广东省第二师范学院番禺附属中学2019-2020学年高一下学期期中段考数学试题

广东省第二师范学院番禺附属中学2019-2020学年高一下学期期中段考数学试题

二师附中2019年第二学期高一年级期中测试卷 数 学 2020.5‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。‎ 注意事项： 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名、考试科目、班级和考生号等信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将考号在答题卡相关的区域内涂黑。‎ ‎2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应的答案符号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡答卷交给监考老师。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，四个选项中，只有一项符合要求）‎ ‎1. 直线的倾斜角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知非零向量，满足：，，，则向量，的夹角大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与“1件次品2件正品”互斥而不对立的事件是(　　)‎ A．3件正品 B．至少有一件正品 ‎ C．至少有一件次品 D．3件正品或2件次品1件正品 ‎4、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )‎ A．400，40 ‎ B．200，10 ‎ C．400，80 ‎ D．200，20‎ ‎5. ‎ 直线与平行，则的值等于( )‎ A．-1或3 B．1或3 C．-3 D．-1‎ ‎6. 圆A :与圆B : 的位置关系是( )‎ A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 ‎7. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎8. 随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（ ）‎ A．p1＜p2＜p3 B．p2＜p1＜p3‎ C．p1＜p3＜p2 D．p3＜p1＜p2‎ ‎9. △ABC中，角A、B、C所对的边分别为a.b.c，若，则△ABC为(　　)‎ A． 直角三角形 B． 钝角三角形 C． 锐角三角形 D． 等边三角形 ‎10.如图，在中，，D是边上一点，，则的长为( )‎ A． B、 C． D．‎ ‎11. 已知圆C的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12. 在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. ‎ ‎14. 已知定点，点是圆上的动点，则的中点的轨迹方程__________．‎ ‎15. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为，地面某处的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度为________‎ ‎16．关于的方程有两个不同的实数解时,实数的取值范围是_______‎ 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17、（本题满分10分）‎ 已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2, 1)，C(－2,3)，求：‎ ‎(1)BC边所在直线的方程；‎ ‎(2)BC边上中线AD所在直线的方程；‎ ‎(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．‎ ‎18. （本题满分12分） ‎ 在中，角、、的对边分别是、、，若.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的面积为，，求的周长.‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知，，函数.‎ ‎（1）求的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值.‎ ‎20. （本题满分12分）‎ 某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在，内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．‎ 百分制 ‎85分及以上 ‎70分到84分 ‎60分到69分 ‎60分以下 等级 规定：，，三级为合格等级，为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计．‎ 按照，，，，，，，的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示 ‎（1）求和频率分布直方图中的，的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到；‎ ‎（3）在选取的样本中，从，两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是等级的概率．‎ ‎21、（本题满分12分）‎ 下表是某学生在4月份开始进人冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩(分)；‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)①请根据上表提供的数据，用最小二 乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎②若在4月份开始进入冲刺复习前，该生 的数学分数最好为116分，并以此作为初 始分数，利用上述回归方程预测高考的数 学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，‎ 求该生4月份后复习提高率.(复习提高率=，分数取整数)‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知圆C与轴相切于点，且被x轴所截得的弦长为，圆心C在第一象限. ‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若点是直线：上的动点，过点作圆的切线，切点为B，当的面积最小时，求切线的方程.‎ ‎2019-2020学年度第二学期广东二师附中期中测试 高一数学参考答案 一、选择题：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D B A A B C C C B B A C 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 200 16. ‎ ‎17、解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，‎ 由两点式得BC的方程为＝， 即x＋2y－4＝0. …………………3分 ‎ (2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，‎ 则x＝＝0，y＝＝2.‎ BC边的中线AD经过A(－3,0)，D(0,2)两点，‎ 由截距式得AD所在直线的方程为＋＝1， 即2x－3y＋6＝0. …………………6分 ‎(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，‎ 则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.‎ 由(2)知，点D的坐标为(0,2)．‎ 由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，‎ 即2x－y＋2＝0. …………………10分 ‎（注：以上方法不唯一时，只要结果正确，过程合理，给满分。）‎ ‎18.解：（1）由正弦定理得：，…………2分 ‎∵，∴，…………4分 ‎∵是的内角，‎ ‎∴ .…………6分 ‎（2）∵的面积为，‎ ‎∴，‎ 由（1）知，∴，‎ 由余弦定理得：，‎ ‎∴，得：，‎ ‎∴的周长为 .…………12分 ‎19．(1) .…………2分 即. .…………3分 故最小正周期为. .…………4分 单调递增区间：.‎ 故,递增区间为, .…………6分 ‎(2)由得, .…………7分 因为.‎ 故,故. .…………10分 又,故. .…………11分 故,故 .…………12分 ‎20.解：（1）由题意知，样本容量， .…………1分 ‎， .…………2分 ‎； .…………3分 因为成绩是合格等级人数为：人，‎ 抽取的50人中成绩是合格等级的概率为，‎ 即估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率为； .…………4分 ‎（2）根据频率分布直方图，计算成绩的中位数为； .…………6分 ‎（3）由茎叶图知，等级的学生有3人，等级的学生有人，‎ 记等级的学生为、、，等级的学生为、、、、，‎ 从这8人中随机抽取2人，基本事件是：‎ ‎、、、、、、、、、、、、、‎ ‎、、、、、、、、、、、、、、共28个；‎ 至少有一名是等级的基本事件是：概率．‎ ‎、、、、、、、、、、、、、‎ ‎、、、、共18个；‎ 故所求的概率为． .…………12分 ‎21. (1)散点图如图:‎ ‎ .…………2分 ‎ (2)①由题得, ，‎ ‎ ，‎ ‎ ,， ，‎ 所以 ，，‎ 故关于的线性回归方程为..…………9分 ‎②由上述回归方程可得高考应该是第六次考试,故，‎ 则 (分),‎ 故净提高分为 (分)，‎ 所以该生的复习提高率为..…………12分 ‎22解：（Ⅰ）依题意，可设圆心的坐标为，其中，圆的半径为，‎ ‎ 因为圆被轴所截得的弦长为， 又点到轴的距离为，‎ ‎ 则， 解得. ‎ ‎ 所以圆的方程为.……………………………………………4分 ‎（Ⅱ）因为△的面积 ‎ ‎ .‎ ‎ 故当最小时，△的面积最小. ‎ ‎ 由于点是直线上的动点， 则当时，最小. ‎ ‎ 由于直线的斜率为，则直线的斜率为.‎ ‎ 直线的方程为，即. ‎ ‎ 由解得 所以点的坐标为. ‎ ‎ 设直线的方程为，即.‎ ‎ 由于直线是圆的切线，‎ ‎ 则点到直线的距离等于圆的半径，即. 解得或. ‎ 所以切线的方程为或.…………………………………12分 另法：（Ⅰ）依题意，可设圆心的坐标为，其中，圆的半径为，‎ ‎ 则圆的方程为.‎ ‎ 令，得 因为圆被轴所截得的弦长为，‎ ‎ 则， 解得. ‎ ‎ 所以圆的方程为.……………………………………………4分 ‎（Ⅱ）因为△的面积 . ‎ ‎ 故当最小时，△的面积最小.‎ ‎ 由于点是直线上的动点，设点的坐标为，‎ ‎ 则. ‎ ‎ 当时，取得最小值，此时点的坐标为.‎ ‎ 设直线的方程为，即.‎ ‎ 由于直线是圆的切线，‎ ‎ 则点到直线的距离等于圆的半径，即.‎ ‎ 解得或. ‎ ‎ 所以切线的方程为或.…………………………………12分