2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7

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文档介绍

2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7

‎7.2.3 ‎三角函数的诱导公式 第1课时 三角函数的诱导公式(一~四)‎ 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.能借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公式一~四.(难点)‎ ‎2.掌握诱导公式一~四,会运用诱导公式化简、求值与证明.(重点)‎ 通过学习本节内容,提升学生的数学运算核心素养.‎ 结合单位圆,思考:与角α终边相同的角的表示形式是什么?它们的三角函数值之间具有怎样的关系?与角α的终边关于x轴对称的角表示形式是什么?它们的三角函数值之间具有怎样的关系?‎ ‎1.诱导公式(一)‎ 终边相同的角的诱导公式(公式一):‎ sin(α+2kπ)=sin α(k∈Z);‎ cos(α+2kπ)=cos α(k∈Z);‎ tan(α+2kπ)=tan α(k∈Z).‎ 思考1:终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系?‎ ‎[提示] 相等.‎ ‎2.诱导公式(二)‎ 终边关于x轴对称的角的诱导公式(公式二):‎ sin(-α)=-sin α;‎ cos(-α)=cos α;‎ tan(-α)=-tan α.‎ 思考2:角-α的终边与单位圆的交点与角α的终边与单位圆的交点有何关系?‎ ‎[提示] 关于x轴对称.‎ ‎3.诱导公式(三)‎ 终边关于y轴对称的角的诱导公式(公式三):‎ sin(π-α)=sin α;‎ cos(π-α)=-cos α;‎ - 8 -‎ tan(π-α)=-tan α.‎ ‎4.诱导公式(四)‎ 终边关于原点对称的角的诱导公式(公式四):‎ sin(π+α)=-sin α;‎ cos(π+α)=-cos α;‎ tan(π+α)=tan α.‎ ‎1.(1)sin =    ;(2)cos=    ;‎ ‎(3)tan=    .‎ ‎(1) (2) (3)1 [(1)sin=sin ‎=sin=.‎ ‎(2)cos=cos=cos=.‎ ‎(3)tan=tan=tan=1.]‎ ‎2.(1)sin=    ;(2)cos 330°=    ;‎ ‎(3)tan 690°=    .‎ ‎(1)- (2) (3)- [(1)sin=-sin=-.‎ ‎(2)cos 330°=cos(360°-30°)=cos(-30°)=cos 30°=.‎ ‎(3)tan 690°=tan[2×360°+(-30°)]‎ ‎=tan(-30°)‎ ‎=-tan 30°‎ ‎=-.]‎ ‎3.(1)sin=    ;(2)cosπ=    ;‎ ‎(3)tan 1 560°=    .‎ ‎(1) (2)- (3)- [(1)sin=sin=sin=.‎ ‎(2)cos=cos=-cos=-.‎ - 8 -‎ ‎(3)tan 1 560°=tan(4×360°+120°)=tan 120°=tan(180°-60°)=-tan 60°=-.]‎ ‎4.(1)sin 225°=    ;(2)cos=    ;‎ ‎(3)tan =    .‎ ‎(1)- (2)- (3) [(1)sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45°=-.‎ ‎(2)cos=cos=-cos=-.‎ ‎(3)tan=tan ‎=tan=tan=.]‎ 给角求值 ‎【例1】 求下列各三角函数式的值:‎ ‎(1)sin(-660°);(2)cos ;(3)2cos 660°+sin 630°;‎ ‎(4)tan ·sin.‎ ‎[思路点拨] 利用诱导公式先把任意角的三角函数化为三角函数,再求值.‎ ‎[解] (1)因为-660°=-2×360°+60°,‎ 所以sin(-660°)=sin 60°=.‎ ‎(2)因为=6π+,所以cos =cos =-.‎ ‎(3)原式=2cos(720°-60°)+sin(720°-90°)‎ ‎=2cos 60°-sin 90°=2×-1=0.‎ ‎(4)tan ·sin ‎=tan·sin - 8 -‎ ‎=tan ·sin =×=.‎ 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 ‎1.求下列各三角函数式的值:‎ ‎(1)sin 1 320°;(2)cos;(3)tan(-945°).‎ ‎[解] (1)sin 1 320°=sin(4×360°-120°)‎ ‎=sin(-120°)=-sin(180°-60°)‎ ‎=-sin 60°=-.‎ ‎(2)cos=cos=cos ‎=-cos=-.‎ ‎(3)tan(-945°)=-tan 945°‎ ‎=-tan(225°+2×360°)=-tan 225°‎ ‎=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1.‎ 化简求值 ‎【例2】 化简:(1);‎ ‎(2).‎ ‎[思路点拨] 利用诱导公式一,二,三,四将函数值化为角α的三角函数值或锐角的三角函数值,再约分化简.‎ ‎[解] (1)====1.‎ - 8 -‎ ‎(2)原式= ‎===-1.‎ 三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式,将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.‎ (2)常用“切化弦”法,即表达式中的切函数通常化为弦函数.‎ (3)注意“‎1”‎的变式应用:如1=sin2α+cos2α=tan .‎ ‎2.(k∈Z).‎ ‎[解] 当k=2n(n∈Z)时,‎ 原式= ‎= ‎==-1;‎ 当k=2n+1(n∈Z)时,‎ 原式= ‎== ‎=-1.‎ 综上,原式=-1.‎ 给值求值问题 ‎[探究问题]‎ ‎1.“α-15°”与“165°+α”间存在怎样的关系?你能用“α-15°”表示“165°+α”吗?‎ ‎[提示] 由165°+α-(α-15°)=180°可知165°+α=180°+(α-15°).‎ ‎2.若tan(α-15°)=-1,则tan(165°+α)等于多少?‎ ‎[提示] 由探究1可知tan(165°+α)=tan[180°+(α-15°)]=tan(α-15°)=-1.‎ ‎【例3】 求值.‎ - 8 -‎ ‎(1)已知sin=-,求sin的值;‎ ‎(2)已知cos=,求cos的值.‎ ‎[思路点拨] (1)-=2π;‎ ‎(2)-=π.‎ ‎[解] (1)∵-=2π,‎ ‎∴sin=sin ‎=sin=-.‎ ‎(2)∵-=π,‎ ‎∴cos=cos ‎=-cos=-.‎ ‎1.(变条件)本例(1)条件变为“已知sin=”,求sin的值.‎ ‎[解] ∵-=6π,‎ ‎∴sin=sin ‎=sin=.‎ ‎2.(变结论)本例(2)已知条件不变,求cos的值.‎ ‎[解] ∵-=-π,‎ ‎∴cos=cos ‎=cos ‎=-cos=-.‎ - 8 -‎ 对于给值求值问题,要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系,然后选择恰当的诱导公式进行转化,一般采用代入法求值.‎ 提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.‎ ‎3.已知sin(α-360°)-cos(180°-α)=m,则sin(180°+α)·cos(180°-α)等于(  )‎ A.     B. C. D.- A [∵sin(α-360°)-cos(180°-α)=sin α+cos α=m,‎ ‎∴sin(180°+α)cos(180°-α)=sin αcos α==.故选A.]‎ ‎4.已知cos(α-75°)=-,且α为第四象限角,求sin(105°+α)的值.‎ ‎[解] ∵cos(α-75°)=-<0,且α为第四象限角,‎ ‎∴sin(α-75°)=-=-=-,‎ ‎∴sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]=-sin(α-75°)=.‎ ‎1.明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0~2π之间的角求值 公式二 将负角转化为正角求值 公式三 将角转化为0~之间的角求值 公式四 将角转化为0~之间的角求值 ‎2.诱导公式的记忆 - 8 -‎ 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致,符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上α可以是任意角.‎ ‎1.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则角θ的终边落在(  )‎ A.第一象限     B.第二象限 C.第三角限 D.第四象限 B [由sin(θ+π)=-sin θ<0⇒sin θ>0,cos(θ-π)=-cos θ>0⇒cos θ<0,由可知θ是第二象限角.]‎ ‎2.tan 255°=(  )‎ A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ ‎[答案] D ‎3.代数式sin 120°cos 210°的值为    .‎ ‎- [由诱导公式可得,sin 120°cos 210°=sin 60°×(-cos 30°)=×=-.]‎ ‎4.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,求cos(α-2π)的值.‎ ‎[解] ∵sin(π+α)=,∴sin α=-,‎ 又α是第四象限角,‎ ‎∴cos α===,‎ ‎∴cos(α-2π)=cos α=.‎ - 8 -‎
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