将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.
解得y＝0或y＝，所以y1＝.
因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝． 4分
(2)证明：设直线AM的方程为y＝k(x＋2)(k＞0)，
代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0.
由x1·(－2)＝得x1＝，
故|AM|＝|x1＋2|＝.
由题意，设直线AN的方程为y＝－(x＋2)，
故同理可得|AN|＝. 7分
由2|AM|＝|AN|得＝，
即4k3－6k2＋3k－8＝0. 9分
设f(t)＝4t3－6t2＋3t－8，则k是f(t)的零点．f′(t)＝12t2－12t＋3＝3(2t－1)2≥0，所以f(t)在(0，＋∞)单调递增．又f()＝15－26＜0，f(2)＝6＞0，因此f(t)在(0，＋∞)上有唯一的零点，且零点k在(，2)内，所以＜k＜2． 12分
回访3 与圆锥曲线有关的探索性问题
3．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．
[解] (1)如图，由已知得M(0，t)，P． 1分
又N为M关于点P的对称点，故N，
故直线ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0,
解得x1＝0，x2＝.因此H． 4分
所以N为OH的中点，即＝2． 6分
(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：7分
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t). 9分
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点． 12分
热点题型1 圆锥曲线中的定点问题
题型分析：主要考查直线、曲线过定点或两直线的交点在定直线上，以解答题为主．
【例1】 (2017·郑州二模)已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．
(1)求圆心M的轨迹方程；
(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B
关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点.
【导 号：04024115】
[解] (1)由题意，得点M与点(0,1)的距离始终等于点M到直线y＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则＝1，p＝2.
∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y． 4分
(2)证明：由题知，直线l的斜率存在，
∴设直线l：y＝kx－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则C(－x2，y2)，
联立得x2－4kx＋8＝0，
∴ 6分
kAC＝＝＝，
则直线AC的方程为y－y1＝(x－x1)， 8分
即y＝y1＋(x－x1)
＝x－＋
＝x＋． 10分
∵x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，
故直线AC恒过定点(0,2)． 12分
[方法指津]
动线过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．.
[变式训练1] (2017·兰州二模)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1(－2,0)，点B(2，)在椭圆C上，直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ分别与y轴交于点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．
[解] (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆的左焦点为F1(－2,0)，∴a2－b2＝4． 2分
∵点B(2，)在椭圆C上，∴＋＝1.
解得a2＝8，b2＝4.
∴椭圆C的方程为＋＝1. 5分
(2)依题意点A的坐标为(－2，0)，
设P(x0，y0)(不妨设x0＞0)，则Q(－x0，－y0)，
由得x0＝，y0＝， 6分
∴直线AP的方程为y＝(x＋2)， 7分
直线AQ的方程为y＝(x＋2)， 8分
∴M，N， 9分
∴|MN|＝＝.
设MN的中点为E，则点E的坐标为， 10分
则以MN为直径的圆的方程为x2＋2＝，即x2＋y2＋y＝4，
令y＝0，得x＝2或x＝－2，11分
即以MN为直径的圆经过两定点H1(－2,0)，H2(2,0)． 12分
热点题型2 圆锥曲线中的定值问题
题型分析：圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点内容，解决这类问题的关键是引入变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立，数式变换等寻找不受参数影响的量．
【例2】 (2016·重庆二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上一点P与椭圆右焦点的连线垂直于x轴，直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(均不在坐标轴上)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，若△AOB的面积为，试判断直线OA与OB的斜率之积是否为定值？
【导 号：04024116】
[解] (1)由题意知解得 3分
∴椭圆C的标准方程为＋＝1． 6分
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 5分
由Δ＝(8km)2－16(4k2＋3)(m2－3)＞0，得m2＜4k2＋3． 6分
∵x1＋x2＝，x1x2＝，
∴S△OAB＝|m||x1－x2|＝|m|·＝， 8分
化简得4k2＋3－2m2＝0，满足Δ＞0，从而有4k2－m2＝m2－3(*)， 9分
∴kOA·kOB＝＝＝
＝＝－·，由(*)式，得＝1，
∴kOA·kOB＝－，即直线OA与OB的斜率之积为定值－． 12分
[方法指津]
求解定值问题的两大途径
1．由特例得出一个值(此值一般就是定值)→
2．先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．
[变式训练2] 已知椭圆C：＋＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
[解] (1)由题意得a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1． 4分
又c＝＝，∴离心率e＝＝． 6分
(2)证明：设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4. 7分
又A(2,0)，B(0,1)，
∴直线PA的方程为y＝(x－2)．
令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝1－yM＝1＋． 8分
直线PB的方程为y＝x＋1.
令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝2－xN＝2＋． 10分
∴四边形ABNM的面积S＝|AN|·|BM|
＝
＝
＝＝2.
从而四边形ABNM的面积为定值． 12分
热点题型3 圆锥曲线中的最值、范围问题
题型分析：圆锥曲线中的最值、范围问题是高考重点考查的内容，解决此类问题常用的方法是几何法和代数法．
【例3】 (2017·东北三省四市模拟)已知椭圆C：＋y2＝1(a＞0)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．
[解] (1)因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以b＝c＝1，a＝，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1． 4分
(2)根据题意，直线A，B的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，与＋y2＝1联立，
消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2＋2)＝，即M.
则直线AB的垂直平分线为y－＝－，令y＝0，得xP＝，
因为xP∈，即－＜＜0，
所以0＜k2＜，
|AB|＝
＝
＝
＝.
∵＜＜1，
∴|AB|∈． 12分
[方法指津]
与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法
1．数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．
2．构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．
3．构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
[变式训练3] (2017·长沙二模)已知平面内一动点M与两定点B1(0，－1)和B2(0,1)连线的斜率之积等于－.
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)设直线l：y＝x＋m(m≠0)与轨迹E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，当m变化时，求△PAB面积的最大值.
【导 号：04024117】
[解] (1)设M的坐标为(x，y)，1分
依题意得·＝－， 2分
化简得动点M的轨迹E的方程为＋y2＝1(x≠0)． 4分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立
化简得3x2＋4mx＋2m2－2＝0(x≠0)，
∵有两个不同的交点，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝， 6分
∴Δ＝(4m)2－12(2m2－2)＞0，
即－＜m＜且m≠－1,0,1. 7分
设A，B的中点为C(xC，yC)，
则xC＝＝－，
yC＝xC＋m＝，
∴C，
∴线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，令y＝0，得P点坐标为． 8分
则点P到AB的距离d＝， 9分
由弦长公式得|AB|＝·
＝， 10分
∴S△PAB＝···
＝
≤·＝， 11分
当且仅当m2＝，即m＝±∈(－，)时，等号成立，
∴△PAB面积的最大值为． 12分
热点题型4 圆锥曲线中的探索性问题
题型分析：
探索性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在．若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
【例4】 (2017·湘中名校联考)如图131，曲线C由上半椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
图131
[解] (1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，
且A(－1,0)，B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
由e＝＝及a2－c2＝b2＝1可得a＝2，∴a＝2，b＝1． 2分
(2)存在．由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0). 3分
由题易知，直线l与x轴不重合也不垂直，
设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)．
代入C1的方程，整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*) 5分
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根．
由求根公式，得xP＝，从而yP＝，
∴点P的坐标为. 7分
同理，由得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．
∴＝(k，－4)，＝－k(1，k＋2). 9分
连接AP、AQ(图略)，依题意可知AP⊥AQ，
∴·＝0，即[k－4(k＋2)]＝0，
∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－. 11分
经检验，k＝－符合题意，故直线l的方程为y＝－(x－1)． 12分
[方法指津]
探索性问题求解的思路及策略
1．思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
2．策略：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
[变式训练4] (2017·呼和浩特一模)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，直线y＝bx＋2与圆x2＋y2＝2相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【导 号：04024118】
[解] (1)∵直线l：y＝bx＋2与圆x2＋y2＝2相切．
∴＝，∴b＝1． 2分
∵椭圆的离心率e＝，
∴e2＝＝＝2，∴a2＝3， 4分
∴所求椭圆的方程是＋y2＝1. 5分
(2)直线y＝kx＋2代入椭圆方程，消去y可得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，
∴Δ＝36k2－36＞0，∴k＞1或k＜－1.7分
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则有x1＋x2＝－，x1x2＝.
若以CD为直径的圆过点E，
则EC⊥ED.
∵＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
∴(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0. 9分
∴(1＋k2)x1x2＋(2k－1)(x1＋x2)＋5＝0， 10分
∴(1＋k2)×＋(2k－1)×＋5＝0.
解得k＝－＜－1.
∴存在实数k＝－使得以CD为直径的圆过定点E． 12分
